三維分段分層法用于光滑實心轉子異步電機參數計算與性能分析

黃子果 王善銘 倪守輝

(電力系統及發電設備控制和仿真國家重點實驗室(清華大學電機系) 北京 100084)

三維分段分層法用于光滑實心轉子異步電機參數計算與性能分析

黃子果 王善銘 倪守輝

(電力系統及發電設備控制和仿真國家重點實驗室(清華大學電機系) 北京 100084)

實心轉子異步電機轉子中復雜的三維非線性渦流場計算是分析電機性能的基礎，而采用三維有限元分析的計算量十分龐大。提出了一種三維分段分層法計算實心轉子磁場，可考慮定轉子鐵心磁路飽和、轉子端部效應的影響，且計算量小。定子鐵心磁路飽和采用波幅系數以及飽和系數予以考慮。對于轉子磁路飽和以及轉子端部對渦流分布的影響，將實心轉子沿軸向分段、徑向分層，各段、各層的磁導率互不相同，每段采用分層理論遞推求解磁場量。轉子表面磁場強度的收斂邊界由定子電流給出，依據轉子柱面和兩個端面進入轉子的能量計算等效轉子阻抗，迭代求解轉子磁場及阻抗參數，直至收斂。在不同工況下比較了三維分段分層法的計算結果與樣機實驗結果，兩者較為吻合。可以采用這種算法計算光滑實心轉子電機參數并分析性能，為設計優化電機提供依據。

光滑實心轉子 解析計算 三維分段分層法 電磁場

0 引言

實心轉子異步電機具有結構簡單、起動性能好、機械強度大、耐腐蝕、可靠性高等優點，近年來在氣體壓縮機、離心機、分子泵等高速領域的應用備受關注[1-3]。光滑實心轉子異步電機是實心轉子電機中最基本的結構模型。對于傳統的繞線型、籠型異步電機，轉子的磁路和電流的通路是確定的，轉子疊片鐵心為磁路，轉子繞組或鼠籠導條是電流通路。然而在實心轉子異步電機中，轉子實心鐵塊既作磁通路也是電流通路。而且實心轉子中的電流回路是不確定的，其渦流分布不僅與運行工況下定子電流頻率和轉差相關，還與轉子的電阻率、B-H磁化曲線密切相關。此外，轉子鐵心端部作用也會影響實心轉子中的渦流和磁場分布。實心轉子中復雜的三維非線性渦流場計算一直是諸多學者關注的問題[4-6]。

針對光滑實心轉子電機電磁場的線性求解，學者們采用二維解析法[4，5，7]、三維解析法[5，6]、三維有限元[8]等方法計算。二維解析法中轉子磁場沿軸向均勻分布，鐵心端部作用通常用端部效應系數修正二維解析計算的等效轉子阻抗[8]。對于三維解析計算，文獻[5]忽略轉子中矢量磁位的徑向分量，簡化磁場邊界，將定子電流、矢量磁位沿軸向奇延拓并分解為各次諧波，再依據邊界條件求得矢量磁位的線性解析表達式，進而求解轉子線性條件下的端部系數[9]。文獻[6]給定轉子實際磁場邊界條件，分別求解三種不同磁場約束條件的轉子磁場的解，并疊加后得到電機矢量磁位的三維線性解，求得轉子線性條件下的端部系數。而對于完整的三維實心轉子電機有限元模型，網格單元數量、矢量場計算量十分龐大，直接求解非常困難，且不適用于電機設計環節。文獻[8]假設氣隙磁通密度的邊界條件給定，且假設轉子鐵心線性，得到簡化的三維實心轉子電機有限元計算模型，用于求解端部系數。

考慮轉子磁路非線性常采用二維分層理論[10]、二維有限元[11，12]、三維分層分段[13]等方法。二維分層法和二維有限元由端部系數修正轉子阻抗近似考慮渦流的三維效應。文獻[13]提出了三維分層分段法，考慮了轉子飽和、端部效應，計算實心轉子異步電機磁場。但該方法邊界條件為定子面電流沿軸向的每次諧波分量與迭代計算的定子表面各次諧波磁場強度相等，較難收斂。且轉子軸向每段需要計算各次諧波的傳遞矩陣，導致計算耗時長。

