吸氣式超聲速導彈彈道優化設計與分析①

明 超, 孫瑞勝, 梁 卓, 白宏陽

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院, 南京 210094;2.中國運載火箭技術研究院,北京 100076)

吸氣式超聲速導彈彈道優化設計與分析①

明 超1, 孫瑞勝1, 梁 卓2, 白宏陽1

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院, 南京 210094;2.中國運載火箭技術研究院,北京 100076)

為充分發揮吸氣式超聲速導彈巡航性能高的優勢，對其巡航段的飛行方案進行了研究?？紤]吸氣式沖壓發動機與飛行軌跡強耦合的特性，建立了以飛行攻角和燃料質量流量為雙優化變量的多階段多約束的彈道優化模型，提出了一種飛行軌跡與推力規律一體化優化設計方法。以射程最大為性能指標，對吸氣式超聲速導彈的爬升段和巡航段進行了綜合優化設計，并著重對不同巡航方案下的彈道性能進行了分析。仿真結果表明，該方法能有效解決吸氣式超聲速導彈多階段多約束軌跡優化問題，對于該吸氣式超聲速導彈而言，巡航的速度不宜太大，高空飛行更有利于增加射程；不等高不等速巡航方案與等高等速巡航方案相比，最大射程提高了12.3%。研究成果可為吸氣式超聲速導彈總體設計提供參考。

吸氣式超聲速導彈；多階段多約束；巡航方案；一體化優化

0 引言

吸氣式超聲速導彈具有速度快、射程遠、突防能力強等一系列技術優勢，成為世界各國關注的研究熱點[1-4]。由于采用吸氣式沖壓發動機作為動力裝置，使得其飛行性能與推力系統之間存在強耦合的特性，在進行彈道方案設計時，必須考慮飛行軌跡與推力規律一體化優化設計。吸氣式超聲速導彈從助推器關機后，沖壓發動機開始接力工作，導彈爬升到巡航高度和速度進行巡航飛行，飛行包絡大，氣動特性和發動機推力變化復雜，且受到過程約束和終端約束限制，對全彈道的性能影響較大。因此，對吸氣式超聲速的爬升段和巡航段的彈道方案進行綜合優化設計具有重要的理論研究意義和工程應用價值。

導彈彈道優化設計是在滿足各種約束的條件下，如何到達指定目標點的最優控制問題，國內外學者針對該問題做了大量的研究工作[5-14]。文獻[5]用間接法對高超聲速飛行器的助推-滑翔彈道進行了優化設計；文獻[6]中通過將最優控制理論，將高超聲速滑翔式飛行器軌跡優化轉化成兩點邊值問題，采用遺傳算法求解該兩點邊值問題；文獻[7]采用基于Akima插值多項式的直接法求解高超聲速滑翔式飛行器再入軌跡優化問題；文獻[8]則利用直接法中的Legendre偽譜法對再入飛行器的軌跡進行了優化。但上述文獻均是對飛行軌跡的某一階段進行優化設計，在此基礎上，文獻[9]利用改進的粒子群優化算法對雙脈沖導彈的多階段非連續助推彈道方案進行了優化設計，但仍是對彈道的各階段分開進行優化。相比于其他飛行器彈道優化設計研究，對以吸氣式超聲速導彈的彈道優化設計與分析開展的研究工作較少，文獻[10-12]在進行以沖壓發動機為動力的導彈爬升彈道優化的研究中，推力規律只根據飛行馬赫數進行了適當調節，并沒有參與優化，并未考慮發動機推力與飛行軌跡的相互影響作用；文獻[13-14]在此基礎上，研究了發動機性能與飛行狀態相互影響條件下的爬升段軌跡優化設計問題，并獲得了燃料最省的上升段軌跡。

本文在考慮過載、動壓、終端彈道參數等約束條件的基礎上，充分考慮飛行過程中吸氣式沖壓發動機的性能約束，選取燃料質量流量和飛行攻角作為雙優化設計變量，建立了吸氣式超聲速導彈多階段多約束的彈道優化模型，提出了一種基于hp自適應偽譜法的飛行軌跡與推力規律一體化優化設計與分析方法，對吸氣式超聲速導彈爬升段和巡航段軌跡的最大射程進行綜合優化，并著重分析了巡航段的飛行方案對彈道性能的影響，從而為吸氣式超聲速導彈方案彈道的工程設計提供參考。

1 彈道模型

1.1 動力學模型

采用球體模型，忽略地球自轉和地球曲率的影響，將導彈看作可控的質點，在鉛垂平面內的吸氣式超聲速導彈動力學模型可簡化為[15]

(1)

