基座彈性影響下空間站柔性關節機械臂的魯棒自適應滑模控制及雙重彈性振動主動抑制

梁 捷，陳 力，梁武林，秦開宇

（1.電子科技大學航空航天學院，成都611731；2.福州大學機械工程及自動化學院，福州350108；3.中國空氣動力研究與發展中心，綿陽621000）

基座彈性影響下空間站柔性關節機械臂的魯棒自適應滑模控制及雙重彈性振動主動抑制

梁 捷1，3，陳 力2，梁武林3，秦開宇1

（1.電子科技大學航空航天學院，成都611731；2.福州大學機械工程及自動化學院，福州350108；3.中國空氣動力研究與發展中心，綿陽621000）

討論了基座存在彈性情況下，載體位置、姿態均不控的空間站柔性關節機械臂系統控制問題。利用拉格朗日方法結合動量守恒定律，建立了彈性基座空間站柔性關節機械臂系統動力學方程。以此為基礎，依據級聯控制法，將系統分解為彈性基座剛性臂子系統和關節柔性電機轉子子系統。對于彈性基座剛性臂子系統，為了主動抑制彈性基座柔性振動，運用虛擬力的概念，構造同時反映柔性模態和剛性運動軌跡的混合期望軌跡，通過改造原有的控制方案，提出基于虛擬力概念的魯棒自適應滑模控制器控制策略，由于運用了虛擬力的概念，從而僅通過設計一個控制輸入便可同時保證剛性軌跡跟蹤并對載體基座的彈性振動進行主動抑制，更適應于空間站柔性關節機械臂系統的實際應用。同時，針對系統參數未知的情況，利用級聯控制方法能夠有效地抑制柔性關節的振動。理論分析及仿真算例均表明了控制方法的可行性。

空間站；柔性關節機械臂；彈性基座；動力學建模；魯棒自適應滑模控制；彈性振動主動控制

1 引言

自20世紀80年代以來，美國、日本、加拿大、歐空局等國家和地區大力發展空間機械臂技術，相繼發射試驗衛星進行了各種試驗［1?6］。機械臂是輔助完成飛行器空間對接、目標搬運等操作的重要工具［7?8］。目前，針對各種工況下不同類型的空間機械臂系統，科研人員對其控制問題已經做了大量的研究工作，取得了一系列成果［9?12］。近年來，隨著對空間操控精度要求的不斷提高，空間機械臂在作業過程中所呈現出來的各類柔性效應已逐漸被人們所察覺［13?14］。對于這些具有浮動載體基座和柔性部件的空間機械臂而言，動力學的非完整性及系統剛、柔性運動間的強耦合性將大大增加其動力學分析的難度，并給后續控制方案的設計帶來障礙。我們注意到，目前有關柔性空間機械臂的研究文獻多數談及的是臂桿柔性［15?17］，部分涉及關節柔性［18］，但很少計及載體基座的柔性，而同時兼顧基座柔性和關節柔性的研究文獻更是鮮有報導。

早期對機械臂控制研究不成熟時，只能采取減緩機械臂運動速度的方法來降低導軌振動［19］。如今隨著空間技術的發展和對機械臂工作要求的提高，美國航天局和加拿大航天局開始評估基座彈性對機械臂末端爪手運動的影響，并研究了相應的控制方案［20］。顯然，較以往僅帶有柔性關節或彈性基座的空間站機械臂，具有彈性基座的柔性關節空間站機械臂具有更強的非線性及強耦合性，其動力學分析將更復雜，且難以直接選用先前各類常規的控制策略。因此有必要開展在系統非完整約束、基座與關節柔性并存下漂浮基空間站機械臂的動力學建模與控制問題研究。

本文將級聯系統法和虛擬力概念應用到彈性基座空間站柔性關節機械臂控制器設計中，擬解決機械臂載體姿態及關節角的軌跡跟蹤問題，同時主動抑制載體基座的彈性振動及關節柔性振動。依據級聯控制法，將系統分解為彈性基座剛性臂子系統和關節柔性電機轉子子系統。對于彈性基座剛性臂子系統，為了主動抑制彈性基座柔性振動，運用虛擬力的概念，構造同時反映柔性模態和剛性運動軌跡的混合期望軌跡，通過改造原有控制方案，提出基于虛擬力概念的魯棒自適應滑模控制策略，以實現機械臂的載體姿態及關節角的軌跡跟蹤同時主動抑制載體基座的彈性振動。

