無失效數據下的樁基承載力可靠度研究

摘 要：文章主要針對樁基靜載試驗中無失效數據的情況，對樁基承載力可靠度進行計算分析。以貝葉斯方法為基礎，轉換無失效數據指數模型中的時間參數為荷載參數，運用于樁基承載力可靠度的計算中，并得出無失效數據情況下樁基承載力的可靠度函數。計算得到的單樁承載力可靠度與實際情況相符，無失效數據可靠度模型能較好的使用在樁基承載力可靠度計算分析中，并通過工程實例分析，證明了文章方法的合理性。

關鍵詞：貝葉斯；樁基承載力；無失效數據；可靠度

引言

可靠度理論在很多行業中得到了應用并發揮著不可替代的作用。近幾年來，關于樁基承載力可靠度的研究主要是利用大量現場實驗數據進行的。Zhang（2004）[1]利用基樁的現場靜載荷試驗數據和概率方法研究了試驗結果對可靠度指標的影響，并提出了一種新的基樁承載力評價標準。Kwak（2010）[2]對樁承載力數據進行分類，并利用貝葉斯統計將分類后的數據進行更新，利用更新后的數據研究了承載力的指標，同時，給出了承載力的目標可靠度。國內從20世紀80年代中期開始，對樁基可靠性方面的研究日漸增多，傅旭東（1997）等[6]根據鉆孔灌注樁的承載力資料和可靠度理論系統地研究了灌注樁的可靠度，并給出了具有工程意義的結論。趙新銘（2008）等[3]收集了南京江北灌注樁承載力的試樁資料，采用“校準法”分析了PHC樁承載力的可靠度。鄧志勇（2003）等[4]采用無量綱隨機變量的極限狀態方程，結合天津市鉆孔灌注樁試樁資料進行了可靠度分析，采用JC法和Monte Carlo法進行可靠度指標的計算，并對影響可靠度指標的各因素進行了分析，并計算了單樁承載力的抗力分項系數。

但是在樁基工程中，因為工程的特殊性，設計方給出的安全系數較高，現場試驗樁加載很難達到極限值，很少有失效情況發生，并且按《JGJ106-2015建筑樁基檢測技術規范》樁基檢測試樁數最少不宜少于總樁數的1%且不少于3根，試樁成本也較高，一般工程中樁基檢測樣本占總體的比值非常小，所以更難得到破壞或者失效的樁基試驗樣本數據。

文章針對無失效的樁基試驗數據，考慮樁基試驗中無樁基失效或者破壞的情況，對靜載試驗結果進行分析，通過Bayes理論構建數學模型，對樁基靜載試驗中無失效數據情況，從理論上建立樁基承載力無失效數據可靠度計算模型，并用工程實例證明該方法的合理性。

1 模型的建立

對產品壽命的可靠性檢驗分析一般采用定時截尾試驗方法，即到達預先規定的時間如果樣品還沒有失效便停止試驗。或者是定數截尾試驗方法，即失效樣本達到規定的數量便停止試驗。但樁基靜載檢測中，試驗樁數量本身就較少而且很難加載到失效或者破壞定數截尾并不適合來衡量小樣本的樁基承載力可靠度，而加載的時間相對于使用壽命幾乎可以忽略不計，定時截尾試驗方法并不可行。而對于樁基承載力的研究文章將時間參數轉化為荷載參數，那么定時截尾模型便可以較好的使用在樁基承載力可靠度計算中了。在樁基豎向靜載試驗中，以單樁承載力設計值的2倍作為樁基靜載試驗截尾荷載，檢測中，會出現所有試樣無一失效或者破壞的情況，這時我們得到的是“無失效數據”。隨著科學技術的進步，高可靠度性產品迅速發展，樁基工程就是屬于這樣的一個高可靠性的產品，加上容量小、試驗時間不允許長、試驗加載程度不高等原因，無失效數據越來越頻繁的出現。因此，尋求在無失效數據條件下進行科學、有效的可靠性分析方法，已經成為可靠性分析的一個新的十分重要的領域。

在樁基靜載試驗中，會遇到“無失效數據”（在規定的截尾荷載內沒有產品失效）。那么對于樁基靜載試驗，無失效問題的提法為：定載截尾的“無失效數據”。

在定載截尾試驗中，設產品可承受荷載p的分布函數為F（p，？茲），？茲∈？專為未知均值參數，？專為參數空間，截尾荷載分別為p1，p2，…，pk且滿足p1

在趙春風等人的研究中樁基靜載荷P-S曲線能用完整指數函數進行較好的擬合[5]，當樁基載荷在逐漸增大的過程中，樁基的沉降并不是線性增加的，那么樁基失效的概率也不是線性增加的，而是成指數增加的。故文章用選取指數分布對樁基可靠度進行分析。

假設樁基靜載試驗失效概率服從單參數指數分布，其密度函數為：

所以分布函數為：

（1）

式中？姿為參數，p為載荷值。那么樁基的可靠性函數：

R（p）=exp（-？姿p） （2）

現在對n個樁基進行靜載試驗，將樁基靜載試驗結果分成k組，第i組的樁基數量為ni，i=1，2，…，k且■ni=n。

設各組試驗都從荷載為0開始，第i組試驗的極限荷載為pi，pmi

在這里我們樁基進行分類，樁基靜載試驗中結尾荷載大于pi的樁基數量記作Si，

有Si=■ni，j=1，2，…k

因為整個過程中與結果中，沒有任何樁基樣本失效，所以從pi荷載開始，還有Si個樁基沒有達到極限荷載值，換句話說，可以認為有Si根樁基的極限荷載值大于pi，i=1，2，…k。

