魅力七巧板

眭亞燕

七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，是一千多年前的古代人民創(chuàng)造出來的益智游戲.它是把一塊正方形的木板分成七塊（如圖1），其中有五個(gè)直角三角形，一個(gè)平行四邊形和一個(gè)正方形.用七巧板可以拼出很多種圖形，如能拼出個(gè)數(shù)字（如圖2）或英文字母（如圖3），也能拼出幾何圖形、動(dòng)物、建筑物等.

七巧板既是玩具又是學(xué)具，大家能在“玩”中學(xué)習(xí)，“玩”中開動(dòng)腦筋，“玩”中動(dòng)手操作.在拼擺活動(dòng)中，挖掘七巧板游戲背后那些有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想，會讓你獲得終身受益的思維方式.

一、七巧板的發(fā)展歷史

1.歷史淵源——從家具到玩具

宋朝有個(gè)叫黃伯思的人，對幾何圖形很有研究，他熱情好客，發(fā)明了一種用6張小桌子組成的“宴幾”——宴席用的矮腳桌.有趣的是每張幾形狀都不同，它們有一定的尺寸，既可單獨(dú)使用，又可根據(jù)所要拼成的桌面大小來調(diào)整，可大可小，圖形變化無窮.后來有人把它改進(jìn)為7張桌組成的宴幾，可以根據(jù)吃飯人數(shù)的不同，把桌子拼成不同的形狀，比如3人拼成三角形，4人拼成四邊形，6人拼成六邊形……這樣用餐時(shí)人人方便，氣氛更好.再后來，有人把宴幾縮小到只有七塊板，并用它拼圖，演變成了一種玩具.因?yàn)樗擅詈猛妫匀藗兘兴捌咔砂濉?

到了明末清初，皇宮里經(jīng)常用“七巧板”來慶賀節(jié)日和娛樂，拼成各種吉祥圖案和文字，故宮博物院至今還保存著當(dāng)時(shí)的七巧板呢！18世紀(jì)，七巧板傳到國外，立刻引起了當(dāng)?shù)厝藰O大的興趣，有些外國人通宵達(dá)旦地玩它，并叫它“唐圖”（Tangram），意思是“來自中國的拼圖”，它是世界公認(rèn)的中國人創(chuàng)造的智慧游戲.1978年荷蘭人JoosfElffers編寫了一本有關(guān)七巧板的書，書中收集了1600種圖形，并被譯成多國文字出版.

2.數(shù)理淵源——從“矩”認(rèn)識到勾股法

中國最權(quán)威的七巧板專家傅起鳳經(jīng)過30多年的考據(jù)證明，認(rèn)為七巧板的文化數(shù)理淵源來自人們對“矩”（直角三角形）的認(rèn)識.桑下客在《正續(xù)七巧板圖合璧》序言中說：“七巧之妙，亦名合巧圖，其源出于勾股法.”傅起鳳考證：“七巧板最顯著的特點(diǎn)，是全部圖形都以矩為基礎(chǔ)構(gòu)成，七巧游戲可以說是矩的游戲.”“我們的祖先對矩情有獨(dú)鐘，認(rèn)識、研究、應(yīng)用矩非常之早.中國古代的數(shù)學(xué)經(jīng)典《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》中，最早討論了矩的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用問題，在世界科學(xué)史上具有極其重要的作用.”迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明已有500余種，七巧板的歷史也許應(yīng)該追溯到我國先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，其中有正方形切割術(shù)，并由之證明了勾股定理.但當(dāng)時(shí)是將大正方形切割成四個(gè)同樣的三角形和一個(gè)小正方形，如圖4所示，當(dāng)時(shí)還不是七巧板，僅僅是五巧板，現(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過一段歷史演變而來的.這個(gè)拼圖簡潔、明了，整個(gè)大正方形的面積等于其中四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，從而建立等式.經(jīng)過簡單的代數(shù)推導(dǎo)過程，就能證明勾股定理了.

3.清朝改良——從七巧板到益智板

我們知道利用七巧板可以拼出許多巧妙的圖形.但是，由于七巧板的塊數(shù)較少，而且都是多邊形，因此拼出來的花樣必然會受到一定限制.清朝同治元年（1862年），有一個(gè)叫童葉庾的數(shù)學(xué)家將七巧板加以改進(jìn)，發(fā)明了“益智板”.益智板有15塊，有些塊含有圓弧，其結(jié)構(gòu)如圖5所示.15塊組件的形狀分別是：一個(gè)平行四邊形、兩個(gè)半圓、四個(gè)帶圓弧的L字形、四個(gè)三角形、兩個(gè)梯形和兩個(gè)L形.用益智板可以拼出一些造型復(fù)雜的圖案，如圖6所示，由于它拼出的圖形比七巧板更多、更美觀自然，因此能引起人們更大的興趣.

二、七巧板的拼圖悖論

所謂“悖論”就是有這樣一種命題：你說它是真的，那么它是假的；你說它是假的，那么它又是真的.歷史上出現(xiàn)過一些著名的悖論，如說謊者悖論，說的是公元前6世紀(jì)，古希臘克里特島的哲學(xué)家艾皮米尼蒂斯說：“所有克里特人都是說謊者.”如果這句話是真的，那么也就是說，克里特人艾皮米尼蒂斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人都是說謊者相悖；如果這句話不是真的，那么克里特人艾皮米尼蒂斯就不是說謊者，他說的話就應(yīng)該是正確的，但顯然這與他說的那句話矛盾.所以無論怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論.

簡簡單單的七巧板蘊(yùn)含著許多有趣的數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)中出現(xiàn)悖論，是科學(xué)家歷來十分關(guān)注的一個(gè)問題，也是一個(gè)十分有趣的問題.在七巧板的研究中，人們也發(fā)現(xiàn)了有趣的拼圖悖論.下面就讓我們來欣賞一下吧.為了便于表達(dá)，不妨設(shè)原正方形的邊長為2，則七巧板中的每條邊長都可以表示出來，如圖7所示，用這副七巧板拼出以下四幅圖形：

拼法一、二和拼法三、四分別所對應(yīng)的圖形，外形看起來幾乎一模一樣，但實(shí)際上面積是不相等的.事實(shí)上，這些悖論曾引起過科學(xué)界的熱烈討論，隨著問題的解決，也極大地推動(dòng)了科學(xué)，尤其是科學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展.最后，聰明的你能否拼出圖8和圖9中的悖論圖呢？

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)浦河實(shí)驗(yàn)學(xué)校）