軸向磁通永磁同步電機轉矩解析模型和轉矩優化

左曙光 吳雙龍 吳旭東 沈 健 林 福

(同濟大學新能源汽車工程中心 上海 201804)

軸向磁通永磁同步電機轉矩解析模型和轉矩優化

左曙光 吳雙龍 吳旭東 沈 健 林 福

(同濟大學新能源汽車工程中心 上海 201804)

軸向磁通永磁同步電機的電磁場呈三維分布，其轉矩的精確建模和優化通常需要采用三維有限元方法，但這非常耗時。提出一種轉矩解析計算模型，并基于該模型對軸向磁通永磁同步電機的轉矩展開優化。首先，通過磁通密度比磁導法建立了軸向磁通永磁同步電機氣隙磁場解析模型。然后基于麥克斯韋張量理論推導得到電磁轉矩和齒槽轉矩的解析模型，并通過有限元法驗證了該模型的準確性。該模型不僅指出了產生電磁轉矩和齒槽轉矩的判據，還明晰了轉矩波動各階成分與氣隙磁通密度諧波之間的關系。最后利用該解析模型，采用徑向變極弧系數法對一臺單定子單轉子軸向磁通永磁同步電機的轉矩展開優化，結果表明徑向變極弧系數法可有效削弱軸向磁通永磁同步電機的齒槽轉矩和電磁轉矩波動，而基于解析模型的優化則具有非常高的效率。

軸向磁通永磁同步電機 轉矩 解析模型 轉矩優化

0 引言

相較于傳統的徑向磁通電機，軸向磁通永磁同步電機具有更大的轉矩和功率密度、更高的效率以及更適合狹小空間安裝的小長徑比結構，從而在分布式驅動電動車和風力發電機等領域得到了廣泛運用[1，2]。然而與徑向磁通永磁電機類似，軸向磁通永磁電機在工作過程中同樣存在轉矩波動問題，轉矩波動的存在將引起傳動系統的扭振，對電機本體的控制及轉矩輸出質量造成不利影響，因此有必要對其轉矩特性進行分析和優化[3]。

目前國內外對電機轉矩的研究方法主要有解析法和有限元法兩種，由于軸向磁通電機的電磁場呈三維分布，目前對其轉矩的分析和優化大多采用三維有限元法。有限元法雖然能夠準確計算轉矩的幅值與頻率，但難以對轉矩特性及其影響因素進行規律性的探討，且計算耗時長，不利于對轉矩進行優化。相反，準確的解析模型不僅可以快速準確地計算轉矩值，而且還能直觀地分析轉矩特性、轉矩成分來源以及主要影響因素，從而有利于電機的初始設計和優化。

目前國內外在電機轉矩解析建模方面已有一定的研究。文獻[4，5]采用能量法分別建立了表貼式和內置式徑向永磁電機齒槽轉矩的解析模型。文獻[6]同樣采用能量法建立了永磁無刷直流電機磁阻轉矩的解析模型，能量法相比有限元法雖然可以快速計算轉矩值，但該方法計算過程復雜且準確度較低，一般用于齒槽轉矩的分析。文獻[7]利用功率法對表貼式徑向磁通永磁同步電機的電磁轉矩進行解析計算，但功率法由于部分參數(如電感等)較難獲取精確值，其轉矩幅值計算準確度較低，一般只用于電磁轉矩特性的定性分析。綜上所述，無論是能量法還是功率法均不能同時考慮電磁轉矩和齒槽轉矩，而且存在計算準確度不高和表達不直觀等問題，因此有必要建立一種能將電磁轉矩和齒槽轉矩統一起來、計算簡便準確且能直觀反映轉矩幅值和頻率特性的轉矩解析模型，為后續的轉矩優化做準備。

轉矩優化方面，由于齒槽轉矩與電磁轉矩波動是表貼式軸向磁通永磁同步電機轉矩波動的兩大來源，前者主要由永磁體磁場和定子槽相互作用產生，后者主要由定子磁動勢諧波和永磁體磁場相互作用產生[8]，所以轉矩優化也主要從這兩方面入手，目前已有大量文獻對其展開研究。關于齒槽轉矩的削弱，主要有斜極法[9，10]、開輔助槽[11]、永磁體周向不等極弧系數法[12]、永磁體/槽周向移位[10，13]、永磁體輪廓設計[14]等方法；電磁轉矩波動削弱方面，文獻[15，16]分別采用田口法和轉子移位的方法對軸向磁通永磁電機的電磁轉矩進行優化。綜合上述文獻可知，目前對軸向磁通永磁同步電機轉矩優化主要采用三維有限元法，由于三維有限元法一般只能在給定的離散解集內尋優，因此很難找到最優值，而且非常耗時，這將不利于電機的初始設計和優化。

