借助幾何直觀 提升學習效率

張衛星

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中新增的核心概念，它是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。小學生的思維水平正處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。幾何直觀將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機結合，充分展現問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，從而突破數學理解上的難點。因此，作為數學教師要根據學生實際靈活運用幾何直觀，把復雜的數學問題變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解數學，從而提升學習效率。

一、借助幾何直觀，理解算式意義

算式比較抽象，內涵比較豐富。如果單純地讓學生說算式的意義，學生可能會覺得枯燥乏味，且不知其所以然。如果能將算式與直觀圖形進行有效溝通，就可以讓學生更好地理解算式的意義，同時又可以讓學生覺得原來數學這么有趣，從而自然而然喜歡上數學。

[案例1]人教版四年級數學下冊“減法的性質”教學片段：

師：下面兩道算式，你覺得相等嗎？為什么？

178-（78+66）和178-78+66

大部分學生是通過計算來說明的，結果當然有兩種——相等與不等，對的還是對，錯的還是錯，誰也說服不了誰。

師：大家都有自己的想法，現在就請你們用線段圖來表示這兩道算式的意思吧，看看結果會是怎樣？（在展示學生的作品后，教師課件出示如下標準的線段圖。）

生1：表示結果的線段長度不一樣！第一幅圖顯示在一條線段中依次減去兩條短線段，而第二幅圖只是減去一條短線段，然后加上另一條短線段。

生2：當然不一樣，178-（78+66）不等于178-78+66；178-（78+66）而是與178-78-66相等。

評析：學習“減法的性質”后，教材安排了運用這種性質進行一些簡便計算，學生由于過于關注“數”，因而對于結構相似的算式容易混淆、出錯。上述教學中，教師引導學生畫出線段圖，并通過對線段圖的解讀，讓學生較好地理解相似算式的不同意義，從而減少學生出錯的概率。可見，借助幾何直觀可以使學生較好地理解算式的意義。

二、借助幾何直觀，明晰概念本質

概念是對事物本質屬性的反映，既是思維的基礎，又是思維的“細胞”，是正確推理和判斷的依據。在平時學生的錯題中可以看出，大多數的錯誤都是由于數學概念不清或者對數學概念理解不夠確切造成的，又因為概念具有一定的抽象性，所以難度也就可想而知。而適時借助幾何直觀，可以讓抽象的概念變得具體形象，從而讓學生快速明晰概念的本質。

[案例2]人教版三年級數學上冊“認識周長”教學片段：

師：看，這些小羊大家認識嗎？小羊們要上一節體育課，老師給它們布置了一個任務——圍操場跑一圈。想知道它們是怎樣跑的嗎？

生（齊）：想。

師：我們來看，這是三只小羊的跑步路線圖。觀察一下，你有什么想說的？

生1：我覺得懶羊羊跑得不對，它沒有繞著操場跑一圈，而跑到操場里邊去了。

師：你覺得它應該怎樣跑呢？

生1：它應該沿著操場的邊線來跑。

師：對啊，圍著操場跑，就應該繞著操場的邊線來跑。（板書：一周邊線的長度）

生2：暖羊羊跑得也不對，它雖然沿操場邊線跑了，但它沒有跑完。

師：它應該跑到哪兒？

生2：它應該跑回到起點的位置。（板書：回到起點）

師：喜羊羊跑對了嗎？

生3：喜羊羊跑對了，它是沿著操場的邊線跑的，而且還跑回到了起點。

師：像喜羊羊這樣跑一圈，就是我們剛才所說的“一周”。誰再來說說，怎樣才是操場的一周？（生答略）

師：請同學們伸出手來，從這一點出發，描出操場的一周。（學生跟著教師比畫，描出圖上操場一周。）

評析：在上述教學中，教師創設了學生熟悉的動畫人物跑步的情境。通過對三種直觀的不同跑步線路的辨析，讓學生明晰什么是操場的“一周”，即一周邊線的長度，從而初步建立起“一周”的概念。而“一周”的概念明晰了，“周長”的概念也就水到渠成。可見，借助幾何直觀可以讓學生明晰概念的本質。

三、借助幾何直觀，感知數學模型

數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而做的一個抽象的、簡化的結構。具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。數學模型比較抽象，不易感知。但若能將數學模型用圖形直觀地展示出來，學生感知起來就易如反掌。

