臺灣數學研究現況（中）

于昕濤++張濤

數學分析

目前島內數學分析領域的研究活動，大致可分為四大類，即古典分析、泛函分析、調和分析、非線性分析與凸分析。臺灣學者在古典分析領域主要研究方向有：不等式理論、可和性理論、逼近論、特殊函數論和復變數函數論等。

其中，對不等式理論方面涵蓋各種不等式的研究，包括Hardy不等式、Carleman不等式、Hilbert不等式、Holder不等式、Young不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式、Tchebychef不等式及其它形式不等式的探討已有很長一段的研究歷史。目前沿可和性理論方向發展的研究包括：各式的求和方法探討，包括單維度或多維度的各種Tauberian型定理及其在富氏級數及泛函分析方面的應用；矩陣方法的引入及應用，包括無限維矩陣范數的探討、級數型或積分型哈地不等式及寇布申不等式的推廣及其在復變方面的延伸等；泛函分析觀點（例如FK-空間、Saks-空間、包含定理）的探討。

在函數空間上的逼近方面，臺灣學者正在探討以正線性算子或積分算子序列作用于函數所得函數序列逼近到原函數的點收斂、Lp-收斂，以及其收斂速度的估計。特殊函數論的研究在島內目前以探討伯努利多項式、歐拉多項式、Zeta函數以及相關函數為主。復變數函數論的研究在臺灣大致分為Hardy空間相關的研究及Nevalinna理論的探討。另外，在多復變函數和復流形上的研究，也廣泛使用古典分析的方法。

泛函分析近年在臺灣正在蓬勃發展。通過一系列定期在島內各校輪流舉辦的大小型研討會，從事泛函分析的學者和研究生有一個固定的平臺參與合作，其中比較活躍的方向有：矩陣分析、算子理論、演化方程及算子和函數代數等。目前島內矩陣分析的研究學者大多集中于矩陣數值域和矩陣保錐函數兩個題材，前者主要考慮矩陣的酉不變性質和數值域的幾何性質二者之間的相互關系，后者則推廣古典的有關正矩陣的Perron-Frobenius定理，就保錐函數的譜理論與錐體幾何性質二者的關聯性作深入的探討。此兩類題材的研究都超越了單純的矩陣理論，而采用了其他領域的方法和技巧。

算子理論源起于20世紀初泛函分析中有關積分算子、自伴算子與緊致算子的研究，系近代分析學中重要的一環。近年來，國際上的發展漸漸由抽象的算子結構的探討（如不變子空間問題）轉往具體的函數空間算子及算子在控制理論上的應用等方向。在這兩方面，目前島內都有學者作深入持續的研究。由稠定算子所定義的演化方程式和與其解有密切關系的C0-半群和解析半群的理論在上世紀80年代時就相當完備，島內學者主要探討非稠定算子所定義的非齊性演化方程式和Volterra積分方程式的可解性，以及與其解有密切關系的算子函數（包括積分C-半群、積分C-余弦函數、K-正則豫解算子函數）的生成、微擾和漸近行為。函數代數作為算子代數的特例，更是成果豐碩。在島內的研究重點包括算子代數的約當結構理論，并且也討論作用在其間或者函數代數的緊致算子、等距算子、保斥算子、位移算子和Hankel算子，以及它們的譜分解的問題。

臺灣學者對調和分析的研究主要集中在歐氏空間上的富氏分析和小波理論。在經典的富氏分析方面，島內研究重點包括級數的收斂性與奇異積分算子的有界性，前者主要考慮多維度的三角級數及由不同的特殊函數所衍生的三角級數之收斂性，后者則考慮歐氏空間上的乘算子、Marcinkiewicz積分算子、分數次積分算子、Riesz變換等在Lp、Hp空間上的有界性及其加權有界性，同時也考慮Besov空間、Triebel空間上的T1定理與Tb定理。在小波轉換方面，島內研究重點包括其在數值分析、構造快速數值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、控制理論等應用領域，如在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等，在圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識別與診斷、去污等，在醫學成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間及提高分辨率等，以及在地震勘探的數據處理與大型機械的故障診斷等方面的應用等。