2 基座彈性影響下漂浮基空間站柔性關節機械臂系統動力學建模

機械臂是完成輔助對接、目標搬運等操作的重要工具。文中重點研究基座彈性影響下空間站柔性關節機械臂系統的控制方案，研究內容來自大型艙外空間機器人，以“加拿大二號臂”為例［21］：它于2001年首次在國際空間站上投入使用，官方名稱為空間站遠距離機械手系統（Space Station Remote Manipulator System，SSRMS），與移動基座系統、專用靈巧機械手組成移動維修系統（Mobile Servicing System，MSS）。空間站機械臂安裝在桁架組裝而成的導軌上，受動力學特性約束，空間站機械臂在工作過程中與空間站本體存在強耦合作用，易使與移動基座連接的導軌發生振動，影響末端軌跡跟蹤精度［22］。該文對導軌存在彈性振動（本文稱之為基座彈性影響）的空間站柔性關節機械臂進行動力學控制研究，與本文研究對象相似，因此本文選擇圖1所示機械臂作為分析模型，它由機械臂載體（空間站）、兩桿剛性機械臂、兩個柔性關節鉸和移動導軌組成。

不失一般性，以做平面運動且載體位姿不受控制、具有彈性基座的關節柔性空間站機械臂系統為例，進行系統動力學分析，系統物理模型如圖2所示。該系統由自由漂浮的空間站載體W0、兩個彈性關節Oi（i＝1，2）和兩個剛性機械臂W1、W2及W2末端爪手抓持著的剛性載荷WP組成。

圖1 基座存在彈性的空間站柔性關節機械臂Fig.1 Flexible joint manipulator of the space station with elastic foundation

圖2 具有彈性基座的柔性關節空間站機械臂Fig.2 Flexible joint manipulator of the space station with elastic base

圖2為簡化后的具有彈性基座的柔性關節空間站機械臂系統，它是平面兩桿機構。為了簡化運算，將導軌彈性簡化為一個輕質彈簧，彈性位移為x′，并且作以下假設［23］：

1）彈簧的質量忽略不計；

2）彈簧只作伸縮運動；

3）彈簧的彈性系數k為一個常數。

建立慣性坐標系OXY及分體Wi（i＝0，1，2）的連動坐標系OiXiYi，并假設系統沿（X，Y）平面作平面運動；此外，圖中θ0為空間站載體姿態的實際轉角，θim（i＝1，2）各關節驅動電機的實際轉角，θi（i＝1，2）為連桿Wi的實際轉角。

文中符號約定如下：m0、I0、l0分別為載體的質量、轉動慣量及其質心到第1個關節鉸中心的距離；mi、Ii、li分別為剛性機械臂Wi（i＝1，2）的質量、轉動慣量及其長度；mP、IP分別為末端剛性載荷WP的質量及轉動慣量；由于載荷WP是由機械臂W2末端爪手抓持著，因此可將機械臂W2與載荷WP看成一聯合體，其總質量和總轉動慣量為m2P、I2P；Iai為柔性關節i（i＝1，2）驅動電機的等效轉動慣量，Wi（i＝1，2）為各關節鉸的扭轉剛度；r0、r1分別為載體及連桿1質心的位置矢量，r2為連桿2與末端負載聯合體質心的位置矢量，rC、rP分別為系統總質心及負載質心的位置矢量。各分體Wi（i＝1，2）的轉動角速度為vi，機械臂W2與載荷WP的聯合體的轉動角速度為vp＝v2，關節Oi（i＝1，2）處電機轉子的自轉角速度為vai。

若不考慮任何外力的作用，具有彈性基座的柔性關節空間站機械臂將滿足系統動量及動量矩守恒的動力學約束關系。則由上述動力學約束關系及拉格朗日法，可解得載體位置、姿態均不受控的系統完全驅動形式的動力如式（1）～（3）：

其中，q＝［θ0θT］T、θ＝［θ1θ2］T為機械臂各連桿轉角列向量，θm＝［θ1mθ2m］T為各關節驅動電機轉角列向量；M（x′，q）∈ ?4×4和分別為機械臂連桿端的正定、對稱慣性矩陣及包含科氏力、離心力的列向量；Im＝diag（Im1，Im2）為驅動電機端的對角、正定慣量矩陣；Km＝diag（Km1，Km2）為對角形式的柔性關節扭轉剛度矩陣，K為空間站載體基座的彈性剛度；為各關節的線性扭轉剛度；τ0為空間站載體的驅動力矩，τ＝（τ1，τ2）∈?2為由關節柔性所產生的連桿驅動力矩列向量，τm∈?2為關節驅動電機實際產生的控制力矩列向量。

