基于核獨(dú)立分量分析的諧波責(zé)任劃分

楊雪萍，楊洪耕，馬曉陽，曾巧燕

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065）

基于核獨(dú)立分量分析的諧波責(zé)任劃分

楊雪萍，楊洪耕，馬曉陽，曾巧燕

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065）

為了更加準(zhǔn)確地劃分公共連接點(diǎn)的諧波責(zé)任，提出了一種基于核獨(dú)立分量分析劃分諧波責(zé)任的方法。首先采用核主分量分析算法對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行白化和去均值處理，觀測(cè)值的非高斯性增強(qiáng)；然后利用獨(dú)立分量分析算法對(duì)處理后的觀測(cè)值進(jìn)行盲源分離，得到諧波電流和諧波阻抗估計(jì)值；最后根據(jù)諧波責(zé)任計(jì)算公式求得各諧波源對(duì)關(guān)注母線的諧波責(zé)任。在IEEE14節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)上進(jìn)行仿真測(cè)試，結(jié)果表明，本文方法與僅用獨(dú)立分量分析方法相比，本文所提方法估計(jì)結(jié)果更準(zhǔn)確。

諧波責(zé)任；核獨(dú)立分量分析；非干預(yù)式；盲源分離

隨著各種非線性負(fù)荷和電力電子設(shè)備的應(yīng)用增加，諧波污染引起了廣泛的關(guān)注。非線性負(fù)荷注入電力系統(tǒng)的諧波電流，不僅會(huì)增加功率損耗，還可能損壞系統(tǒng)設(shè)備[1]。諧波電流經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)的諧波阻抗流動(dòng)，會(huì)增加公共連接點(diǎn)PCC（point of common coupling）的諧波電壓。為了有效控制諧波污染，提高諧波管理水平，需要正確評(píng)估PCC用戶和系統(tǒng)的諧波責(zé)任[2-3]。

劃分諧波責(zé)任的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確估計(jì)系統(tǒng)諧波阻抗和背景諧波電壓，目前電力系統(tǒng)中主要采用“非干預(yù)式”的方法[4-8]對(duì)系統(tǒng)諧波阻抗進(jìn)行估算，根據(jù)求得的系統(tǒng)諧波阻抗值，定量計(jì)算各諧波源的諧波電壓貢獻(xiàn)量。文獻(xiàn)[4]提出的波動(dòng)量法是根據(jù)PCC諧波電壓與諧波電流之間波動(dòng)量比值的實(shí)部符號(hào)判斷系統(tǒng)阻抗和用戶阻抗，不足之處在于當(dāng)負(fù)荷波動(dòng)較小時(shí)，估計(jì)誤差較大，同時(shí)要求測(cè)量的諧波電壓、諧波電流具有較高的精度。文獻(xiàn)[5-7]提出的各種改進(jìn)的線性回歸法，在背景諧波電壓波動(dòng)較小時(shí)，具有較高精度，但是當(dāng)背景諧波電壓波動(dòng)較大時(shí)，回歸模型中的未知參數(shù)不再保持不變，估計(jì)誤差較大。文獻(xiàn)[8]根據(jù)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)特性，分離出諧波電流中的快速變化量，進(jìn)而提取諧波自阻抗和互阻抗，計(jì)算諧波貢獻(xiàn)，為計(jì)算諧波責(zé)任提供了新思路。

獨(dú)立分量分析ICA（independent component analysis）最早用于信號(hào)處理，該方法是一種高效的盲源分離技術(shù)，近年來廣泛用于電力系統(tǒng)中[9-13]。文獻(xiàn)[9]采用FastICA算法對(duì)包含瞬時(shí)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的電網(wǎng)電壓信號(hào)進(jìn)行計(jì)算，可分離出與擾動(dòng)相對(duì)應(yīng)的信號(hào)。文獻(xiàn)[10]建立ICA模型，估計(jì)電力系統(tǒng)諧波電流。文獻(xiàn)[11]采用復(fù)值ICA算法，推導(dǎo)出諧波電流相量比例系數(shù)，進(jìn)行諧波電流狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[12]利用ICA算法得到諧波電流的估計(jì)值，然后在歸一化的混合矩陣和歸一化的象征阻抗矩陣之間尋找匹配列，從而定位諧波源。文獻(xiàn)[13]將ICA算法用于諧波責(zé)任分離。

