基于仿射算術優化的不確定系統區間潮流快速分解法

胡 健 付立軍 馬 凡 紀 鋒

(艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室(海軍工程大學) 武漢 430033)

基于仿射算術優化的不確定系統區間潮流快速分解法

胡 健 付立軍 馬 凡 紀 鋒

(艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室(海軍工程大學) 武漢 430033)

傳統基于單一運行點運算的電力系統潮流計算不能處理系統參數改變和負荷需求變化的不確定性，也無法為時變電力系統安全分析提供有意義的參考，因此潮流區間算法在電力系統潮流計算中得到應用。針對現有潮流區間算法結果保守的問題，利用區間仿射算術來考慮區間變量之間的相關性進行快速分解法潮流計算，并在每步迭代中引入線性優化，抑制區間增長。通過算例比較表明，該方法在保證完備性的同時，能有效地減少區間結果保守性。

電力系統 潮流計算 區間算法 仿射算術

0 引言

潮流計算是進行電力系統安全分析的重要工具。隨著電力工業技術的不斷發展，電力系統中負載種類和運行工況也變得多樣化，系統中參數與負荷需求的不確定性增多，傳統基于單一運行點運算的電力系統潮流計算方法不能有效地處理這一問題，即便系統中參數和負荷需求的變化是確定的，通過單一運行點計算得到的系統潮流“快照”，也不能全面反映系統狀況，無法為時變的電力系統進行靜態安全分析提供有效的依據。因此為了能夠更全面和準確地反映系統安全狀態，需要根據功率需求和系統參數變化，求出穩態時各種可能運行情況下系統潮流的范圍，利用潮流范圍而不是一個數值來分析時變電力系統的安全性能，更加合理和符合實際。

對于不確定潮流分析，目前主要有三種方法。①概率分析法[1-4]，即可以通過蒙特卡羅仿真的方法[4]，多次重復仿真來獲得系統潮流的分布范圍，或者根據條件概率理論，研究電力系統中變化因素的概率分布函數，解析計算潮流范圍[1，3]。蒙特卡羅仿真模擬的概率分析法需要經過大量的模擬計算，只適合作為一種驗證的方法，用于離線分析。而解析的概率分析方法，可變因素統計量的獲取和概率分布函數的建立，都大大增加了計算的復雜性，影響了概率分析法的應用。②模糊分析法[5，6]，根據模糊集理論來建立電力系統變化因素的隸屬度函數，描述不確定系統。模糊分析法的隸屬度函數比概率分布函數的確立更為困難，往往帶有很大的主觀性。③區間分析法。不確定潮流計算的區間算法考慮了系統參數和負荷功率需求的變化，提供了嚴格的上下端邊界，對各輸入變量的精確區間進行區間運算，得到所有可能的潮流解區間。自文獻[7]首次將區間算法的理論應用于電力系統潮流計算以來，潮流區間算法得到了廣泛關注。

文獻[8]采用基于區間約束傳播的方法，進行了輻射型電網潮流分析；文獻[9]采用區間高斯消去法來處理直流潮流計算中的不確定問題；文獻[10]提出了一種配電網三相潮流前推回推的區間算法；文獻[11]研究了不確定條件下電力系統仿真的區間泰勒模型。然而通過這些潮流區間算法得到的區間結果往往過于保守，不適合直接用于電力系統的靜態安全分析。因此，文獻[12]提出了一種基于Krawczyk算子的直流潮流區間算法，得到比區間高斯消去法更小的解區間。文獻[13]在區間運算過程中利用反演公式，在一定程度上減小了區間結果的寬度。目前的研究表明，造成區間運算結果保守性的本質原因是在進行區間運算時，認為區間是相互獨立的，忽略了區間的相關性，導致區間結果遠大于真實范圍，甚至出現“誤差爆炸”的情況。