式中v、θ、L和m分別為導彈的飛行速度、彈道傾角、射程和質量；r為導彈與地心的距離；H為高度；Re為地球半徑；g為重力加速度；P為發動機推力；X=qSCx，Y=qSCy分別為阻力和升力，由動壓q和氣動特性決定；S為參考面積；Cx和Cy分別為阻力系數和升力系數，可由攻角α和馬赫數Ma插值計算獲得；mc為發動機的燃料質量流量。

1.2 發動機推力特性分析

吸氣式沖壓發動機參數可參照文獻[16]進行計算，從而得到沖壓發動機的推力P、靜壓裕度Sm和余氣系數αf隨飛行高度H、馬赫數Ma、攻角α及燃料質量流量mc的變化關系：

(2)

其中，f1、f2、f3以表格的形式給出，采用四維三次樣條函數插值方式進行計算。

選取飛行典型工況下的高度分別為15、20 km，馬赫數為2.5～4.0，攻角為-2°～12°，燃料質量流量為0.2～1.1 kg/s，對發動機推力進行數值計算，推力的變化曲線如圖1所示。

由圖1可知，當質量流量較小時，推力隨高度增加而增加，當質量流量較大時，推力隨高度增加而減小；推力隨馬赫數的增加先增加后減小，且在Ma=3.0左右推力達到最大值；攻角增加，推力先增加后減小，近似為二次函數關系，極值點在攻角在4°左右；推力隨質量流量增加而增加，且呈線性變化趨勢。

2 多階段彈道優化模型

2.1 問題描述

吸氣式超聲速導彈一般通過飛機攜帶至一定的高度后投放，采用助推器使導彈加速至沖壓發動機正常工作的速度后，沖壓發動機開始接力工作，導彈爬升至預定的巡航高度和速度進行巡航飛行。相比于爬升段和巡航段彈道，助推段的主要作用是將導彈加速到沖壓發動機能正常工作的速度，其工作時間很短，優化和非優化方案對彈道的性能影響不大。為此，本文只對爬升段和巡航段的軌跡進行優化設計。

(a)高度為15 km

(b)高度為20 km圖 1 推力變化曲線Fig.1 Curves of thrust

以最大射程為性能指標，對以下5種不同巡航方案下的爬升段和巡航段彈道進行綜合優化設計和對比分析，研究巡航段的飛行方案對彈道性能的影響。

方案1：低空低速-等高等速巡航；

方案2：低空高速-等高等速巡航；

方案3：高空低速-等高等速巡航；

方案4：高空高速-等高等速巡航；

方案5：不等高不等速巡航。

2.2 約束條件

(1)終端約束

為保證吸氣式超聲速導彈正常巡航飛行，終端彈道參數應滿足一定的約束條件，包括末端高度、速度和彈道傾角約束，即：

等高等速巡航：

不等高不等速巡航：

(2)連接點約束

為保證吸氣式超聲速導彈爬升段和巡航段間平滑過渡，應使得爬升段結束時刻的狀態量與巡航段開始時刻的狀態量對應相等，即：

式中i和i+1分別表示爬升段和巡航段；t為時間；s為狀態量；下標0、f分別表示開始、結束。

(3)控制約束

考慮到沖壓發動機性能及進氣道攻角的限制，吸氣式超聲速導彈的沖壓發動機燃料質量流量mc和飛行攻角α的約束條件為

(4)路徑約束

考慮導彈的防熱要求，動壓q必須滿足約束條件：

考慮導彈結構設計限制，法向過載 應限制在一定的范圍內：

為充分發揮吸氣式沖壓發動機的性能，發動機的靜壓裕度Sm和余氣系數αf應滿足：

10%≤Sm≤100%，0.5≤αf≤3

2.3 性能指標

對吸氣式超聲速導彈的燃油經濟性來說，就是在給定的燃油總量的情況下，導彈的射程L(tf)最遠。因此，彈道優化設計的目標函數為

J=maxL(tf)

(3)

3 彈道優化方法

3.1 hp自適應偽譜法

彈道優化方法是將Radau偽譜法[16]與hp型有限元法進行融合的hp自適應偽譜法[17]。當然，hp自適應偽譜法也可采用其他偽譜法(Legendre偽譜法、Gauss偽譜法等[18-20])，本文選取Radau偽譜法的原因是容易滿足網格點的連續條件[21]。

hp自適應偽譜法的離散過程與Radau偽譜法相似，通過構造全局Lagrange插值多項式逼近節點上離散后的狀態量和控制量，并對插值多項式進行求導獲取微分矩陣，從而將最優控制問題的求解轉化為對非線性規劃問題的求解。對于非線性規劃問題，可采用SNOPT[22]等軟件包對其進行求解。不同于Radau偽譜法，hp自適應偽譜法在迭代過程中會根據精度要求改變網格參數。當某一離散區間的計算精度不滿足要求時，由hp自適應方法對該區間內的配點數h或全局插值多項式的階次p進行自適應調整，從而使得計算時間更少，最優解的精度更高。