ICA算法的基本目標(biāo)是尋找一個(gè)線性變換，達(dá)到變換后的各分量之間盡可能相對(duì)獨(dú)立的目的。因?yàn)镮CA算法本身具有的線性特性，不能分離出被非線性混合的數(shù)據(jù)源，同時(shí)基于ICA算法的線性投影不能完成數(shù)據(jù)中非線性特征的提取。所以針對(duì)諧波源信號(hào)被非線性混合的情況，本文提出了核獨(dú)立分量分析算法[14-15]KICA（kernel independent component analysis）進(jìn)行諧波源估計(jì)，進(jìn)而劃分諧波責(zé)任。首先，核主元分析通過非線性函數(shù)將原始數(shù)據(jù)映射到一個(gè)高維的特征空間；然后進(jìn)行主成分分析PCA（principal component analysis），使映射到特征空間的數(shù)據(jù)具有非高斯性；最后采用ICA算法進(jìn)行獨(dú)立分量的盲源分離。在IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，采用KICA算法估計(jì)諧波電流和諧波阻抗，求得各諧波源對(duì)關(guān)注母線的諧波責(zé)任，與僅用ICA方法的仿真結(jié)果相比，誤差減小。

1 KICA算法

1.1 特征空間的ICA模型

給定一個(gè)原始空間Rn的隨機(jī)向量x，可能被非線性混合，通過非線性函數(shù)映射到特征空間D中，如式（1）所示。

通過式（1）可以將原始空間的觀測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)換為特征空間中具有更高維數(shù)的向量。

假設(shè)在特征空間得到的非線性映射后的數(shù)據(jù)滿足線性可分離，然后在特征空間D中找到線性混矩陣Wφ，從φ（x）中恢復(fù)各個(gè)獨(dú)立分量，即

采用ICA模型進(jìn)行盲源分離，首先需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理（白化和去均值）。通常采用主成分分析白化數(shù)據(jù)，使轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)滿足E{yyT}=I。在特征空間采用PCA，相當(dāng)于對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)執(zhí)行核主成分分析KPCA（kernel principal component analysis）。基于這種思想，建立了KICA算法，詳細(xì)計(jì)算過程如下。

1.1.1 利用KPCA對(duì)映射到特征空間中的向量進(jìn)行白化處理

假設(shè)原始空間中存在觀測(cè)序列x1，x2，…，xM，則在D中滿足，特征空間D中的協(xié)方差算子為

假設(shè)Q=[φ（x1），φ（x2），…，φ（xM）]，則構(gòu)造Gram矩陣R=QTQ，其為M階矩陣，由給定的核函數(shù)確定，如式（4）所示。

若采用高斯核函數(shù)，則

式中：λj（j=1，2，…，m）為R的m個(gè)最大的正特征值，滿足λ1≥λ2≥…≥λm；γj（j=1，2，…，m）為λj對(duì)應(yīng)的正交特征向量。

令B=（β1，β2，…，βm），計(jì)算下式

式中Λ=diag（λ1，λ2，…，λm）。

令

式中：P為白化矩陣；V=（γ1，γ2，…，γm）。

則

式中I為單位矩陣。

最后，白化處理映射到特征空間的數(shù)據(jù)如式（10）所示。

1.1.2 在特征空間對(duì)數(shù)據(jù)去均值

首先使CM為M階矩陣，以及C1為M×1矩陣。然后分別對(duì)R和Rx去均值，如式（11）和式（12）所示。

最后將式（10）中的Rx變換為，計(jì)算與R'x的 m個(gè)最大特征值（滿足λ1≥λ2≥…≥λm）相應(yīng)的正交特征向量γ1，γ2，…，γm，則白化變換為