文獻[14]首次提出了仿射算術(AffineArithmetic)，作為區間算術的一種改進形式，通過考慮相關性，解決區間運算結果的保守性問題。文獻[15]推導了功率的仿射方程，用線性規劃的方法求出最優的噪聲元，然后用求出的噪聲元表示其他潮流值。然而這種方法在計算過程中，引入了大量新噪聲元，計算量變得更加巨大。文獻[16，17]將仿射算術用于前推回推迭代過程，很好地解決了配電網的潮流計算問題。文獻[18，19]建立了仿射算術電力系統潮流模型，由于其是基于牛頓法的區間潮流計算，每次迭代雅克比區間矩陣的修改往往極易造成矩陣奇異或得到沒有意義的結果。文獻[20]通過對區間運算過程中的仿射數分別進行線性優化、非線性優化和二次規劃，得到區間潮流結果，但其優化過程只能是逐點進行，并且非線性優化和二次規劃都存在陷入局部最優的問題。

本文在現有區間仿射數潮流算法的基礎上，首先將區間仿射數用于快速分解法區間潮流計算，在迭代過程中使用定雅克比矩陣，避免區間雅克比矩陣帶來的仿射數展開復雜運算，以及區間矩陣分解計算帶來的保守性增加問題；其次為減小區間寬度，在每步迭代過程中對仿射算術的噪聲元進行線性優化；最后通過與蒙特卡羅算法和文獻[19]所提方法相比較，表明本文不確定潮流算法區間結果在確保完備性的同時，能有效減小區間結果的保守性。

1 區間算術與仿射算術

區間數是用來表示一個范圍區間的所有實數集合，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

仿射算術是為了解決區間算術中相關性問題而建立的一種自有效性計算模型。其表達式為

(6)

式中，xi為實系數，其中i=1，2，3，…，n；εi為噪聲元，其值是[-1，1]的區間數；x0為中心值。仿射算術的基本運算定義為[13]

(αx1+βy1)ε1+…+(αxn+βyn)εn

(7)

(8)

式中，εk為新產生的噪聲元；zk表達式為

(9)

(10)

(11)

2 不確定潮流仿射數優化算法實現

2.1 不確定潮流仿射數表達

在實際電力系統中，負荷的不確定性遠大于系統結構的不確定性，因此一般情況下都研究節點功率為不確定量的情況，用區間表示，其仿射數展開為

(12)

式中，εPi和εQj分別為第i節點的有功功率和第j節點無功功率的噪聲元，其大小為[-1，+1]的區間數；Ωn為除去平衡節點的節點集合,下標n為去除平衡節點后剩余的所有節點數；Ωr為PQ節點集合，下標r為PQ節點數。

根據經典的XB型快速分解法，列寫區間潮流的快速分解法表達式。區間潮流第k次迭代的狀態變量仿射數展開形式為

(13)

將不確定潮流利用仿射數的形式表達，在進行區間計算的時候，由于仿射算術通過噪聲元引入對相關性的考慮，能夠抑制區間運算帶來的區間寬度增長過快的問題。

2.2 不確定潮流仿射數優化

對于電力系統區間潮流平衡方程有

(14)

式中，SP表示指定值；各量的上標^表示仿射數，用以和固定數值區分。

潮流計算快速分解法的修正方程為

(15)

式中，B′為忽略支路電阻和接地支路影響的電納矩陣；B″為不含PV節點的節點導納矩陣的虛部。

通過采用快速分解法的定雅克比矩陣，在迭代一開始時形成固定的因子表，并在迭代過程中連續使用。既保證一階收斂速度，又獲得的是定區間雅克比矩陣，省去大量的計算量和編程工作，避免牛拉法每一步需要根據區間數進行仿射數展開的復雜區間運算的過程，而這一過程也是造成區間結果保守性的重要原因。

對電壓相角和幅值進行交替迭代計算，在第k次迭代時，先對相角進行計算。

(16)

(17)

(18)