3.2 一體化優化設計

吸氣式超聲速導彈的一體化設計涉及外形、推進、氣動力、氣動熱、結構、控制和彈道等多個相互耦合系統，根據目前的設計需求，主要考慮氣動力、推進和彈道之間的耦合，對吸氣式超聲速導彈進行飛行軌跡與推力規律一體化優化設計，設計框架如圖2所示。

選取吸氣式超聲速導彈飛行的攻角和發動機的燃料質量流量作為優化設計變量，并確定狀態量和設計變量的初值及設計約束，進行彈道一體化優化仿真。優化過程中根據需求調用推進模型和氣動力計算模型，調整設計變量，協調各子系統之間的關系，根據推力、氣動力及設計變量進行彈道優化解算。上述過程多次重復，每次彈道優化仿真結束，判斷當前優化設計變量方案是否達到導彈性能目標最優的條件，若滿足條件，則優化設計過程結束；否則進行新方案優化設計，直到獲得滿足發動機工作約束并使得總體彈道性能最優的發動機的推力調節規律和飛行攻角方案，從而實現吸氣式超聲速導彈飛行軌跡與推力規律一體化優化設計。

圖 2 吸氣式超聲速導彈一體化優化設計框架Fig.2 Integrated optimization design frame of air-breathing supersonic missile

4 彈道優化方法

以某吸氣式超聲速導彈為研究對象，對多階段多約束的飛行軌跡與推力規律一體化優化設計方法進行優化仿真驗證。為了進一步分析巡航飛行方案對彈道性能的影響，分別對上述的5種巡航方案下的爬升段和巡航段彈道進行綜合優化對比仿真。

4.1 仿真條件

吸氣式超聲速導彈狀態變量的初始條件：Ma= 2.6，θ0=0°，L0=0 km，H0=12 km，m0=500 kg；

軌跡優化設計變量的約束條件：0.2 kg/s≤mc≤1.2 kg/s，-2°≤α≤12°；

路徑約束條件：|ny|≤4，q≤150 kPa；

飛行軌跡終端的約束條件：mf=400 kg；

低空低速-等高等速巡航：Ma=3.5，Hcruise=18 km；

低空高速-等高等速巡航：Ma=4.0，Hcruise=18 km；

高空低速-等高等速巡航：Ma=3.5，Hcruise=20 km；

高空高速-等高等速巡航：Ma=4.0，Hcruise=20 km；

不等高不等速巡航：Ma∈[3.5,4.0]，Hf∈[18,20]km。

4.2 仿真結果分析

根據4.1節中的仿真條件，分別對5種巡航方案下的吸氣式超聲速導彈爬升段和巡航段進行一體化優化仿真，表1給出了各巡航方案下的最大射程，對比仿真曲線如圖3～圖10所示。

圖 3 彈道曲線Fig.3 Curves of trajectory

圖 4 馬赫數變化曲線Fig.4 Curves of Mach number

圖 5 攻角變化曲線Fig.5 Curves of angle of attack

圖 6 燃料質量流量變化曲線Fig.6 Curves of fuel flow rates

圖 7 推力變化曲線Fig.7 Curves of thrust

圖 8 比沖變化曲線Fig.8 Curves of specific impulse

圖 9 動壓和法向過載變化曲線Fig.9 Curves of dynamic pressure and normal overload

圖 10 余氣系數和靜壓裕度變化曲線Fig.10 Curves of excess coefficient and static margin表 1 不同巡航方案下的最大射程Table 1 Maximum range of different cruise schemes

方案12345射程/km288.84172.15310.31188.51348.38

表1為各巡航方案下的最大射程對比值，將方案1與方案2(方案3與方案4)進行對比可得出：對于該吸氣式超聲速導彈而言，在高度為18～20 km和速度為Ma=3.5～4.0的巡航飛行包絡內時，同一巡航高度下，巡航速度越低，射程越大；方案1與方案3(方案2與方案4)對比可看出，在相同的巡航速度條件下，巡航高度越高，射程越大。若采用等高等速方案巡航，高空低速-等高等速巡航的射程最大為310.31 km，相比于各等高等速巡航方案下的最大射程，不等高不等速巡航方案的射程為348.38 km，射程提高了約12.3%。

從圖3和圖4可看出，相比于方案1的飛行彈道，方案2爬升段的飛行速度高，飛行高度低，使得氣動阻力大，造成較大的能量損耗，使得發動機性能浪費，進而導致射程能力下降。方案4相比于方案3的射程小的機理與上述相同。而方案5相比于其他方案，爬升段飛行時速度較低，飛行高度較高，阻力做功的能量損耗低，這種爬升方式能夠有效地增加導彈的飛行射程。