1.2 ICA算法

假設(shè)有N個(gè)未知的源信號(hào)和M個(gè)觀測(cè)信號(hào)，則ICA的線性混合模型為

式中：X=[x1（ti），…，xN（ti）]T為M個(gè)觀測(cè)信號(hào)構(gòu)成的列向量；S=[s1（ti），…，sN（ti）]T為N個(gè)未知的源信號(hào)構(gòu)成的列向量；A是M×N維混合矩陣；ti是采樣時(shí)間，i=1，2，…，T；ε是均值為0的M維高斯噪聲向量。

通過KPCA對(duì)數(shù)據(jù)白化和均值處理后，采用ICA算法找到分離矩陣W（即混合矩陣A的逆），得到盡可能逼近源信號(hào)真實(shí)值的估計(jì)值，即

分離矩陣W必須是正交矩陣，應(yīng)滿足如下關(guān)系：

綜上所述，KICA算法的基本計(jì)算步驟如下：

（1）對(duì)獲得的原始觀測(cè)數(shù)據(jù)白化并去均值；

（2）選定m個(gè)估計(jì)的分量，進(jìn)行k次迭代；

（3）隨機(jī)選擇最初的權(quán)向量Wk；

（6）如果Wk不收斂，返回步驟（4）；

（7）令k=k+1，如果k≤m，則返回步驟（3）。

2 諧波責(zé)任劃分

2.1 諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)的建立

假設(shè)電力系統(tǒng)中包含多個(gè)諧波源負(fù)荷，關(guān)注母線處的諧波阻抗矩陣為

式中：h表示諧波次數(shù)；Uh表示母線電壓向量；Ih表示母線注入電流向量；Zh表示h次諧波對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)阻抗矩陣。以下分析中省略了變量下角標(biāo)中的h。

式（17）的第i行對(duì)應(yīng)于關(guān)注母線i，計(jì)算其h次諧波電壓，可表示為所有諧波源負(fù)荷在母線i產(chǎn)生的諧波電壓矢量和，即

式中：Zij表示節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j（i、j=1，2，…，N）之間的諧波阻抗（當(dāng)i≠j時(shí)，為互阻抗；當(dāng)i=j時(shí)，為自阻抗）；Uij表示第j個(gè)諧波源負(fù)荷在關(guān)注母線i處產(chǎn)生的諧波電壓。

諧波貢獻(xiàn)定義為以Ui的相角作為參考相角，各諧波源負(fù)荷在母線i處產(chǎn)生的諧波電壓在Ui上的投影長(zhǎng)度占Ui模長(zhǎng)的百分比，如圖1所示。

圖1 相量關(guān)系Fig.1 Relationship of phasors

定義諧波源負(fù)荷j對(duì)關(guān)注母線i的h次諧波電壓責(zé)任為

式中：α為Uij與Ui之間的相位角；μh為諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)。該指標(biāo)為正時(shí)表示諧波源對(duì)母線i的h次諧波電壓起助增作用，指標(biāo)為負(fù)則起抑制作用。

由式（19）可知，要計(jì)算諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)的前提是得到Uij、Ui，以及兩者之間的相角。通過估計(jì)諧波源負(fù)荷與關(guān)注母線之間的諧波阻抗，利用余弦定理，將諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)變換為

式中Uoi表示除第j個(gè)諧波源負(fù)荷之外的其他諧波源負(fù)荷在關(guān)注母線i處產(chǎn)生的諧波電壓。

2.2 KICA算法計(jì)算諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)步驟

（1）從關(guān)注母線處獲得諧波電流、諧波電壓的原始數(shù)據(jù)，應(yīng)用KPCA對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行白化和去均值處理。

（2）利用平滑濾波器獲得白化和去均值處理后的數(shù)據(jù)的快速變化量。對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行KICA算法，源信號(hào)的獨(dú)立性和非高斯性十分重要。諧波電流的波動(dòng)特性除了與非線性設(shè)備本身有關(guān)，還受氣候、季節(jié)和一天中不同時(shí)段的影響，所以各個(gè)獨(dú)立的負(fù)荷發(fā)射的諧波電流之間具有相關(guān)性，不滿足ICA算法的使用條件。但是電力負(fù)荷一般包含快速變化量和緩慢變化量?jī)煞N[16]，快速變化量之間沒有必然的相關(guān)性，是相互獨(dú)立的。所以觀測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過KPCA白化處理后，非高斯特性增強(qiáng)，再利用平滑濾波器可提取各諧波電流的快速變化量。平滑濾波器不改變諧波電壓U和諧波電流I間的線性關(guān)系，即