本文提出一種三維分段分層法，將轉子沿軸向分段、徑向分層，軸向每段采用二維分層法計算磁場量。轉子表面周向磁場強度沿軸向的分布形式由三維線性解析解給出，由每步迭代計算得到的轉子透入深度層內平均磁導率修正該磁場邊界，以此作為轉子表面磁場收斂的邊界條件。定子鐵心磁路飽和用波幅系數以及飽和系數予以考慮，計及轉子柱面和兩個端面進入的能量，并由能量法迭代求解轉子等效電路阻抗參數。從而考慮了定子鐵心磁路飽和、轉子磁路飽和、轉子端部對電機磁場分布的共同作用。

1 模型與參數計算

1.1 基本假設與分析模型

圖1 實心轉子異步電機T型等效電路Fig.1 T type equivalent circuit of solid induction machines

為了分析實心轉子中復雜的三維渦流場分布，計算轉子等效阻抗。本文作了以下基本假設：

1)定子三相繞組電流合成的基波磁動勢等效為由沿定子內表面分布的基波正弦面電流產生，定子開槽用卡式系數考慮。

2)忽略定轉子曲率半徑的影響，將圖2的實心轉子沿周向展開，在轉子表面建立笛卡爾坐標系，如圖3所示。

3)轉子鐵心線性且各向同性。

4)只考慮各場量的基波分量。

圖2 實心轉子三維示意圖Fig.2 Schematic diagram of 3D solid rotor

圖3為圖2中的實心轉子沿周向展開為直角坐標平面xy，并沿y軸方向共分N層，轉子軸向長度為L，將轉子沿z軸方向分段，Zi表示軸向分段的坐標。

圖3 轉子三維分段分層法示意圖Fig.3 Schematic diagram of 3D multi-layer method

1.2 轉子參數計算

文獻[5]提出的二維分層法將轉子磁場求解域沿徑向分層，各層的材料屬性可以互不相同，求解每層矢量磁位方程，并建立層與層場量的遞推關系，利用整體邊界條件即可確定求解場域場量的解。

如圖3所示，轉子沿y軸方向分層，每段Zi截面采用二維分層理論[5]遞推計算式(1)，由n-1層的徑向磁通密度Byn-1,Zi和周向磁場強度Hxn-1,Zi得到轉子下一層徑向磁通密度Byn,Zi和周向磁場強度Hxn,Zi。 據此各段截面各層的徑向磁通密度和周向磁場強度均可求解，再用能量法求解轉子等效阻抗。此時，轉子鐵心應采用有效交流磁化曲線[14]。

(1)

附錄給出了光滑實心轉子的三維線性解析計算，根據坡印亭矢量，可計算由氣隙進入轉子表面的磁場能量，如式(2)所示。式(2)中前兩項為從轉子圓柱表面沿y軸進入的能量，后兩項為從轉子端部兩個端面進入的能量，式中各變量的公式詳見附錄中式 (A11)～式(A13)。

(2)

(3)

2 原理與實現

本文提出的三維分段分層法的迭代程序流程如圖4所示。

圖4 三維分段分層法程序流程Fig.4 Flow chart of 3D multi-layer method

參考電機設計理論[15]，預取氣隙主磁通ψ，依據波幅系數Fs可計算氣隙磁通密度、定子齒部磁通密度和軛部磁通密度，并通過定子磁化曲線插值得到各處磁場強度，對應的磁壓降也可求解。求得飽和系數FT后，由式(4)計算勵磁阻抗，依據勵磁支路分壓算出下一步的氣隙主磁通，迭代考慮定子磁路飽和。

(4)