顯然式（1）表征系統的載體柔性和剛性運動，對其進行矩陣分解得式（4）：

式中，下標r，f分別與廣義坐標x、q對應。因此表征系統剛性運動動力學方程為式（5）：

可以看出，整個系統可視為由載體柔性剛性臂子系統（1）和電機轉子子系統（2）組成，其子系統通過轉子電機和機械臂的彈性力τ連接。本文的控制器設計目標是：存在參數不確定、外部擾動的情況下，合理的設計控制力矩τ0和τm，以實現載體姿態及關節角的協調運動控制，同時主動地抑制柔性關節與載體基座的彈性振動。

3 控制器設計及穩定性分析

依據級聯控制法，分別為彈性基座剛性臂子系統和電機轉子子系統設計相應的控制器，以實現控制目標。首先將載體系統驅動力矩τ0及關節鉸系統所需的彈性力為中間控制變量，以實現載體姿態及關節角的軌跡跟蹤控制且主動抑制載體基座的彈性振動。然后再設計關節電機輸出力矩τm使電機轉子子系統中反作用于關節的力矩τ跟蹤計算所需的彈性力。顯然，Δτ＝τ－代表了關節的振動特性，通過將Δτ作為電機轉子控制系統的反饋輸入，能夠快速控制關節實際輸出力矩τ等于，以實現關節振動的主動抑制。

3.1 彈性基座剛性臂子系統的控制器設計

彈性基座剛性臂子系統與常規的柔性臂系統模型，動力學方程相似。為有效地實現載體姿態及關節角的協調運動控制及主動抑制載體基座的彈性振動，利用虛擬控制力生成能同時表征系統剛性運動和載體基座彈性振動的虛擬期望軌跡，再使針對表征系統剛性運動的剛性臂運動子系統而設計的魯棒自適應滑模控制器跟蹤該虛擬期望軌跡，以實現空間機械臂的載體姿態及關節角的軌跡跟蹤同時主動抑制載體基座的彈性振動。

3.1.1 跟蹤虛擬期望軌跡的魯棒自適應滑模控制器設計

在實際應用中，系統的未建模動態、參數不確定及外部擾動等不可避免，為方便控制器的設計，將式（5）進行分離得到式（7）所示名義模型：

式中，矩陣Mn、Nn分別為Meq、Neq的估計值；為集中不確定項，d為外部擾動，假定不確定集中項存在上界，滿足‖D‖≤ζ‖q‖，ζ＞0。

設qd為具有彈性基座柔性關節空間站機械臂的期望軌跡，定義跟蹤誤差e＝qd－q。定義虛擬期望軌跡qh，其與實際軌跡的誤差定義為er＝qh－q，與期望軌跡的誤差定義為eh＝qd－qh。而eh由式（8）二階指令生成：

其中，a、b為對角正定矩陣；F為待設計的虛擬控制力，起著載體基座柔性振動抑制及保持系統剛性運動的作用。

滑模控制器是由等效控制項和切換控制項組成，等效控制項是用于維持系統在滑模面上運動，其性能由滑模面決定。切換控制項作用于滑模趨近運動階段，迫使系統狀態到達滑模面，性能是由滑模趨近律決定。滑模面設計如式（9）：

式中，參數C1＞0，C2＞0，C3和C4均為正奇數，且滿足C3＜C4＜2C3。該滑模面在遠離平衡點和接近平衡點都具有良好的收斂速度，且在有限時間內收斂到零。

為克服慣常使用的滑模切換控制項存在抖振現象與需要預知系統不確定的上界的缺陷，設計如式（11）所示魯棒控制項代替的以往的滑模切換控制項：

式中，Γ1＞0為參數的學習率。

因此，對于彈性基座剛性臂子系統跟蹤虛擬期望軌跡的控制器如式（13）：

如果跟蹤的是實際期望軌跡，其控制器形式為式（14）：

值得注意的是式（14）的控制器只能實現系統的剛性運動控制，不能主動抑制載體基座的彈性振動。如果控制器的設計忽略載體基座的彈性振動，則其控制器形式為式（15）：

將控制器式（13）作用于子系統式（7）可得式（16）：

定義如式（17）所示正定Lyapunov函數：

3.1.2 虛擬控制力的設計

上小節有個待設計的虛擬控制力F，該虛擬控制力作用于二階指令生器，以生成虛擬期望軌跡qh。綜合式（8）和（16），可得空間機器人系統的實際跟蹤誤差方程如式（18）：