營業稅改增值稅為酒店企業財務管理工作提供了新的機遇，在一定程度上降低了企業稅負，減少了不必要的成本支出。酒店企業要在營改增背景下，調整企業財務管理工作和稅收制度等。該過程中涉及到的實施方法有細分收入、獲取進項稅抵扣，以降低成本、合同及發票管理和運營架構重塑等相關內容，以此為背景，提高酒店財務管理工作質量和效率。

(19)

區間潮流迭代計算的收斂判據為

(20)

考慮相同噪聲元的相關性，對電壓幅值和相角的區間結果的仿射數取差值。wid表示仿射數的區間寬度，當前后兩次區間結果的仿射數差值寬度的無窮范數小于一較小值時，認為收斂。

3 算例分析

3.1 算法比較

本文以IEEE14測試節點算例進行計算分析。在實際的電力系統中，負荷對功率需求的變化情況多于系統的導納矩陣參數改變情況。因此，選定負荷節點功率發生±10%的變化。

蒙特卡羅法是根據多次重復仿真結果得到范圍，是一種用于檢驗完備性的方法。因此本節分別采取蒙特卡羅法、文獻[19]方法和本文方法進行區間潮流計算比較。其中，蒙特卡羅法所用的隨機數在取值范圍內為均勻分布，經過5 000次仿真得到結果。節點電壓幅值比較結果見表1和表2，以及圖1～圖3。

表1 節點電壓相角區間比較

Tab.1Intervalcompareofnodevoltagephaseanglebetweentwomethods

節點電壓相角/(°)文獻[19]方法本文方法下限上限下限上限2-6.6139-3.3318-6.4810-3.47173-16.5404-8.8614-15.0030-10.41384-13.3165-7.3227-14.2243-6.42325-11.3493-6.1995-11.0406-6.51556-18.1996-10.1759-16.1490-12.23047-17.0916-9.6341-15.0087-11.72388-17.0916-9.6341-14.0676-12.66499-19.0524-10.8249-17.6276-12.255210-19.2841-10.9125-17.0532-13.148511-18.9266-10.6328-16.2276-13.336212-19.326-10.7795-17.0951-13.014813-19.4419-10.8446-17.4901-12.800814-20.4825-11.5871-19.9334-12.1418

表2 節點電壓幅值區間比較

Tab.2Intervalcompareofnodevoltageamplitudebetweentwomethods

節點電壓幅值(pu)文獻[19]方法本文方法下限上限下限上限41.00981.02861.01531.023051.01411.02721.01791.023571.04681.07951.04831.078091.02841.08881.02871.0884101.02401.08301.02331.0837111.04131.07541.04061.0761121.04571.06611.04701.0648131.03701.06581.03701.0658141.00431.07171.00551.0705

圖1 節點電壓相角值區間比較Fig.1 Interval compare of node voltage phase angle between three methods

圖2 支路有功潮流區間比較Fig.2 Interval compare of line active power flow between three methods

圖3 支路無功潮流區間比較Fig.3 Interval compare of line reactive power flow between three methods

由表1、表2、圖1～圖3可以看出，本文方法能夠完全包含蒙特卡羅法5 000次仿真的結果，具備完備性，能不遺漏實際情況。本文與文獻[19]方法相比較，能夠有效地減小節點電壓相角區間的保守性及支路有功潮流和支路無功潮流區間結果的保守性，電壓幅值計算結果的區間寬度基本一致。

3.1節中，不確定量為所有節點的負載有功和無功變化共22個，不確定量變化范圍為±10%。本節將分析本文所提方法對不確定量變化時的計算結果的保守性。

固定所有有功功率為不確定量，數目為11，不確定量變化范圍為變量。以第4節點相角下限為例，其隨不確定量范圍變化時，計算結果見表3。當計算結果和蒙特卡羅方法得到的相角差在5°以內時，文獻[15]不確定量變化范圍為±20%，而本文方法不確定量可變化范圍達±25%。

