尋找突破口，挑戰數學中的綜合性試題

李姣中

綜合性試題是一道多知識點、探究型試題，它對學生的要求極高，考查學生的綜合應用能力、正確理解問題的能力、整體分析問題和解決問題的能力及對數學知識、數學方法得心應手的駕馭能力和較強的創新意識和創新能力。另外，還必須具有強大的心理素質。

一、以動態問題為例，客觀理性分析，尋找變與不變量

初中數學動態問題包括動點問題、動線問題、動面問題，體現了軸對稱、平移、旋轉、翻折等圖形變換，動態問題審題過程中要求學生用運動和變化的眼光觀察和研究問題，把握運動變化的全過程，尋求運動變化中的不變量，立足于不變關系及特殊關系，動中求靜，以靜制動，窺視變量與不變量間的關聯，找出解決問題的突破口。為尋找問題的切入點和突破口，學生在審題時應注重量與量間存在的聯系，從而挖掘出解題思路和方法，構建數學模型。

二、綜合性試題中蘊含的常見數學思想方法

1.分類討論思想。

分類討論思想是將問題可能出現的情況按一定原則，一一進行研究討論，匯總結果，得出正確答案的重要思想方法，能確保解題的完整性，以免掉進題目設計的陷阱中。如直角三角形的存在性問題，要考慮三個頂點都有可能是直角頂點，大方向可分為三類：（1）∠A為直角，（2）∠B為直角，（3）∠C為直角；兩個三角形相似時，要注意點間的對應關系，相等角所對的頂點是對應點。

2.數形結合思想。

數形結合思想是指把問題中的數量關系與形象直觀的幾何圖形有機結合起來，并充分利用這種結合尋找解題的思路，使問題得到解決的思想方法。在分析問題過程中，把圖形性質問題轉化為數量關系問題，或者把數量關系問題轉化為圖形性質問題，通過建立點與數即坐標之間的對應關系，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面可借助幾何直觀，得到某些代數問題的解答。

3.化歸與轉化思想。

化歸與轉化思想是化未知為已知，把復雜的問題簡單化，把生疏的問題熟悉化，把非常規問題化為常規問題，把實際問題數學化，實現不同數學問題間的相互轉化。

4.方程與函數思想。

結合函數圖像和性質，加以分析，把函數問題轉化為方程問題。如求直角坐標系中，拋物線和直線的交點坐標時，可聯立兩個函數解析式，轉化為二元一次方程組的求解問題，方程組的解即為兩函數圖像的交點坐標；確定函數解析式需要用待定系數法轉化為方程或方程組求解。

三、教學反思和建議

針對綜合性試題的解決，筆者提出幾點觀點和建議：

1.注重自信心培養，克服恐懼感。

考試中，絕大多數學生做綜合性試題時，不認真審題，易放棄，導致學生未批先失分。原因為學生在較短時間里難以理清各種關系，在問題轉化上，在解題策略選擇上難以一下子找到合理途徑，從而內心存在對此類題的恐懼感，擔心浪費時間。因此，平常訓練中注意常規題和高頻考題訓練和加強，由易到難、由淺到深地進行訓練，給予數學思想方法的引導和充分的肯定，使學生形成做題的模型和思路，加強做正確的決心，培養學生的成就感和自信心。

2.注重審題分析過程，嘗試大膽猜想。

正確審題是做好試題的關鍵，分析問題是做好試題的思路導向。認真審題、理解題意、探究解題思路，才能正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題特點、結構，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設計。解數學壓軸題要善于總結題目中隱含的數學思想，如轉化思想、數形結合思想、分類討論思想及方程思想等。認識條件和結論之間的關系、圖形的幾何特征與數、式的數量、結構特征的關系，確定解題思路和方法。當思維受阻時，要及時調整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內在聯系，由此大膽猜測結論，用所學知識進行分析歸納，進而嚴密地推理論證。

3.重基礎和計算能力，不要盲目追新求難。

盲目追新求難，忽視基礎，其結果必然是得不償失的。事實證明：相當一部分學生在壓軸題上的失分，并不是沒有解題思路，而是錯在非常基本的概念上或輸在簡單的計算上，因此復習過程中，要重基礎知識間的串聯和計算能力培養，對特定題講解并要求學生打上重點符號，造成學生思維上的刺激，強化記憶。把工夫和時間花在夯實基礎、總結歸納、打通思路、總結規律、提高分析能力上。

4.注重知識間的銜接，適當補充高中知識。

5.注重一題多解的灌輸，讓學生對知識和方法融會貫通。

綜合性試題不宜過多盲目訓練，不僅不會促進學生思維能力發展、技能形成，反而易使學生疲勞，興趣降低。對于同一道題，從不同角度分析研究，可能會得到不同啟示，引導學生進行一題多解訓練，通過廣泛聯想，學生思維觸角伸向不同方向、不同層次，不僅能鞏固所學知識，而且能較好地培養學生思維的廣闊性和靈活性。

6.注意書寫的規范性。

書寫規范不僅字要寫得美觀，還要注意書寫步驟規范，明確寫完這一步后下一步怎么寫，嚴防重結果輕過程。對于常規題的書寫過程要求學生先寫，對于復雜的過程則要求學生和我一起寫，然后學生再自己書寫一遍，隨機抽查。

總之，綜合性題覆蓋知識面廣、綜合性強，平時訓練中要重視基礎知識間的聯系、基本技能訓練和數學思想方法培養，充分發揮學生自主能動性，讓學生以自信樂觀的心態面對數學問題。