高等代數在數學分析極值問題中的應用

曠雨陽

(安順學院數理學院，貴州 安順561000)

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高等代數在數學分析極值問題中的應用

曠雨陽

(安順學院數理學院，貴州 安順561000)

數學分析中的某些極值問題，如果使用數學分析中的方法解決，其過程可能相當繁瑣，但若結合高等代數的方法，那么問題解決起來相當簡單，文章以高等代數中的二次型與特征值探討了多元函數的極值問題。

高等代數；數學分析；極值問題；簡單應用

1、預備知識

定義1.2：設函數f(x,y)在點p(a,b)的領域G有定義，若?(a+h,b+k)∈G，有f(a+h,b+k)≤f(a,b)(f(a+h,b+k)≥f(a,b))，則稱p(a,b)是函數f(x,y)的極大點(極小點)，極大點(極小點)的函數值f(a,b)稱為函數f(x,y)的極大值(極小值)。

定理1.4：實對稱矩陣A是正定的，當且僅當矩陣A的順序主子式全大于零。

定理1.5：實對稱矩陣A是負定的，當且僅當矩陣A的順序主子式負正相間，

2、高等代數在數學分析極值問題中的應用

2.1 利用二次型求多元函數的極值

數學分析中有一些求多元函數的極值問題，利用高等代數的二次型來解決，可能會變得簡單且通俗易懂。

⑴當矩陣Hf(p0)是一個正定矩陣時，y=f(x1,x2,…,xn)在p0處取得極小值；

⑵當矩陣Hf(p0)是一個負定矩陣時，y=f(x1,x2,…,xn)在p0處取得極大值；

⑶當矩陣Hf(p0)是一個不定矩陣時，y=f(x1,x2,…,xn)在p0處沒有極值。

證明：由f(x1,x2,…,xn)處在p0處的泰勒公式有：

因此，如果矩陣Hf(p0)是正定矩陣時，二次型△xT·Hf(p0)·△x是正定二次型，即△xT·Hf(p0)·△x>0，于是在|△x|很小時，f(x1,x2,…,xn)-f(P0)>0，即y=f(x1,x2,…,xn)在點處取極小值。

同理，如果矩陣Hf(p0)是負定矩陣時，二次型△xT·Hf(p0》·△x是負定二次型，即△xT·Hf(p0》·△x<0，于是在|△x|很小時，f(x1,x2,…,xn)-f(p0)<0，即y=f(x1,x2,…,xn)在點p0處取極大值。

如果Hf(p0)是不定矩陣時，y=f(x1,x2,…,xn)在點P0處沒有極值。

例3.1：求函數u=x3+3xy2-15x-12y的極值。

2.2 利用特征值求多元函數極值

分析：本命題可以轉化為高等代數中的二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX在X′X=1條件下的最大(小)值問題，然后利用特征值理論解決。

例2.2：設x,y是實數，且滿足x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值與最小值。

解：令則f(x,y)的矩陣令|λI-A|因此得特征值為由定理3.2得但注意到f(x,y)=3，解得2≤x2+y2≤6，又x2-xy+y2=2(x2+y2)-f(x,y)=2(x2+y2)-3，從而1≤x2-xy+y2≤9，故x2-xy+y2的最大值是9，最小值是1。

[1]曠雨陽· 談談數學分析與泛函分析的某些遞進關系[J].科技通報. 2013(3): 20—22.

[2]嚴子謙，尹景學，張然· 數學分析中的方法與技巧[M].北京：高等教育出版社， 2009.

(責任編輯：王德紅)

The Applications of Higher Algebra in Mathematical Analysis of Extreme Value Problem

Kuang Yuyang

(College of Mathematics and Physics，Anshun University，Anshun 56100,Guizhou,China)

Some extreme problems in mathematical analysis, If the method of mathematical analysis is used to solve the problem, the process may be very complicated, but the problem is solved fairly simply by combining the method of higher algebra. This paper is mainly to discuss the two times and characteristic value of higher algebra to solve the problem of the extreme value of multivariate function.

Advanced algebra，mathematical analysis，extreme value problem，simple application

2016-09-10

曠雨陽(1978.01～)，湖南攸縣人，安順學院數理學院副教授，碩士。研究方向：偏微分方程與最優控制。

O13

A

1673-9507(2016)06-0113-02

理工科教學與應用