彩票是否值得買

喬丹·艾倫伯格

彩票的吸引力由來已久。這種博彩活動可以追溯至17世紀的熱那亞，當時，熱那亞的博彩活動已經(jīng)在采用現(xiàn)代“強力球”玩家十分熟悉的玩法了。賭徒們努力地猜測隨機抽取的5個數(shù)字，猜中的數(shù)字越多，獎金越高。

大多數(shù)彩票玩家認為，與購買一組號碼相比，把寶押在兩組號碼上，損失的可能性更小。沒錯，對于獎勵機制簡單的彩票，我們可以很容易地進行分析。

假定彩票一共有1000萬種號碼組合，其中只有一種會中獎。每張彩票售價1美元，獎池累積獎金為600萬美元。

如果購買所有號碼組合需要付出1000萬美元，則損失金額為400萬美元。相較之下，僅購買一張彩票的玩家更有優(yōu)勢，至少他有千萬分之一的機會中大獎。

如果購買兩張彩票呢？損失的概率會降低，但幅度不大，只有千萬分之一。不停地買，損失的可能性也會不斷降低，直到購買600萬張彩票。此時，把獎池掏空的概率是60%，而虧本的概率為40%。但如果再多買一張彩票，就肯定會虧錢。至于是虧1美元還是6000001美元，取決于你之前是否已經(jīng)買到了大獎號碼。購買600萬張彩票的做法可以將虧錢的概率降至最低，但這并不代表它就是正確玩法。

假如有個家伙愿意付1.20美元收購你手中的彩票，那么，聰明的做法是接受這筆利潤為0.20美元的交易，還是繼續(xù)持有彩票呢？這取決于你設(shè)定的彩票價值是高于還是低于1.20美元。在此，我要引入“期望值”這個因素。

我們可以運用下述方法計算彩票價值的期望值：對于每一種可能的結(jié)果，將出現(xiàn)該結(jié)果的概率與該結(jié)果所對應(yīng)的彩票價值相乘。在我們這個簡化的例子中，只存在兩種結(jié)果：要么虧錢，要么獲利。因此，我們得到：

9999999/10000000×0美元=0美元

1/10000000×6000000美元=0.60美元

然后，將兩個結(jié)果相加：

0美元+0.60美元=0.60美元

因此，彩票價值的期望值是0.60美元。如果有人上門以1.20美元的價格收購彩票，根據(jù)期望值，我們應(yīng)該接受這筆交易。實際上，根據(jù)期望值，當初我們就不應(yīng)該以1美元的價格購買彩票。

目前，強力球風(fēng)靡美國，有時單次開獎就可以賣出多達1億張彩票。那么，玩這種彩票游戲是否明智呢？

2013年12月6日，就在我寫這篇文章的時候，累計獎金已經(jīng)高達1億美元了，而且贏取累積獎金不是贏錢的唯一途徑。與很多彩票一樣，強力球也設(shè)置了多個等級的獎金，正是那些容易中的小額獎金讓人們覺得這種游戲值得一玩。

下面我向大家介紹如何計算一張售價為2美元的彩票的期望值，如果你購買了一張彩票，你就有：

1/175000000的概率贏取1億美元的累積獎金；

1/5000000的概率贏取100萬美元獎金；

1/650000的概率贏取1萬美元獎金；

1/19000的概率贏取100美元獎金；

1/12000的概率贏取另外一個100美元獎金；

1/700的概率贏取7美元獎金；

1/360的概率贏取另外一個7美元獎金；

1/110的概率贏取4美元獎金；

1/55的概率贏取另外一個4美元獎金。

你可以從強力球網(wǎng)站上找到這些內(nèi)容。因此，強力球彩票價值的期望值為：

1億/1.75億+100萬/500萬+1萬/65萬+100/19000+100/12000+7/700+7/360+4/110+4/55，得數(shù)略小于0.94美元。換言之，根據(jù)期望值理論，這張彩票根本不值2美元。分析到這里并沒有結(jié)束，因為彩票的情況還會有所變化。當累積獎金為1億美元時，彩票的期望值較低。但是，只要累積獎金不被人領(lǐng)走，就會有更多的錢進入獎池。累積獎金越多，買彩票的人越多，就越有可能讓某個家伙中大獎。2012年8月，密歇根鐵路工人唐納德·勞森中了3.37億美元的大獎。

大獎如此豐厚，彩票價值的期望值也會隨之增加。那么期望值達到多少，彩票價值的期望值才會超出2美元的成本價呢？我們把累積獎金的值記作J，那么：

J/1.75億+100萬/500萬+1萬/65萬+100/19000+100/12000+7/700+7/360+4/110+4/55>2

要使期望值超過我們投入的2美元，我們需要使累積獎金J的臨界值略大于2.85億美元。這個金額并不是多么難得一見，2012年的累積獎金就有3次達到了這個規(guī)模。這樣看來買彩票似乎是不錯的買賣，只要我們等到累積獎金足夠高時再出手就可以了。

分析到這里仍然沒有結(jié)束。隨著累積獎金越多，參與的人就越多；參與的人越多，中獎的人就越多。在唐納德·勞森贏取3.37億美元的時候，他面對的競爭對手多達7.5億人。但是，大獎只有一個。如果有兩個人同時中了大獎號碼，他們就要平分這筆獎金。那么，一個人獨得累積獎金的可能性有多大呢？這個概率為1/175000000，而且要滿足兩個條件：第一，必須猜中全部6個號碼；第二，其他人都沒猜中。而單個玩家中不了累積獎金的概率卻非常高，為174999999/17500000。但是，如果有數(shù)量龐大的人群，比如7.5億名玩家參與彩票游戲，其中每個人中大獎的概率就會非常大。這個中獎概率到底有多大呢？如果我們知道甲事件發(fā)生的概率和乙事件發(fā)生的概率，且兩件事各自獨立（一件事的發(fā)生不會對另一件事產(chǎn)生影響），那么它們同時發(fā)生的概率為各自發(fā)生概率的乘積。由此，我們可以知道，7.5億人中不了大獎的概率為：

[（174 999 999175 000 000）750 000 000≈0.651]

也就是說，其他玩家中不了大獎的概率約為65%，其中至少有一個人中獎的概率為35%。如果真的有另外一個人也中獎了，勞森的獎金就會從3.37億美元減少到1.68億美元。此時累積獎金的期望值將會降至：

65%×337000000美元+35%×168000000美元=278000000美元

這個期望值略低于保證累積獎金物有所值的臨界值，即2.85億美元。而且，上述分析還沒有考慮有兩個以上的人中大獎并均分累積獎金的概率。即使累積獎金超過3億美元，也可能因多人平分大獎而使彩票價值的期望值低于我們的投入。此外，我們還沒有考慮中大獎之后應(yīng)繳納的稅費。

如果你希望在強力球上有所斬獲，下面是經(jīng)過數(shù)學(xué)驗證的3個策略：

1.別玩強力球。

2.如果要玩，也要等累積獎金非常高的時候再買。

3.如果累積獎金非常高而且你準備購買強力球，那么盡可能降低與其他人分享大獎的概率——不要選擇你的生日數(shù)字；不要選擇以前中過獎的號碼組合；不要選擇可以在彩票上構(gòu)成美麗圖案的那些號碼。

（貝 爾摘自中信出版集團《魔鬼數(shù)學(xué)》一書，辛 剛圖）