綜合式（20）和式（6）可得空間站載體基座彈性振動方程如式（21）：

由式（19）和式（21）可得包含空間站載體基座彈性振動和實際跟蹤誤差的狀態方程如式（22）：

其中：

矩陣D和矩陣d為線性時變矩陣，矩陣E為非線性時變矩陣。將矩陣E視為干擾，使用線性二次型最優控制，并以減少狀態向量z和控制能量F為優化目標如式（23）：

式中，Q∈?8×8和r∈?3×3為正定、半正定常值矩陣，則狀態反饋最優控制為式（24）：

其中，G為如式（25）所示Riccati方程的唯一解：

因此，閉環系統為式（26）：

當E＝O該狀態反饋最優控制可保證閉環系統穩定，當E≠O穩定性分見參考文獻［24］。至此完成了彈性基座剛性臂子系統的控制器的設計。

3.2 基于力矩反饋的關節柔性電機轉子子系統的振動抑制設計

由于電機轉子子系統中反作用于柔性關節的外力矩τ與計算輸出的彈性力矩差代表了柔性關節的振動特性。為此，關節電機驅動力矩τm設計目標應是使τ快速跟蹤，從而抑制柔性關節振動。設計如式（27）所示控制律：

其中，k2＞O，k3＞O均為對角正定陣。使用力矩傳感器可省去電機轉子的角速度和轉角的測量反饋，減少傳感器使用數量，提高控制系統可靠性。上式中切換函數可用雙曲正弦函數代替。

目前針對柔性關節空間機械臂的控制方法主要為：基于奇異攝動法的控制方案設計［25］和基于柔性關節補償的奇異攝動法控制方案設計［26］，其快變子系統控制器的設計形式分別為如下：

奇異攝動法的快變子系統控制器如式（28）：

基于柔性關節補償的奇異攝動法快變子系統控制器如式（29）：

其中，k4、k5、k6均為設計參數。可以看出兩種方案關于柔性關節振動的控制反饋信息均不足，限制了其只能應用于柔性關節剛度較大的情況。再者由于奇異攝動分解理論的束縛，這兩種方案也很難運用于位置不控、姿態受控的這種電機轉子數與柔性關節數不對等的數學模型。

將式（27）代入式（2）可得代表柔性關節彈性振動特性的誤差方程，如式（30）所示：

定義如式（31）所示正定Lyapunov函數：

上式對時間求導可得式（32）：

4 數值仿真算例及分析

以圖3所示的具有彈性基座的柔性關節空間站機械臂為例，設載體基座的彈性剛度1200 N/m，柔性關節扭轉剛度為Km1＝Km2＝15 N·m/rad，電機轉子轉動慣量為Im1＝Im2＝0.08 kg·m2。系統的其他真實參數及運動期望軌跡與初始值如表1所示。

表1 系統真實參數及運動期望軌跡與初始值Table 1 Real System parameters and the desired trajec?tory with initial value

并假設具有彈性基座的柔性關節空間站機械臂各關節角的期望運動軌跡分別為：（單位rad）

仿真時假定載體與剛性桿的轉動慣量不可確知，其估計值分別為 25 kg·m2、2.5 kg·m2及1.5 kg·m2；載體基座彈性剛度的長度和柔性關節剛度的估計值分別為2000 N/m和10 N·m/rad。

控制參數選擇如下：

為驗證文中設計的由彈性基座剛性臂子系統跟蹤虛擬期望軌跡的控制器式（13）和抑制柔性關節振動控制器式（27）組合而成的級聯控制器的有效性，本文采用了三組仿真對照實驗。

第一組直接采用上述級聯控制算法對系統進行數值仿真試驗，仿真結果如圖3～圖8所示。

第二組為關閉虛擬控制力的情況下，由彈性基座剛性臂子系統跟蹤實際軌跡的控制器式（14）和抑制柔性關節振動控制器式（27）組合而成的組合控制器作用于系統，其仿真結果如圖9～圖12所示。

第三組為忽略空間站載體基座彈性振動的控制器式（15）和抑制柔性關節振動控制器式（27）組合而成的組合控制器作用于系統，其空間站載體姿態及關節角的軌跡跟蹤仿真如圖13。