（1）p=0時，樁基失效概率為0，即F（0）=P（p？燮0）=0。

（2）令gi=P（p？燮pi）=F（pi），因為，p1

記：Ri=1-gi=1-F（pi），i=1，2，…k

2 參數估計

為了更好利用先驗分布和指數分布的無記憶性，我們假設截尾荷載是等間隔的，即

p2-p1=p3-p2=…=pk-pk-1=p

2.1 R1的估計

在有n個樣本樁基參加的定載截尾試驗中，如果設有r根樁基在截尾荷載？滓之前失效，其余n-r根樁基在？滓之前未失效，記？滓r，？滓r+1為第r個和r+1個失效樁基的失效荷載，則？滓r？燮？滓r+1，F（？滓r）？燮F（？滓）？燮F（？滓r+1），此時F（？滓r）及F（？滓r+1）看作來自[0，1]上均勻分布的統計量，利用數學期望可得F（？滓r）和F（？滓r+1）的無偏估計分別為[12]

■（？滓r）=■，■（？滓r+1）=■

而對于F（？滓）的估計，我們一般取■（？滓r）=■

在無失效數據場合中，因為荷載p1時，S1根樁基均未發生失效，即r1=0，所以可得到g1的估計值

■1=■

由此得■1=1-■1=■ （3）

2.2 Rj的估計j=2，3…k

因為F（p）是關于p的嚴格上凸函數，及前面假設1）F（0）=0，可得

即■>■，又由假設2） g1

我們取gi的先驗分布的核為（1-gi）2[10]，則Rj（j=2，3…k）的先驗分布為：

式中

那么在平方損失下的Rj的Bayes估計為：

j=2，3，…k（4）

其中R=1-g'2，■1=1-■1。

3 可靠性指標的估計

由（2）式有

又可以表示為-lnRi=？姿pi，i=1，2，…k

用■i代替Ri產生誤差？著i，則將上式改寫為

-lnRi=？姿pi+？著i，i=1，2，…k，

令yi=-ln■i（5）

則yi=？姿pi+？著i

利用最小二乘法估計，使得SS=■（yi-■i）2=■（yi-？姿pi）2的值達到最小，則易得？姿的最小二乘估計為：

（6）

進而可得到任意荷載為p時的可靠度估計為：

■（p）=exp（-■p） （7）

4 算例

湖南某公司職工宿舍基礎采用洛陽產灌注樁。該工樁基，樁徑為350mm，單樁設計承載力為210kN，設計混凝土強度等級為C20。于2005年5月對該工地基礎樁進行了單樁豎向抗壓靜載試驗。抽檢樁號為2#、11#、35#、133#、286#樁，共抽檢五個樁。

表1 試驗樁承載力極限值

此時全部樣本數據如表2，表2中同時給出pi2的值。

表2 試驗參數

利用上述討論，循環帶入（3）、（4）式，得到■i的估計值，再帶入（5）式，計算出yipi。

再由（6）式，得出■的估計值，■=-0.000115284。

帶入（7）得出樁基在設計值210kn時的可靠度

■（210）=0.9761>0.95。

5 結束語

（1）文章通過利用無失效數據數學模型，對靜載試驗結果進行分析，得到樁基承載力可靠度函數，從而得到單樁承載力設計值時的樁基承載力的可靠度，發現與實際情況相符。

（2）樁基承載力無失效數據指數模型，能夠很好的處理無失效情況下的特殊數據，為樁基可靠度的研究與應用提供了一種不錯的計算方法。

（3）文章中所建立的數學模型中并沒有考慮樣本空間極少的情況，由于樁基工程中，有時會因為樣本過少而使得文章計算方法較難得出誤差較小的值，此時，可采取自選法構造較大的樣本空間進行計算分析，也可采用修正R1的方式得出更為接近真值的結果。

參考文獻

[1]Zhang L M. Reliability verification using proof pile load tests. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering[J].ASCE，2004.

[2]Kwak K，Kim K J，Hub J，et al. Reliability-based calibration of resistance factors for static bearing capacity of driven steel pipe piles[J].Canadian Geotechnical Journal，2010.

[3]趙新銘，王曉偉，趙春潤.南京江北地區PHC樁豎向承載力可靠度分析[J].巖土力學，2008.

[4]鄧志勇，陸培毅，王成華.鉆孔灌注樁單樁承載力的可靠度研究[J].巖土力學，2003.

[5]趙春風，李尚飛，魯嘉，等.完整指數函數擬合單樁荷載—沉降曲線的分析[J].同濟大學學報，2010.

[6]傅旭東.鉆孔灌注樁可靠度理論研究和工程應用[D].成都：西南交通大學，1997.

[7]韓明.無失效數據可靠性研究進展[J].寧波大學學報，1993.

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[10]韓明.先驗分布的構造方法在無失效數據可靠性中的應用[J].運籌與管理，1998.

[11]韓明.指數分布無失效數據的Bayes分析[J].寧波大學學報，1996.

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[13]有替換定時截尾壽命試驗參數的極大似然估計[J].河北師范大學學報，1999.

[14]程皖民.基于小子樣復雜信息集的可靠性評估方法及其應用研究[D].2006.