在氣隙磁場解析推導的基礎上，基于麥克斯韋張量理論對軸向磁通永磁同步電機的齒槽轉矩和電磁轉矩進行解析建模，得到了更加直觀、簡便和通用的轉矩解析模型，并通過有限元法驗證了該解析模型的準確性。該模型不僅指出了電機產生電磁轉矩和齒槽轉矩的機理，還可以用來分析齒槽轉矩和電磁轉矩的幅值與頻率特性，明晰了轉矩波動各階成分與氣隙磁通密度各諧波乃至電機參數之間的關系，最后利用該解析模型，采用徑向變極弧系數法對一臺單定子單轉子軸向磁通永磁同步電機的轉矩展開優化。結果表明徑向變極弧系數法可有效削弱軸向磁通永磁同步電機的齒槽轉矩和電磁轉矩波動，而基于解析模型的優化則具有非常高的效率。

1 氣隙磁場解析推導

1.1 永磁體磁場

表貼式軸向磁通永磁同步電機的永磁體軸向磁通密度常假設成矩形波，不考慮開槽時的永磁體軸向和切向磁場為[17]

(1)

(2)

氣隙磁通密度各階幅值的表達式分別為

(3)

(4)

上述表達式中的Mε與Δ可由以下表達式獲得

(5)

(6)

式中，ε為永磁體氣隙磁通密度的空間階數；θ為空間角度，rad；ωr為電機轉動圓頻率，rad/s；t為時間，s；μr為永磁體的相對回復磁導率；hm為永磁體軸向厚度，m；R為求解半徑，m；L為定、轉子內端面間的軸向距離，m；y為軸向求解位置與轉子內端面的軸向距離，m；δ為氣隙長度，m；Br為永磁體剩磁，T；p為永磁體極對數；αp為永磁體極弧系數。

1.2 電樞反應磁場

軸向磁通永磁同步電機的定子繞組一般采用分數槽集中繞組，在忽略變頻器產生的時間諧波電流時，相電流常假設為正弦波，如下所示。

(7)

式中，ωf為電流圓頻率；rad/s；f為電流基頻，Hz；I為 電流有效值，A；φ為電流初始相位角，rad。

繞組每相電流產生的電樞反應磁場為[18]

(8)

三相繞組正弦波供電后，產生的合成磁場為旋轉磁場，其軸向和切向分量為

(9)

(10)

式中，ν為電樞反應磁場的空間階數，對于單元電機極槽數相差1的分數槽電機的電樞反應磁場，sf與ν滿足以下關系

(11)

軸向和切向磁通密度的各階幅值為

(12)

(13)

式中，T為分數槽集中繞組電機的單元電機數；Nc為每相每槽線圈匝數；y1為等效氣隙長度，y1=hm/μr+δ， m；kdν為繞組分布因數；kpν為繞組短距因數。

(14)

(15)

式中,Qs為定子槽數；b0為槽口寬度，m。

1.3 氣隙比磁導

定子開槽將引起氣隙磁場發生畸變，產生齒槽轉矩，從而增加電機的轉矩波動。定子開槽的影響可通過比磁導進行考慮，氣隙比磁導解析表達式為

(16)

式中，k為齒槽諧波階數；θsa為定子初始角度，rad；Λk為比磁導每階諧波的幅值，可由文獻[19]獲得。

1.4 氣隙磁場

在忽略飽和的情況下，電機氣隙磁場可通過將永磁體磁場與電樞反應磁場線性疊加后再與氣隙比磁導相乘獲得，其軸向和切向分量為

Bz=[Bzm(θ,t)+Bza(θ,t)]λ(θ)

(17)

Bτ=[Bτm(θ,t)+Bτa(θ,t)]λ(θ)

(18)