圖3 載體姿態角θ0軌跡跟蹤情況Fig.3 Trajectory tracking of the base's attitude θ0

圖4 載體姿態角θ1軌跡跟蹤情況Fig.4 Trajectory tracking of the base's attitude θ1

圖5 載體姿態角θ2軌跡跟蹤情況Fig.5 Trajectory tracking of the base's attitude θ2

圖6 載體基座彈性振動x（跟蹤虛擬期望軌跡）Fig.6 Elastic vibration x of base（desired virtual trajectory）

圖7 柔性關節振動量Δτ1Fig.7 Vibration quantity Δτ1of the flexible joints

圖8 柔性關節振動量Δτ2Fig.8 Vibration quantity Δτ2of the flexible joints

圖9 載體姿態角θ0軌跡跟蹤情況Fig.9 Trajectory tracking of the base's attitude θ0

圖10 載體姿態角θ1軌跡跟蹤情況Fig.10 Trajectory tracking of the base's attitude θ1

圖11 載體姿態角θ2軌跡跟蹤情況Fig.11 Trajectory tracking of the base's attitude θ2

圖12 載體基座彈性振動x（跟蹤期望軌跡）Fig.12 Elastic vibration x of base（desired tracking traj?ectory）

圖13 載體姿態及關節角仿真圖（忽略載體彈性）Fig.13 Trajectory tracking of the base attitude and the first and the second joint（ignore the base elasticity）

通過以上三組仿真對比實驗可以看出：空間站載體基座的彈性振動會影響關節角的軌跡運動控制，而文中基于虛擬控制力而設計的控制力能夠有效地抑制載體基座彈性振動，所提的級聯控制方法能夠有效地處理關節柔性，明顯地抑制關節柔性振動。

5 結論

文中將級聯系統法和虛擬力概念應用到彈性基座影響下空間站柔性關節機械臂控制器設計中，討論了關節柔性和基座彈性同時存在情況下，參數未知空間站機械臂系統的動力學模擬過程、運動控制算法設計和雙重柔性振動主動抑制。仿真結果表明：基于虛擬力概念的魯棒自適應滑模控制器和級聯控制方法在針對存在未知慣性參數的系統進行控制時，僅通過設計一個控制輸入便可同時保證剛性軌跡跟蹤并對空間站載體基座的彈性振動進行主動抑制，并且能夠有效抑制柔性關節的振動，更適應于空間站柔性關節機械臂系統的實際應用。

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Robust Adaptive Sliding Mode Control and Active Dual Vibration Suppression in Flexible Joint Manipulator of Space Station with Elastic Foundation

LIANG Jie1，3，CHEN Li2，LIANG Wulin3，QIN Kaiyu1
（1.School of Astronautics＆Aeronautic，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China；2.Department of Mechanical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou 350108，China；3.China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，China）

The trajectory tracking control and the vibration suppression of the flexible joint manipu?lator in the space station with elastic base were discussed in this paper.The Lagrangian method and the momentum conservation were adopted in building the dynamic equations.The system could be viewed as a cascade control system consisting of the rigid subsystem of the elastic base and the actua?tor dynamics system of the flexible joint.To actively damp out the vibration in the rigid subsystem of the elastic base，the conception of virtual force was used to design the hybrid desired trajectory re?flecting both the flexible mode and the rigid motion.The original control scheme was modified and a robust adaptive sliding mode control based on the virtual force conception was proposed.By using the concept of virtual force，the rigid trajectory tracking and active suppression of the flexible vibra?tion in the elastic base were realized just with one control input which was more suitable for the prac?tical application of the flexible joint manipulator in the space station.At the same time，the vibration of the flexible joint could be effectively suppressed with the cascade control method even in case of unknown system parameters.The theoretical analysis and simulation results verified the feasibility of the proposed control schemes.

space station；flexible joint manipulator；elastic base；dynamic mode；robust adaptive sliding mode control；active suppression of flexible vibration

V476.1

A

1674?5825（2016）06?0788?09

2016?05?30；

2016?11?14

國家高技術研究發展計劃（863計劃）基金項目（2015AA7055041）；國家自然科學基金（11372073）；四川省科技廳應用基礎項目（2016Y0210）

梁捷（1971－），男，博士后，研究方向為飛行器動力學與控制。E?mail：myamoy81＠163.com