為了解決物理、工程、管理、經濟及自然界的很多非線性問題，數學家利用泛函分析與極值分析為主要研究工具，發展出一套非線性分析及凸性分析數學理論，其涵蓋領域非常廣，包括定點理論、最佳化理論、KKM理論、控制理論與變異分析等。目前臺灣島內仍有不少人從事定點理論方面研究，包括證明定點的存在性、應用及推廣和各種定點解法。在最佳化理論方面的研究工作有一部分從事解存在性，探討有解的充分及必要條件，也有不少人從事求解方法的研究；在半無線數學規劃、雙層規劃、有平衡制控數學規劃方面，很多學者均著重于求解的方法及有解的必要條件。KKM理論研究主要集中在KKM定理的推廣、相容定理、mini-max不等式及其應用方面，并拿來作為處理其他問題的工具。

以往島內控制理論研究主要集中在微分包含解的存在性、受控制體、控制器在內全控制系統的可控制性、可觀測性、穩定性、性能強健及成本函數最佳化等的數學理論方面。上世紀90年代以來，非線性系統研究成為發展重點，包括偏微分方程數值解、非線性分解等方面。變異分析研究主要集中在Ekelands variational原理、平衡制控多目標優化問題、平衡點問題、變分不等式、變分包含、劣微分變分理論、平滑變分原理、微分包含、補余問題研究及其應用、多值映射微分及其應用、最優控制的最大原理、最優控制的必要條件、劣微分、極值原理等領域。

幾何

幾何拓樸在臺灣一直保持量小而質精的穩定發展。在每年平均不到40項臺灣科技主管部門此類研究計劃申請項目中，卻有超過1/3的計劃主持人曾獲得杰出獎。其原因在于島內相關研究人員大多畢業于外國一流大學的數學研究中心，研究主題基本上與世界同步，難度雖然偏高，研究成果也因而多具有較高水平。

然而，精益求精背后卻也逐漸突顯了幾何拓樸在臺灣發展的瓶頸。由于相關期刊門檻較高，投稿不易，一些人便逐漸放棄幾何拓樸的研究，甚至許多大學數學系也逐漸停開幾何學課程。如今臺灣相關研究人員幾乎全部集中在島內約10所大學里，重點聚焦在非線性分析中方程式解的奇異點與空間的奇異點研究，以及雙有理幾何的極小模型理論方面。

微分方程

微分方程長久以來被廣泛應用于自然科學、工程及各種數學問題中。近年來，有更多的生物科學領域（如系統生物學、生理學）、經濟學及金融學等也開始大量使用微分方程或其相關的離散形式，當作描述現象動態行為的利器。在臺灣，微分方程有許多重要的活躍領域，包括幾何分析、拋物型及反應擴散方程、橢圓偏微分方程、金茲堡-朗道（Ginzburg-Landau）方程、非線性薛定諤（Schr?dinger）方程、守恒律方程、納維葉-斯托克斯（Navier-Stokes）方程、動力學及波茲曼方程、常微分方程、動態系統、微分方程的反問題等。

在幾何分析相關領域，島內學者研究方向主要集中在曲率流相關主題，如平均曲率流、膨脹流、預定曲率問題、里奇（Ricci）流、調和映射、最小子流形、流形函數論等，近幾年來取得很大的進步，特別是在高余維平均曲率流方面獲得重大突破，已吸引了島內一些優秀年輕學者從事這方面的研究。