2 轉矩解析模型

2.1 電磁轉矩

根據麥克斯韋張量理論，將考慮開槽時的永磁體磁場與電樞反應磁場的軸向與切向分量分別疊加后代入麥克斯韋張量方程，再沿電機圓周方向與徑向雙重積分即可得到電磁轉矩。

[Bτm(θ,t)+Bτa(θ,t)]dθdr

Bza(θ,t)Bτa(θ,t)+Bzm(θ,t)Bτa(θ,t)+

Bza(θ,t)Bτm(θ,t)]dθdr

=T1+T2+T3+T4

(19)

由式(19)可知電磁轉矩由四部分組成，分別以T1、T2、T3、T4表示，依次代表：①永磁體磁場軸向分量與切向分量相互作用產生的電磁轉矩；②電樞反應磁場軸向分量與切向分量相互作用產生的電磁轉矩；③永磁體磁場軸向分量與電樞反應磁場切向分量相互作用產生的電磁轉矩；④永磁體磁場切向分量與電樞反應磁場軸向分量相互作用產生的電磁轉矩。根據三角函數正交多項式，對這四項分別展開推導，最終結果為

T1=0

(20)

T2=0

(21)

(22)

(23)

式(20)和式(21)說明定子或轉子是無法單獨產生電磁轉矩的，電磁轉矩是由永磁體磁場的軸向、切向分量分別與電樞反應磁場的切向、軸向分量作用產生，最終的電磁轉矩解析模型為

Tele=T1+T2+T3+T4

(24)

由式(24)可知，電磁轉矩由一系列余弦分量疊加而成，每階轉矩成分的幅值、頻率都可以直觀地從表達式中獲取，同時該解析模型也給出了產生電磁轉矩的判據：只有當永磁體磁場階數與電樞反應磁場階數相等時，才會產生電磁轉矩，即

ε=ν

(25)

當永磁體磁場空間階數ε與電樞反應磁場空間階數ν相等時，兩者相互作用產生電磁轉矩，其頻率為ε/p+sf， 將氣隙磁通密度諧波與電磁轉矩成分之間的關系歸納在表1中。

表1 電磁轉矩特性和來源

Tab.1 Characteristics and source of electromagnetic torque

判據永磁體磁場階數ε電樞反應磁場階數ν轉矩頻率/Hz轉矩幅值/(N·m)pT05p5T6fε=ν7p7Tπ3μ0(BzεBτν+BτεBzν)·(R3o-R3i)11p11T12f13p13T………

由表1可知，正弦波供電時電磁轉矩頻率為電流頻率的6k(k=0，1，2，…)倍，并且是由永磁體磁場與電樞反應磁場的(6k±1)p階磁通密度相互作用產生。

2.2 齒槽轉矩

根據麥克斯韋張量理論，將空載時永磁體磁場的徑向和切向分量經氣隙比磁導修正后沿電機圓周方向和徑向雙重積分即可得到齒槽轉矩，具體為

sin[(ε2±ε1)ωrt]

(26)

由式(26)可知，齒槽轉矩是由一系列正弦分量疊加而成，每階轉矩成分的幅值、頻率也都可以直觀地從表達式中獲取，同時該解析模型也給出了產生齒槽轉矩的判據：只有當永磁體階數與齒槽諧波階數滿足以下關系時，才會產生齒槽轉矩，即

ε1±ε2=(k1±k2)Qs

(27)

對齒槽轉矩頻率特性作進一步分析

(28)

由式(28)可知ε1±ε2=(k1±k2)Qs=2C1p=C2Qs， 故ε1±ε2=const.×LCM(2p,Qs)， 其中const.表示任意整數倍，C1和C2取任意整數。因此，齒槽轉矩頻率滿足const.×LCM(2p,Qs)×f/p， 即為電機轉頻與極槽最小公倍數乘積的整數倍。將氣隙磁通密度諧波與齒槽轉矩各階成分之間的關系歸納在表2中。

表2 齒槽轉矩特性和來源

Tab.2 Characteristics and source of cogging torque

判據永磁體階數ε1永磁體階數ε2磁導諧波k1磁導諧波k2轉矩頻率/Hz轉矩幅值/(N·m)5p02p117p02113p026f3p119p0211…………04ε1±ε2=(k1±k2)Qs11p22π12μ0(Bzε1Bzε2Λk1Λk2)·(R3o-R3i)p130413p221312f043p9p2213045p7p2213……………

