高中常用數(shù)學(xué)思想方法

敏卓文

如何有效地提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)水平，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，都需要從數(shù)學(xué)思想入手。本文對高中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了詳細(xì)的分析，以期對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有所幫助。

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題；方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后通過解方程或不等式來解決問題。函數(shù)與方程思想是高中階段數(shù)學(xué)常用思想方法之一，在填空題、解答題中出現(xiàn)的幾率都比較大。在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用函數(shù)思想的題型有以下幾種：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最值等問題；實際問題，建立合理的數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)（不等式）的有關(guān)知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看做是n的函數(shù)，可以用函數(shù)知識解決。

例如，設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對任意的m∈[-2，2]均成立，求實數(shù)x的取值范圍。

解析：常規(guī)思路，將該問題看成是關(guān)于x的不等式，對m進(jìn)行討論來解題，但是操作過程較繁瑣，如果換個角度，將自變量看成m，而x作為參數(shù)再來解題就會簡單得多。即關(guān)于m的一次不等式 （x2-1）m-2x+1<0在[-2，2]上恒成立。構(gòu)造關(guān)于m的函數(shù)f（m）=

（x2-1）m-2x+1，由求出x的范圍即可。

通過求解顯然轉(zhuǎn)換變量后再利用函數(shù)思想來解題就方便多了，將原來的自變量作為參數(shù)，原參數(shù)看作自變量，巧妙靈活地利用函數(shù)思想解決不等式問題。

二、分類討論思想

分類討論思想在函數(shù)問題中應(yīng)用比較廣泛，在遇到用一類方法或從同一個角度或在整體范圍內(nèi)解決不了的問題時，常就應(yīng)用分類討論思想來解題。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了將整體問題局部化，將一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目分解成幾個簡單的問題，從各個小的方面去解題，從可以確定性質(zhì)的各類情況下去解決問題，最后再給出總結(jié)性的綜合結(jié)論。常見需要討論的題型有：含絕對值問題、含參問題、圖像不確定的問題、公式或性質(zhì)有限制的問題（如等比數(shù)列求前n項和時，若公比不確定，則需討論公比是否為1）、其他實際問題等。

例：已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=

2ax2+2x-3-a，如果y=f（x） 有零點，求實數(shù)a的取值范圍。

解析：從函數(shù)解析式的形式上來考慮，不能直接應(yīng)用根的判別式來求解，因為二次項前的系數(shù)為參數(shù)，故不能確定該函數(shù)是二次函數(shù)還是一次函數(shù)，所以該題要討論的就是二次項的系數(shù)是否為零。① a=0時，顯然函數(shù)有零點，符合；② a≠0 時，只需?≥ 0即可。

變式：已知a是實數(shù)，函數(shù) f（x）=

2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍。（需再討論該區(qū)間上的零點個數(shù)）

分類討論思想能很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，分析問題、解決問題的能力。在進(jìn)行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象時確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，科學(xué)地劃分，不越級討論，做到“不重不漏”；解答分類討論問題時，基本方法和步驟是：確定討論對象和所討論的對象的全體范圍；確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確分類；對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行；歸納總結(jié)，得出結(jié)論。

三、等價轉(zhuǎn)化思想

等價轉(zhuǎn)化思想其本質(zhì)就是把未知的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種思想方法。通過不斷轉(zhuǎn)化，把不熟悉的、不規(guī)范的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、規(guī)范的、簡單的問題。 等價轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性的特點，因此在利用等價轉(zhuǎn)化思想時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，這樣才能使轉(zhuǎn)化過程省時省力，才能有效提高解題的能力和水平。

例：已知cosα= ， cos（α+β）=，且α，β∈（0， ），求cosβ的值。

解析：很多學(xué)生初拿這道題的時候，都習(xí)慣于將cos（α+β）=拆開得到 cosαcosβ-sinαsinβ=，從而得到sinβ，cosβ間的一個關(guān)系式，下面的問題就剩應(yīng)用sin2β+cos2β=1來求cosβ的值了。顯然，這個方法是行得通的，只不過這肯定不是最優(yōu)法。通過觀察題目，應(yīng)該能夠發(fā)現(xiàn)，已知角α，α+β和未知角β之間是有直接關(guān)系的，根據(jù)常規(guī)的轉(zhuǎn)化思想，顯然未知角β可以轉(zhuǎn)化成用已知角α，α+β來表示，即 β=（α+β）-α，從而 cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，接下來的求解就簡單明了了。

在上例中，轉(zhuǎn)化與化歸的思想的優(yōu)勢很好地得到了體現(xiàn)，通過化未知為已知后，將解題過程直接化、簡單化。

不難發(fā)現(xiàn)，各類數(shù)學(xué)思想方法之間其實都是相輔相成的，除了以上這些常用數(shù)學(xué)思想方法外，我們在平時解題中還經(jīng)常用到配方、換元、分析、綜合、反證、演繹、待定系數(shù)法等其他常用方法，在這就不一一列舉了。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中明確指出：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是指數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想和方法納入基礎(chǔ)知識范疇，足見數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)問題已引起教育部門的重視，也體現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)教育工作者對于數(shù)學(xué)課程發(fā)展的一個共識。所以，在日常教學(xué)中我們要強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的能力，有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題、解決問題，這樣在提升他們數(shù)學(xué)能力的同時，也能提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。