表3 不確定量變化范圍與保守性關系

Tab.3Relationshipbetweentherangeofuncertaintyandconservative

不確定量范圍(%)第4節點電壓相角下限/(°)蒙特卡羅本文相差度數5-10.8163-11.54730.731010-11.1966-13.02921.832615-11.7554-14.29592.540520-11.9728-15.83603.863225-12.5346-17.39044.855830-13.0384-19.17756.139135-13.3780-20.97597.597940-13.7297-22.56248.832745-14.6223-24.46409.841750-14.6022-25.727811.1256

固定不確定量變化范圍為±10%，以不確定量數目為變量。以第4節點相角下限為例，隨不確定量數目變化時，計算結果見表4。可以看出隨不確定數目增加，相角相差度數增大，當不確定量變化范圍為±10%時，本文算法相角相差度數在5°以內，滿足現有區間潮流算法的誤差要求。

表4 不確定量數目與保守性關系

Tab.4Relationshipbetweenthenumberofuncertaintyandconservative

不確定量數目第4節點電壓相角下限/(°)蒙特卡羅本文相差度數2-10.3743-11.14960.77534-10.7743-12.11541.34116-11.0176-12.97691.95938-11.0091-12.31111.302010-11.0454-13.15782.112412-11.1224-13.50662.384214-11.2470-13.60262.355616-11.1653-13.65552.490218-11.1419-13.76492.623020-11.1175-13.98982.872322-11.1809-14.22433.0434

表3中范圍±10%、不確定數11情況的結果比表4中范圍±10%、數目12的結果反而更為保守，這是因為表3中11個不確定量均為有功負荷的不確定。表4中為6個有功和6個無功，這與現有經驗電力系統中電壓相角主要受有功功率的影響相一致。

4 結論

本文為減小區間潮流計算結果的保守性，將仿射算術用于快速分解法區間潮流計算中，并在此基礎上，建立了基于仿射數優化的不確定系統區間潮流算法。通過算例分析表明，與現有的區間仿射數潮流算法相比，該算法具有以下優勢：

1)迭代過程中使用定雅克比單一運行點數值矩陣，避免了每一步迭代過程均需計算區間矩陣，以及對區間矩陣的仿射數展開的工作，減少了編程的工作量以及因區間矩陣分解計算帶來的保守性增長問題。

2)在迭代過程中加入線性優化以抑制區間保守性增長，從而得到了更窄的區間結果。

本文方法適合用于負荷發生變化的電力系統網絡。在不確定性系統區間潮流計算中，具有有效性和應用價值。

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Fast Decoupled Power Flow Calculation of Uncertainty SystemBased on Interval Affine Arithmetic Optimization

Hu Jian Fu Lijun Ma Fan Ji Feng

(NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonVesselIntegratedPowerSystemNavalUniversityofEngineeringWuhan430033China)

Thetraditionalpowerflowcalculationisbasedonasingleoperatingpointcalculationcannotdealwiththeuncertaintybythechangeofthetime-varyingpowersystems’parametersandloaddemand，isunabletoprovidemeaningfulreferencefortime-varyingpowersystemsecurityanalysiseither，sotheintervalalgorithmwasappliedinthepowersystemflowcalculation.Inviewoftheconservativeproblemoftheexistingpowerflowintervalalgorithm，consideringthecorrelationbetweenintervalvariables，useinteralaffinearithmeticforfastdecompositionmethodandlinearoptimizationattheeachiterationtoinhibitthegrowthofinterval.Throughacomparisonofexamplesshowsthattheproposedalgorithmensuringcorrectness，atthesametime，effectivelyreducingtheconservatismofintervalresults.

Powersystems，powerflowcalculate，intervalalgorithm，affinearithmetic

國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)(2012CB215103,613294)、國家自然科學基金(51377167)資助項目。

2016-03-08 改稿日期 2016-06-22

TM71

胡 健 男，1990年生，博士研究生，研究方向為電力系統穩定性分析等。

E-mail：417356933@qq.com

紀 鋒 男，1983年生，講師，研究方向為獨立電力系統建模與仿真、保護與穩定控制等。

E-mail：email_jf@yeah.net(通信作者)