式中，f為定子電流頻率；Kdp1為基波繞組系數；N1為定子繞組每相串聯匝數；lef為電樞計算長度；p為極對數;δ為氣隙長度；Kc為定子開槽卡式系數。

(5)

式中，Dsi為定子內徑。

假設轉子表面周向磁場強度Hx沿z軸的分布形式與轉子三維線性解析解的表達式形式一致，見附錄公式(A7)。已知定子等效電流Jz即可求得轉子表面Hx沿z軸的分布。在迭代過程中的每一步，由當前計算透入深度層的磁導率μr代入邊界磁場強度Hx，近似考慮轉子磁路飽和對邊界Hx的修正。通過校驗該步分層法遞推求解的轉子表面Hx與當前由定子電流給定邊界磁場強度Hx的誤差，作為邊界收斂的判據。此外，每步還需校驗轉子阻抗、轉子電流與上一步計算結果的誤差，誤差大則修正后返回初值重新迭代計算，直至收斂。

這種方法融合電機設計的思想，通過迭代可以考慮定轉子鐵心飽和及轉子端部效應影響。程序的邊界收斂判據相對簡單，轉子z軸方向每段只需要計算二維分層遞推，計算量大大減少。

3 計算與實驗

3.1 實驗樣機結構與參數

為了驗證本文中提出的光滑實心轉子三維分段分層法的有效性，設計制造一臺3對極無端環光滑實心轉子異步電機，轉子材料為45號鋼，電機結構如圖5所示。電機實驗平臺如圖6所示，左側電機為一臺普通三相異步電機，右側電機為光滑實心轉子異步電機，兩臺電機通過轉矩儀連接。實驗過程中，兩臺電機分別由變頻器供電，同步速實驗時，左側普通異步電機作為原動機，將實驗樣機帶至同步速運行。負載實驗時，普通異步電機用作負載。

圖5 實驗樣機的光滑實心轉子Fig.5 Experimental solid-rotor induction machine

圖6 實驗樣機平臺Fig.6 Experimental platform

實驗電機基本參數：定子鐵心外徑260 mm，內徑180 mm，轉子鐵心外徑177.6 mm，氣隙長度1.2 mm，定子鐵心長度和轉子鐵心長度都為170 mm。定子繞組相數為3，繞組Y形聯結，每相串聯匝數為102，并聯支路數為1。定子相繞組電阻為0.293 5 Ω，定子頻率為50 Hz時，相繞組漏抗為0.631 8 Ω。

3.2 計算結果與實驗結果比較

為驗證計算程序在各工況的準確性，對實驗樣機在定子電壓頻率為50 Hz、不同電壓和不同轉差率的工況下，進行同步速實驗、堵轉實驗、負載實驗，實驗工況見表1。

表1 電機實驗工況

Tab.1 Experimental condition of solid induction machine

實驗類型定子繞組線電壓/V轉速/(r/min)同步速實驗150～3501000堵轉實驗80～1800負載實驗220550～1000

對定子電壓與電流實驗波形頻譜分析后得到基波分量，進而算出電機定子入端等效阻抗。實驗中的轉子等效阻抗無法直接測量，因此計算與實驗電機參數的結果的校驗，通過定子入端阻抗幅值與相角、定子電流與輸出轉矩之間比較。

轉子由原動機帶至同步速運行時，轉子等效阻抗支路開路，勵磁電抗遠大于定子電阻，因此定子入端阻抗相角略小于90°。定子電壓增大時，定子齒部飽和程度增加致使勵磁電抗略微減小。如圖7所示，比較實驗電機定子電流、定子入端阻抗幅值相角的計算與實驗結果，兩者吻合較好。

圖7 同步速工況計算與實驗結果比較Fig.7 Comparison of calculation and experimentresults under synchronous speed