式中：上標(biāo)fast表示快速變化量；上標(biāo)slow表示緩慢變化量；阻抗矩陣Z保持不變。

（3）ICA算法進(jìn)行盲源分離，得到諧波電流快速變化量的估計(jì)值和矩陣A，然后計(jì)算諧波責(zé)任。以諧波電流為狀態(tài)量，節(jié)點(diǎn)的諧波電壓Un和諧波電流In為量測(cè)值，根據(jù)式（17）建立ICA模型為

式中e（t）為t時(shí)刻的誤差向量。平滑濾波后的諧波電壓、諧波電流滿足ICA算法的使用條件，可對(duì)諧波電壓快速變化量使用KICA算法，得到諧波電流快速變化量，由式（22）得到緩慢變化量，相加求得諧波電流的實(shí)際估計(jì)值采用KICA算法得到混合矩陣A，即式（17）中的諧波阻抗Zh的估計(jì)值，則諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)為

綜上所述，基于KICA的諧波責(zé)任計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 諧波責(zé)任計(jì)算流程Fig.2 Flow chart of harmonic responsibility estimation

3 算例計(jì)算

以圖3所示的IEEE14節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)為例，在MATLAB軟件中，對(duì)本文提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。為了符合實(shí)際電力系統(tǒng)，仿真時(shí)在母線5、10、14處接入諧波源負(fù)荷，模擬實(shí)際系統(tǒng)中諧波源之間具有較遠(yuǎn)的地理距離和電氣距離[8]。注入系統(tǒng)的諧波源負(fù)荷Hc1，Hc2，Hc3的7次諧波電流曲線采用文獻(xiàn)[18]提出的典型曲線，1 min給定一個(gè)采樣點(diǎn)，1天共有1 440個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)應(yīng)諧波電流的緩慢變化量。為了表示諧波源負(fù)荷的快速變化量，在各典型曲線上分別加入拉普拉斯分布的隨機(jī)變量，其滿足均值為0，方差為0.002。把這種添加快速變化量的諧波電流作為注入的諧波電流。

選取母線7、9、14作為關(guān)注母線，然后利用KICA算法分別計(jì)算3個(gè)諧波源在關(guān)注母線的諧波貢獻(xiàn)。

圖3 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.3 IEEE 14-node bus system

估計(jì)電流和實(shí)際電流的曲線如圖4所示，由圖4可以看出估計(jì)電流的實(shí)部和虛部準(zhǔn)確地反映了實(shí)際電流的實(shí)部和虛部。

為了量化估計(jì)結(jié)果的精度，將諧波源負(fù)荷的實(shí)際電流Ij和估計(jì)電流進(jìn)行比較求誤差。當(dāng)所求誤差值越小則表示估計(jì)結(jié)果越準(zhǔn)確。因此構(gòu)造估計(jì)誤差ej，作為誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)，如下所示：

表1包括了各諧波源母線7次諧波電流估計(jì)誤差。ej越小則代表估計(jì)的諧波源曲線與實(shí)際的諧波源曲線越相近。若誤差ej≤5%，則可利用混合矩陣A對(duì)諧波源負(fù)荷進(jìn)行諧波貢獻(xiàn)計(jì)算。

表1 各諧波源母線實(shí)際電流和估計(jì)電流之間的誤差Tab.1 Errors between actual current and estimated current on the harmonic source buses

由表1可以得到，各諧波源的估計(jì)誤差較小，且實(shí)部和虛部的誤差大小最大為3.27%和3.32%。與傳統(tǒng)的ICA算法相比，估計(jì)誤差明顯減小。結(jié)果表明，本文方法能準(zhǔn)確地估計(jì)諧波電流實(shí)部和虛部，且具有較高的穩(wěn)定性。