在拋物型方程的研究中，反應-擴散方程是非?；钴S的領域。這類方程被用來描述燃燒、各種化學反應、材料的相變、神經傳導、心臟跳動、生態模型等，其特色是包含許多樣式豐富的解。在雙曲型偏微分方程的研究方面，主要研究解的存在性、多重性、及穩定性。其模型主要來自于空氣動力學、天體力學及彈性力學等。研究成果將有助于對流體運動的了解及應用。然而，上述各類模型在實際狀況下將無可避免地必須考慮信息傳遞的時間遲滯性及外界環境與系統彼此間的隨機干擾因素，因此目前正將研究方向擴展至遲滯型微分方程及隨機動態系統。

最近幾年，島內有相當多的學者從事與橢圓方程相關的研究，主題大都與半線性型的方程有關，其進展包括：輻射對稱解的存在性，多重性及分岐行為，解所定義區域的幾何結構（如有界無界、凸性、拓樸復雜程度等）和解的存在性、多重性間的關系，臨界非線性指數情形下解爆破行為的研究，構造哈密頓（Hamiltonian）系統中多凹凸解及不同非線性項下的多峰值解，完全非線性橢圓差分算子及相關離散方程所具有的極大值原理，與物理、生物數學相關的橢圓偏微分方程式，如薛定諤方程的孤立解、金茲堡-朗道方程、Liouville方程、陳-賽門（Chern-Simons）方程、Toda系統，保角幾何中的完全非線性方程等。這些研究的特色之一，是除了傳統的存在性唯一性外，更探討解其他多樣的相關問題，如復雜的圖形、解的整體構造、幾何性質等，同時也使用了許多重要的非線性分析工具。

近10年來，島內學者在金茲堡-朗道方程方面有一些成果，其數學工具為利用變分法所發展的能量估計，通常用于凝聚態物理學中描述超導和超流體。另外，一些關于漩渦動態的數值計算也有進展，如漩渦解的結構、穩定性分析、漩渦動態等。2014年起，臺灣“理論科學研究中心”的數學組與物理組研究人員已經建立起合作團隊，雙方正在共同開展有關金茲堡-朗道方程應用在理論物理方面的科學計算研究。

非線性薛定諤方程是目前偏微分方程領域最重要的主題之一，無論在理論或應用方面，臺灣都有學者投入研究，取得一些計算的成果。臺灣科技主管部門下屬“數學研究推動中心”發表的報告認為，研究薛定諤方程，對臺灣數學界而言仍然需要加強物理方面的知識，并與物理學界有更進一步的互動，否則只是純粹的“分析”或計算，或者只停留在有文章發表層面，是“閉門造車”。其次在分析方面，近20年來，由于調和分析的引進，使得薛定諤方程及其相關的色散波方程的研究有極快速的發展，但目前臺灣在這方面仍然非常缺乏，甚至是脫節。

守恒律方程所涵蓋的物理模型十分廣泛，其中包括氣體、液體、彈性體、等離子體、星云等幾乎所有連續體力學的模型方程。上世紀90年代，臺灣著名數學家劉太平等人對解的唯一性研究有很大的貢獻，近幾年的研究則延伸到有源項的守恒律、非線性波方程及波茲曼方程、愛因斯坦場方程的震波解以及守恒律在多維度的數值方法。目前熱門的研究課題有：非線性波理論（如有源項、粘性項行進波的穩定性問題，解的長時間漸近行為問題等），計算方法的設計與其數學理論，波茲曼方程解的定性研究，混合型方程及跨音速流體中可壓縮流歐拉方程大域解的存在及唯一性問題，大初值柯西問題的大域解存在及唯一性問題等。這些課題均有十分廣泛的應用性，對臺灣島內力學和偏微分方程的發展影響尤深。

而在常微分方程領域，近20年來，島內學者研究領域大都著重于應用科學數學模型的數學分析，如生態數學模型、類神經網絡、流行病數值模型、天體力學等。網格型動態系統研究模型主要來自于細胞神經網絡，其目的在于模仿人腦的結構及運作，在工程上可用來處理指紋辨識、圖像處理、生物視覺及模擬人腦之用。這類大型甚至于是無窮維的系統，可產生非常復雜的行為，研究上極具挑戰性。