本文中采用三維分段分層法對該樣機轉子沿徑向分200層、軸向分200段，可滿足工程計算準確度。該方法考慮了轉子渦流效應和飽和效應的共同作用，但是不能計及轉子鐵心磁滯效應的作用，因此計算得到的等效轉子阻抗角偏大。考慮45號鋼磁滯回線得到轉子鐵心磁滯損耗角φ近似為10.94°[4]，得到轉子等效電阻磁滯修正系數Krh和電抗磁滯修正系數Kxh[5]分別為

(6)

(7)

式中，φ2為計算的轉子等效阻抗角。

修正轉子磁滯損耗角后，在堵轉和負載工況下比較實驗電機定子電流、輸出轉矩、定子入端阻抗幅值和相角如圖8和圖9所示。

圖8 堵轉工況計算與實驗結果比較Fig.8 Comparison of calculation and experiment results under locked-rotor conditions

圖9 負載工況計算與實驗結果比較Fig.9 Comparison of calculation and experiment results under load conditions

堵轉實驗時，隨著定子電壓增大，電流增大，轉子表面周向磁通密度增大，磁導率減小，因此透入深度增加，導致轉子阻抗幅值減小。而勵磁電抗支路變化較小，因而定子等效入端阻抗角也變小。

負載實驗時，電壓不變，隨著電機轉速減小、轉差率增大，轉子阻抗幅值、相角減小，輸出轉矩增大。由圖9a可以看出光滑實心轉子電機的轉矩特性軟，在轉差率較大時才能獲得較大轉矩。

在50 Hz堵轉工況下，當計算程序中忽略由轉子兩個端面進入的磁場能量時，其計算結果與計及轉子端面能量的計算結果比較，如圖10所示。忽略端面能量時，每步計算的轉子等效阻抗模值偏小，而計算的轉子阻抗角相差不大，最終導致定子入端阻抗幅值偏小，定子電流偏大，計算的輸出轉矩也偏大。說明該算法中轉子兩個端面的能量必須同時考慮。

圖10 堵轉工況考慮和忽略端面能量計算結果比較Fig.10 Comparison of considering and ignoring rotor end′s energy under locked-rotor conditions

4 結論

本文提出一種三維分段分層法計算光滑實心轉子異步電機轉子非線性渦流場的分布，該方法考慮了定轉子鐵心磁路飽和及轉子端部對電機磁場分布的影響。迭代算法采用三維線性解析解中轉子表面磁場強度周向分量的分布作為邊界，收斂條件相對簡單，且軸向每段只需要計算等效二維分層截面的磁場，減少了計算量。仿真和實驗結果比較說明了該算法的有效性。采用這種三維分段分層法可計算光滑實心轉子電機參數并分析其性能，為電機設計和電磁優化提供依據。

附錄

轉子中滿足矢量磁位方程

(A1)

其中

Ai(x,y,z,t)=Re[Ai(x,y,z)ej(ax+sωst)]

(A2)

由式(2)，化簡后得到

(A3)

式中，μ2為轉子磁導率；σ為轉子電導率；s為轉差率；ωs為定子電流角頻率；a=π/τ， 其中τ為極距；i為x，y或z。

文獻[6]的三維線性解析解

(A4)

(A5)

(A6)

轉子磁場強度各分量的表達式

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

Ex,z=L/2=-jsωsGej(ax+sωst)eay

(A12)

Ey,z=L/2=sωsGej(ax+sωst)(eλy-eay)

[1] Gerada D，Mebarki A，Brown N L，et al.High-speed electrical machines：technologies，trends，and developments[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61(6)：2946-2959.

[2] Rahman M A，Chiba A，Fukao T.Super high speed electrical machines-summary[C]//Power Engineering Society General Meeting，2004：1272-1275.

[3] Gieras J F，Saari J.Performance calculation for a high-speed solid-rotor induction motor[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2012，59(6)：2689-2700.

[4] 馮爾健.鐵磁體實心轉子異步電機理論與計算[M].北京:科學出版社，1980.

[5] 唐孝鎬.實心轉子異步電機及其應用[M].北京：機械工業出版社，1991.

