活用圓錐曲線定義妙解題

王暉

求三角形周長

例1 雙曲線[x2a2-y2b2]= 1 （a > 0， b > 0），過焦點F1的弦AB的長為m，另一焦點為F2，則△ABF2的周長為________.

解析 如圖所示，因為A，B是雙曲線上的兩點，

則|AF2|-|AF1|=2a.

∴|AF2|=2a+|AF1|.

同理|BF2|=2a+|BF1|.

∴|AF2|+|BF2|=4a+（|AF1|+|BF1|）=4a+|AB|.

∴△ABF2的周長為

[l=]|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.

答案 [4a+2m]

求三角形面積

例2 橢圓[x2a2+y2b2]=1（a>0， b>0）上一點M與兩焦點F1，F2所成的角∠F1MF2=[θ]，如圖，求△F1MF2的面積.

解析 根據橢圓定義有，|MF1|+|MF2|=2a.

將上式兩邊平方得，

|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|·|MF2|=（2a）2.

根據余弦定理有，

|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cos[θ]=（2c）2.

以上兩式相減得，2|MF1|·|MF2|（1+cos[θ]）=4b2.

∴|MF1|·|MF2|=[2b21+cosθ].

∴[SΔF1MF2]=[12]|MF1|·|MF2|sin[θ]

=[12]·[2b21+cosθ·sinθ=]b2·[sinθ1+cosθ]

= b2tan[θ2].

求距離

例3 如果雙曲線[x264-y236]= 1上一點P到它的右焦點的距離為8，那么P到它的左準線的距離是______.

解析 設雙曲線的左、右焦點分別是F1，F2，P到左準線的距離為d.

則由雙曲線方程可知，a=8， b=6. 這樣就不難判定P點在雙曲線的右支上.

由雙曲線的第一定義有，|PF1|-|PF2|=2a=16，

∴|PF1|=16+|PF2|=16+8=24.

由雙曲線的第二定義有，[|PF1|d]= e.

∴d =[|PF1|e]=[2454]=[965].

答案 [965]

有關軌跡問題

例4 如圖，已知圓的方程為x2+y2=4，點A，B的坐標分別為（-1， 0），（1， 0），動拋物線過A，B兩點，且以圓的切線為準線，求拋物線的焦點F的軌跡.

解析 設拋物線焦點F （x， y），過A，O，B作圓的切線的垂線，垂足分別為C，P，D，

則由拋物線的定義得，|FA|=|AC|，|FB|=|BD|.

從而|FA|+|FB|=|AC|+|BD|=2|OP|=2R=4.

由橢圓定義可知，點F的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，且a=2， c=1.

故所求焦點[F]的軌跡方程為[x24+y23]=1.

求定值

例5 已知拋物線y2=4x，如圖，過焦點F的弦AB被焦點分成FA，FB兩部分，求[1|FB|]+[1|FA|]的值.

解析 由題意得，p=2.

設A，B兩點的橫坐標分別為x1，x2，過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為N，M.

根據定義可知，|FA|=|AM|，|FB|=|BN|.

∴[1|FB|]+[1|FA|]=[1|AM|+1|BN|]=[1x1+p2]+[1x2+p2]

=[x1+x2+px1x2+p2（x1+x2）+p24].

∵AB是過拋物線y2=4x焦點的弦，

∴x1x2 =[p24].

∴[1|FB|]+ [1|FA|]=[x1+x2+pp22+p2（x1+x2）]

=[x1+x2+pp2（x1+x2+p）]=[2p]= 1.

求最值

例6 給定點A （-2， 2），已知點B是橢圓[x225+y216]=1上的動點，F為橢圓的左焦點，求[|AB|+53|BF|]的最小值，并求點B的坐標.

解析 如圖，橢圓的左準線l：x=[-253]. 作BN⊥l，垂足為N.

由橢圓第二定義可知，[|BF||BN|]=e=[35].

則[53]|BF|=|BN|.

∴|AB|+[53]|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|，當且僅當A，B，N三點共線時，|AB|+[53]|BF|取得最小值|AN|，易得，|AN|=[253]-2=[193].

此時B（x0， 2），且x0<0. 將點B的坐標代入橢圓方程得，x0=[-532].

所以當點B的坐標為（[-532]， 2）時，|AB|+[53]|BF|取得最小值[193].

求離心率

例7 如圖，已知F1，F2為橢圓C1的左、右焦點，拋物線C2以F1為頂點、F2為焦點. 設P是橢圓與拋物線的一個交點，橢圓C1的離心率為e，且|PF1|=e|PF2|，求離心率e的值.

解析 設拋物線的準線為l，易得l：x=-3c，其中F1（-c， 0），F2（c， 0）. 作PN⊥l，垂足為N. 點P在拋物線上，F2為拋物線的焦點，由拋物線定義可知，|PF2|=|PN|.

又[|PF1||PF2|]= e，所以[|PF1||PN|]= e.

又點P在橢圓C1上，由橢圓第二定義可知，|PN|為點P到左準線的距離，即橢圓的左準線與拋物線的準線重合，橢圓的左準線方程為x=–[a2c]，

則–[a2c]= -3c，所以e =[ca]=[33].

所以橢圓C1的離心率e =[33].

求軌跡方程

例8 已知圓O的方程為x2+y2=100，點A的坐標為（-6， 0），M為圓O上任意一點，AM的垂直平分線交OM于點P，求P的軌跡方程.

解析 如圖，設P點的坐標是 （x， y），連結AP.

∵P在AM的垂直平分線上，

∴|AP|=|PM|.

∵|OP|+|PM|=|OM|=10，

∴|AP|+|PO|=10.

根據橢圓的定義可知，P點的軌跡是以A，O為焦點的橢圓.

∵A（-6， 0），O（0， 0），

∴橢圓中心為（-3， 0）.

由2a=10得，a=5.

又c=3，所以b2=a2-c2=16.

故P點的軌跡方程是[（x+3）225+y216]= 1.

正確地運用圓錐曲線定義求解數學問題，給人一種返璞歸真之感. “回到定義上去”這一解題策略要求我們，要懂得數學概念發生作用的那些問題和數學概念在研究這些問題中的特殊用處. 利用此法解題，不僅可以優化解題過程，并且對培養思維的敏捷性，促進解題能力的提高，都是非常有益的.