從圖8可看出，對于巡航段的飛行彈道，不等高不等速巡航方案相比各個等高等速巡航方案，通過協調高度和速度的變化規律，沖壓發動機的比沖Isp較大，使得發動機的工作效率較高，節省燃料，有利于增加導彈的射程能力。從狀態量的變化曲線可看出，優化后的狀態量在爬升段和巡航段的轉接點處是連續的，從而說明引入連接點約束處理多階段優化問題方法的正確性。

從圖5～圖7可看出，各方案下的攻角曲線變化差別不大，且均小于4°，保證了吸氣式沖壓發動機具有較好的進氣狀態，而推力的變化趨勢與質量流量的變化趨勢基本一致。由此可看出，相比于攻角對推力的影響，質量流量對推力的影響較大。圖6中的等高等速方案下的燃料質量流量變化曲線在爬升段與巡航段的轉接點有一個突降，這是因為吸氣式超聲速導彈高空的氣動阻力較小，需減小發動機推力以保持等速巡航，這也使得吸氣式發動機的余氣系數和靜壓裕度(圖10)出現突變。

由圖9和圖10可看出，過程約束變量動壓、過載、余氣系數和靜壓裕度均滿足設計約束。

5 結論

(1)針對吸氣式超聲速導彈發動機與飛行軌跡的耦合特性，將沖壓發動機推力規律與彈道優化協調起來，建立了雙控制變量及多階段多約束的軌跡優化模型，利用hp自適應偽譜法構造了一種較為通用的一體化優化求解策略，以射程最大為目標函數，并對各巡航方案下的吸氣式超聲速導彈的爬升段和巡航段彈道進行了綜合優化設計，仿真結果驗證了該方法在解決多階段多約束軌跡一體化優化問題上的有效性以及優化模型的合理性。

(2)為充分發揮沖壓發動機性能，從增加導彈射程的角度，吸氣式超聲速導彈在高度為18～20 km和速度為Ma=3.5～4.0的包線內等高等速巡航飛行時，對于相同的巡航高度，巡航速度越低，射程越遠；在同一巡航速度下，巡航高度越高越有利于增加射程。

(3)對于給定的飛行包絡內，采用不等高不等速巡航方案，導彈的最大射程為348.38 km，相比于等高等速巡航方案的最大(高空低速-等高等速巡航)射程310.31 km，射程提高了12.3%。

(4)對于采用此種氣動布局和沖壓發動機特性的這類飛行器，從增加射程能力角度，在爬升段應盡快拉升高度，再實現加速到巡航段工作需求的馬赫數和高度，以降低低空阻力做功能量損失的影響；在巡航段采用不等高不等速的設計方案，保證沖壓發動機始終以大比沖性能進行飛行，使得整段彈道的發動機的工作效率較高，阻力做功能量損失小，從而增加導彈的射程能力。

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(編輯：呂耀輝)

Trajectory optimization design and analysis for air-breathing supersonic missile

MING Chao1,SUN Rui-sheng1,LIANG Zhuo2,BAI Hong-yang1

(1.School of Energy and Power Engineering, NUST, Nanjing 210094, China;2.China Academy of Launch Vehicle Technology,Beijing 100076,China)

In order to take advantage of the high performance of the air-breathing supersonic missile, the cruise scheme was investigated. Considering the strong coupling between the air-breathing ramjet and flight profile, a multiple phases and multiple constraints trajectory optimization model was established with double optimization design variables composed of angle of attack and fuel flow rate, and a trajectory and ramjet integration optimal design method was proposed. The climb and cruise trajectory were optimized synthetically by selecting the maximum range as the performance index. Moreover, the performances of trajectory under different cruise schemes were mainly analyzed. The simulation results show that the proposed method is effective in solving the optimization design problem with multiple constraints and phases for air-breathing supersonic missile. In term of this missile, the cruise velocity should not be too high, and it is conducive to increase range at high altitude. The maximum rang of the cruise scheme of non-constant altitude and non-constant velocity is improved by 12.3% in comparison to the cruise scheme of constant altitude and constant velocity. The research results can provide reference for overall design of the air-breathing supersonic missile.

air-breathing supersonic missile；multiple phases and multiple constraints；cruise scheme；integral optimization design

2015-11-18；

2015-12-15。

國家自然科學基金NSAF聯合基金(11176012)；江蘇省普通高校研究生科研創新計劃工程(KYLX15-0394)。

明超(1989—)，男，博士，研究方向為先進彈道優化理論與控制技術。E-mail：nust802mc@126.com

孫瑞勝(1976—)，男，副教授，研究方向為導彈制導與控制技術。E-mail：srscom@163.com

V412

A

1006-2793(2016)06-0833-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.06.017