由于齒槽諧波為任意整數階，因此齒槽轉矩的來源也更為豐富，并且不同于電磁轉矩，永磁體磁場的各階成分對齒槽轉矩均有貢獻。

3 有限元驗證

為了驗證上述解析模型的準確性，在有限元中建立了16極24槽單定子單轉子軸向磁通永磁同步電機的模型，電機具體參數見表3[20]。

表3 電機主要參數

Tab.3 Main parameters of motor

參數取值參數取值永磁體極對數p8電機長度d/mm97定子槽數Qs24槽口寬度b0/mm8氣隙長度δ/mm2線圈匝數Nc148永磁體厚度hm/mm7.5最大相電流Im/A72.4永磁體外徑Ro/mm89平均轉矩Tave/(N·m)52永磁體內徑Ri/mm55.7電機重量M/kg10.5轉子厚度hr/mm15額定功率P/kW5極弧系數αp0.6效率η(%)76永磁體剩磁Br/T1.1電流頻率f/Hz100

根據單元電機理論，16極24槽電機可以看成是由8個2極3槽的單元電機組成。故只需要建立電機的1/8模型對解析模型進行驗證，電機有限元模型如圖1所示。

圖1 軸向磁通永磁同步電機三維有限元模型Fig.1 3-D finite element model of AFPMSM

圖2和圖3分別為電磁轉矩和齒槽轉矩的解析結果與有限元結果的對比。由對比結果可知，解析結果與有限元結果比較吻合，證明了該轉矩解析模型的準確性。

圖2 電磁轉矩有限元驗證Fig.2 Electromagnetic torque validation by FEM

圖3 齒槽轉矩有限元驗證Fig.3 Cogging torque validation by FEM

4 轉矩優化

4.1 解析方法

由于永磁體極弧系數的取值會影響電磁轉矩波動和齒槽轉矩的幅值及相位，故針對軸向磁通電機的特點，可以將其永磁體沿徑向采用不同的極弧系數，使不同半徑處產生反相位的轉矩波動，從而達到削弱轉矩波動的目的。

為了建立永磁體徑向變極弧系數后電機轉矩的解析模型，可以將永磁體沿徑向進行分段，每段取不同的極弧系數，如圖4所示。分段后的電機轉矩則可以看成是每段永磁體產生的轉矩之和。

圖4 徑向變極弧系數的永磁體Fig.4 Permanent magnet with triangular skew

由式(24)和式(26)可得考慮永磁體徑向變極弧系數后的電磁轉矩與齒槽轉矩解析模型為

(29)

式中，Bzε(j)、Bτε(j)分別為第j段極弧系數為αp(j)的永磁體的軸向與切向磁通密度幅值，可由式(3)和式(4)得到。極弧系數沿電機徑向連續線性變化時，任意半徑處的極弧系數αp(j)取值與內、外半徑處的極弧系數αi與αo以及段數N之間應近似滿足如下關系

(30)

式中，R(j)為第j段永磁體的平均半徑。

在優化時控制優化前后永磁體用量相同，即在永磁體厚度不變時永磁體端面面積相等，優化前永磁體為扇形，其端面面積為

(31)

而優化后的永磁體端面面積則可通過沿徑向積分獲得

(32)

由S*=S， 可得永磁體內、外半徑處的極弧系數αi與αo需滿足條件

(33)

優化時永磁體沿徑向分段數N越多，越能真實地反映連續變化的輪廓，但同時優化迭代時間也越長。圖5為不同分段數N下的電磁轉矩和齒槽轉矩。從圖5中可以看出，當分段數為3或4時優化結果基本相同，再增加分段數并不會提高優化效果，相反只會增加迭代時間和加工制造成本，從優化效果的角度出發最終選取分段數為4進行優化。

當永磁體沿徑向分成4段時，由式(29)、式(30)和式(33)可得電機轉矩相對值隨永磁體內徑處極弧系數變化的曲線如圖6所示。

由圖6可知，當永磁體極弧系數沿電機徑向線性變化并控制優化前后永磁體用量不變時，電機的平均轉矩基本保持不變，但轉矩波動得到大幅削弱，且內、外半徑處的極弧系數差別越大，轉矩波動削弱效果越明顯。在內半徑處極弧系數取αi=0.25時能夠很好地削弱電磁轉矩波動與齒槽轉矩。