根據(jù)算法得到的混合矩陣A為

圖4 各諧波源母線7次諧波實(shí)際電流和估計(jì)電流Fig.4 Actual current and estimated current of 7th harmonic on the harmonic source buses

如圖5為混合矩陣A的幅值大小，也就是各個(gè)諧波源與關(guān)注母線之間的7次諧波互阻抗。

這些阻抗幅值從另一個(gè)角度來說，表示各個(gè)諧波源負(fù)荷在關(guān)注母線處產(chǎn)生的單位諧波電壓，其大小與電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有關(guān)。

圖5 混合矩陣的幅值大小Fig.5 Amplitude of mixed matrix

表2 各諧波源責(zé)任計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculated results of harmonic contributions from harmonic sources

圖6 各諧波源責(zé)任誤差Fig.6 Error between contributions from harmonic sources

在求得混合矩陣A后，通過式（24）計(jì)算各諧波源對(duì)關(guān)注母線7、9、14的諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)μh，如表2所示。

從表2的計(jì)算結(jié)果可知，本文方法得到的諧波責(zé)任計(jì)算值和真實(shí)值大小吻合，相對(duì)誤差如圖6所示。對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)注母線9而言諧波源Hc2產(chǎn)生的單位諧波電壓最大，但是注入的諧波電流負(fù)荷相對(duì)于諧波源Hc1小，因此總體來說，Hc1和Hc2的諧波貢獻(xiàn)指標(biāo)大小相當(dāng)。諧波源Hc1對(duì)母線7的諧波電壓影響較大，諧波源Hc3對(duì)母線14的諧波電壓影響較大。諧波源Hc2對(duì)關(guān)注母線7和9的諧波電壓貢獻(xiàn)差異不大，相對(duì)母線14較大。

綜上所述，本文方法通過關(guān)注母線監(jiān)測(cè)到的諧波電壓和諧波電流可以估計(jì)出各諧波源負(fù)荷對(duì)關(guān)注母線的諧波貢獻(xiàn)大小，從而劃分諧波污染責(zé)任。

4 結(jié)論

（1）KICA算法可以對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行盲源分離，使得處理后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，適用于諧波源負(fù)荷被非線性混合的情況。

（2）本文采用KPCA白化數(shù)據(jù)，使白化后的數(shù)據(jù)盡可能呈現(xiàn)非高斯性，然后采用ICA算法進(jìn)行盲源分離。該算法為諧波責(zé)任劃分提供了一種新的思路，與傳統(tǒng)ICA方法相比，具有更好的準(zhǔn)確性和有效性。

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Determination of Harmonic Contributions Based on Kernel Independent Component Analysis

YANG Xueping，YANG Honggeng，MA Xiaoyang，ZENG Qiaoyan
（School of Electrical Engineering and Information，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

In order to determine the harmonic contributions at the point of common coupling，a method based on kernel independent component analysis is proposed in this paper．Firstly，the non-Gaussian distribution of observing data is improved after whitening and mean-removal by the kernel principal component analysis．Then，independent component analysis is used in the process of blind source separation of processed data，and harmonic current and harmonic impedance are thus estimated．Finally，according to the formula of harmonic contributions，the harmonic contributions from harmonic sources are determined．A simulation test on the IEEE 14-node distribution system shows that the proposed method can give more accurate result compared with the independent component analysis．

harmonic contribution；kernel independent component analysis；non-invasive；blind source separation

TM714.3

A

1003-8930（2016）12-0109-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2016.12.018

楊雪萍（1990—），女，通信作者，碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏χC波分析與評(píng)估。Email：yangxuepin910@163.com

楊洪耕（1949—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量、電壓無功控制和智能電網(wǎng)。Email：yangsi@mail.sc.cninfo.net

馬曉陽（1991—），男，博士研究生，研究方向?yàn)殡娔苜|(zhì)量分析與控制。Email：mxy_scu@163.com

2015-07-08；

2016-06-07