[6] Yee H.Effects of finite length in solid-rotor induction machines[J].Proceedings of the Institution of Electrical Engineers，1971，118(8)：1025-1033.

[7] McConnell H M，Sverdrup E F.The induction machine with solid iron rotor[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1955，74(3)：343-349.

[8] Jagiela M，Garbiec T.Evaluation of rotor-end factors in solid-rotor induction motors[J].IEEE Transactions on Magnetics，2012，48(1)：137-142.

[9] 傅豐禮，林金銘.實心轉子異步電動機的端部系數計算[J].中小型電機，1986(3)：5-9. Fu Fengli，Lin Jinming.End coefficient calculation of solid rotor asynchronous motor[J].S&M Electric Machines，1986(3)：5-9.

[10]Greig J，Freeman E M.Travelling-wave problem in electrical machines[J].Proceedings of the Institution of Electrical Engineers，1967，114(11)：1681-1683.

[11]劉長紅，姚若萍.基于場路結合的實心轉子異步電機轉子參數計算[J].上海交通大學學報，2003，37(9)：1372-1374. Liu Changhong，Yao Ruoping.A coupled field-circuit approach to the calculation for parameters of solid rotor induction motor[J].Journal of Shanghai Jiaotong University，2003，37(9)：1372-1374.

[12]孫巖樺，虞烈.實心轉子電磁軸承渦流損耗分析[J].中國電機工程學報，2002，22(2)：116-120. Sun Yanye，Yu Lie.Eddy current loss analysis in radial magnetic bearings with solid rotor[J].Proceedings of the CSEE，2002，22(2)：116-120.

[13]唐孝鎬，劉少克.利用多層理論對光滑實心轉子異步電機的三維電磁場研究和參數計算[J].電工技術學報，1989(4)：1-6. Tang Xiaogao，Liu Xiaoke.3-Dimensional electromagnetic field research and calculation of smooth solid rotor induction machines using multi-layer theory[J].Transactions of China Electrotechnical Society，1989(4)：1-6.

[14]Yang Tong，Zhou Libing，Jiang Wei.Calculation of eddy current losses in a solid-rotor cage induction motor by finite element analysis[C]//International Conference on Electrical Machines and Systems，2008：3656-3659.

[15]陳世坤.電機設計[M].北京：機械工業出版社，1990：50-65.

Parameter Calculation and Performance Analysis of Solid Rotor Induction Machines Using 3D Subsectional and Multi-Layer Method

Huang Ziguo Wang Shanming Ni Shouhui

(State Key Laboratory of Control and Simulation of Power System and Generation Equipments Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China)

When the nonlinearity of solid rotor was taken into account，the magnetic field and eddy current calculation in solid rotor cost large amount of computation with 3D finite element method.This paper puts forward a 3D subsectional and multi-layer method.Amplitude coefficient and saturated coefficient are applied to consider the saturation in stator core.Permeability of each subsection and layer is different，so that the effect of saturation in rotor core can be considered.While calculating the rotor equivalent impedance，both the energy penetrating from the cylindrical and two end surfaces into the rotor are considered.Therefore, the effect of axial finite length of rotor towards magnetic field is also taken into account.The calculation results using the mentioned 3D subsectional and multi-layer method agree with the experimental test results on a model machine.This indicates the method is suitable for the parameter calculation and optimal design of solid-rotor induction machine.

Solid rotor，analytical calculation，3D subsectional and multi-layer method，electromagnetic field

國家自然科學基金(51177077)和國家科技支撐計劃(2014BAA04B02)資助項目。

2015-06-23改稿日期2015-09-15

TM346

黃子果 男，1990年生，博士研究生，研究方向為實心轉子電機設計和多相電機內部短路故障分析。

E-mail：huangzg.2007@163.com(通信作者)

王善銘 男，1972年生，副教授，研究方向為特殊電機設計分析、發電機內部故障分析和電機電磁場分析。

E-mail：wangsm96@mails.tsinghua.edu.cn