圖5 永磁體不同分段數下的轉矩優化效果Fig.5 Torque optimization result for different N

圖6 不同αi所對應的轉矩相對值Fig.6 Torque relative value at different αi

4.2 有限元驗證

為了驗證上述解析優化結果的準確性，對前面的虛擬樣機的永磁體進行修改，使其內半徑處的極弧系數變為αi=0.25，則由式(33)可得外半徑處的極弧系數變為αo=0.9。修改后的轉子有限元模型如圖7所示。

圖7 優化后的轉子模型Fig.7 3-D finite element model of the optimized rotor

優化前后電磁轉矩和齒槽轉矩的解析結果和有限元結果如圖8所示，從圖中可看出有限元與解析結果吻合較好，證明了解析優化方法的準確性。圖8也表明優化后轉矩的平均值只是略有下降，從優化前的57.71 N·m降為56.80 N·m，下降了1.58%，而電磁轉矩波動與齒槽轉矩均得到了大幅度的削弱，其中電磁轉矩波動的幅值由4.71 N·m下降至1.22 N·m，下降了74.10%；而齒槽轉矩的幅值也由3.13 N·m下降到0.78 N·m，下降了75.08%。

圖8 優化前后轉矩對比Fig.8 Torque contrast before and after optimization

5 結論

在氣隙磁場解析推導的基礎上基于麥克斯韋張量理論建立了軸向磁通永磁同步電機的轉矩解析模型，并通過有限元法驗證了該模型的準確性。該模型給出了產生電磁轉矩和齒槽轉矩的判據：只有當永磁體磁場階數ε與電樞反應磁場階數ν相等即ε=ν時，才會產生電磁轉矩，且其頻率為電流頻率的6k倍；只有當永磁體階數與齒槽諧波階數滿足ε1±ε2=(k1±k2)Qs時，才會產生齒槽轉矩，且其頻率滿足const.×LCM(2p,Qs)×f/p。 然后利用該解析模型，采用徑向變極弧系數法對一臺單定子單轉子軸向磁通永磁同步電機的轉矩展開優化，優化后轉矩的平均值只是從優化前的57.71 N·m降為56.80 N·m，幾乎沒有下降，而電磁轉矩波動的幅值則由4.71 N·m下降至1.22 N·m，下降了74.10%，齒槽轉矩的幅值也由3.13 N·m下降至0.78 N·m，下降了75.08%。這些結果表明徑向變極弧系數法可以在不影響軸向磁通永磁同步電機轉矩輸出性能的前提下有效削弱其轉矩波動。此外解析優化方法可以在給定的約束條件下快速尋找最優解，具有非常高的效率，相比之下三維有限元法只能在給定的離散解集內尋優，而且非常耗時，因此基于解析模型的優化方法非常適合在電機的初始設計階段使用。

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Analytical Model and Optimization of Torque of an Axial Flux Permanent Magnet Synchronous Motor

Zuo Shuguang Wu Shuanglong Wu Xudong Shen Jian Lin Fu

(Clean Energy Automotive Engineering Center Tongji University Shanghai 201804 China)

Axial flux permanent magnet synchronous motors (AFPMSM) have an intrinsic 3-D electromagnetic structure.Its accurate modeling and optimization of torque usually require the use of 3-D finite element analysis (FEA)，which is highly time consuming.This paper presents a new torque analytical model and then it was used to optimize the torque of an AFPMSM.Firstly，the analytical model of magnetic field was established by using magnetic potential and relative permeance.Then，electromagnetic torque and cogging torque analytical models were derived based on Maxwell-tensor method.Finally，3-D FEA was presented for verifying the accuracy of the proposed model.The analytical model indicates the criterion to produce electromagnetic torque and cogging torque.It also clears the relationship between the order components of torque and the harmonic field.Based on the analytical model，the torque of a virtual AFPMSM with one stator and one rotor was optimized by triangular skew method.The result shows that the triangular skew method can greatly decrease the cogging torque and electromagnetic torque ripple，and the analytical method is really high efficient.

Axial flux permanent magnet synchronous machines，torque，analytical model，torque optimization

國家自然科學基金項目(51375343)和國家重大科學儀器開發專項(2012YQ150256)資助。

2015-06-23 改稿日期2015-09-18

TM341；TM351

左曙光 男，1968年生，教授，博士生導師，研究方向為汽車振動與噪聲控制。

E-mail：sgzuo@tongji.edu.cn

吳旭東 男，1983年生，博士后，助理教授，研究方向為汽車振動與噪聲控制。

E-mail：wuxudong@tongji.edu.cn (通信作者)