[案例3]人教版四年級數學下冊“乘法分配律”教學片段：

教學伊始，教師在屏幕上出示以下問題：

有一個長方形的果園，原來長80米，寬20米，擴大規模后，長增加了30米。現在這個果園的面積有多大？

師：想象一下，如果用一幅圖來表示題目的意思，這幅圖會是怎樣的呢？請把想象的圖畫出來。（學生開始畫圖）

交流學生作品后，師課件呈現規范圖形（如下圖）。

師：你們會獨立解決這個問題嗎？（學生嘗試解決）

師投影反饋：說說你是怎么想的？

生1：我先算出擴大規模后果園的長，再算擴大規模后果園的面積，即（80+30）×20=2200（平方米）。（教師適時進行課件動態演示）

生2：我先算出果園原來的面積，再算出后來增加的面積，最后把原來的面積和增加的面積合起來就是果園現在的面積，即80×20+30×20=1600+600=2200（平方米）。（教師同樣適時進行課件動態演示）

師：剛才大家都用自己喜歡的方法從不同的角度出色地解決了同一個問題。現在請大家觀察一下這兩個等式：（80+30）×20=2200（平方米），80×20+30×20=1600+600=2200（平方米），你們有什么要說的？

生（齊）：它們的結果是一樣的！

教師適時板書：（80+30）×20=80×20+30×20。

師：大家會讀這個等式嗎？

生：80加30的和乘20，等于80乘20的積加30乘20的積。

評析：在上述教學中，教師提出問題后并沒有讓學生直接計算，而是引導學生想象出這個果園原來和擴大規模后的幾何圖形，在充分交流的基礎上再出示制作好的幾何圖形課件，讓學生根據圖形嘗試解決問題。借助幾何直觀，學生的學習興趣更濃，解決策略更多，學習自信更強，最重要的是在“式”與“形”的結合中，學生初步感知到乘法分配律這一數學模型。可見，幾何直觀是幫助學生直接感知數學模型的有效載體。

四、借助幾何直觀，感悟數學思想

數學思想是學生認識事物、學習數學的基本依據，是學生數學素養的核心，是數學學習的靈魂。數學思想是人們在生產生活中總結出來的，具有悠久的歷史，經歷過實踐的檢驗，具有高度的抽象概括性。學生感悟數學思想也不是一蹴而就的，而是伴隨自身知識、思維的發展而逐漸感悟的。如果教師能借助幾何直觀，把數學思想形象展現出來，那就可以大大縮短學生感悟的時間。

[案例4]人教版三年級數學上冊“集合”教學片段：

師出示：三（1）班有20人參加跳高比賽，18人參加跑步比賽，其中8人既參加跳高比賽又參加跑步比賽。一共有多少人參加這兩項比賽？（學生開始列式計算）

師：如果用“韋恩圖”表示，你會畫嗎？（學生畫后，課件演示，如下圖。）

師：這題中，有8人既參加跳高比賽又參加跑步比賽。還可能有幾人？（生答略）

師：最多幾人？可能是19人嗎？最少幾人？為什么？

（隨著學生的回答，課件中的“韋恩圖”不斷變化，如下圖。）

評析：“這幅圖中，有8人既參加跳高比賽又參加跑步比賽。還可能有幾人？”一石激起千層浪，開放式的問題讓學生興趣盎然，他們的思維始終活躍著。“最多幾人？可能是19人嗎？”“最少幾人？為什么？”隨著教師的連續追問，學生的思維不斷深入，課件中的“韋恩圖”也在不斷地變化。“哦，怎么小圓圈在大圓圈里面了？”“咦，小圓圈和大圓圈分開了！”學生的一聲聲驚呼道出了“韋恩圖”的微妙之處，并集、交集與子集等集合思想在“韋恩圖”的變化中得到滲透，真可謂“此處無聲勝有聲！”可見，借助幾何直觀可以讓學生形象地感悟數學思想。

總之，借助幾何直觀可以提升學生的學習效率。這就需要我們在日常教學中有意識、經常性地采用幾何直觀這種方法來分析問題，不斷地進行滲透，不斷地刺激學生，使學生逐步感受到這種方法的優越性，從而潛移默化地產生樂意嘗試乃至主動運用這種方法，最終形成幾何直觀的思維習慣。若能如此，就能讓學生感覺到數學并不難，數學很有趣，從而享受數學學習的美好！