Gough-Stewart并聯機構無奇異位置路徑規劃

李保坤， 韓迎鴿， 郭永存， 曹 毅， 王成軍

(1. 安徽理工大學 機械工程學院， 安徽 淮南232001；2. 安徽理工大學 機械工程博士后科研流動站， 安徽 淮南232001；3. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；4. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

Gough-Stewart并聯機構無奇異位置路徑規劃

李保坤1，2， 韓迎鴿1， 郭永存1， 曹 毅3，4， 王成軍1

(1. 安徽理工大學 機械工程學院， 安徽 淮南232001；2. 安徽理工大學 機械工程博士后科研流動站， 安徽 淮南232001；3. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；4. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

奇異位形嚴重影響并聯機器人機構的性能，有必要在獲得機構奇異位形分布規律基礎上進一步探討機構的奇異規避問題.主要研究六自由度Gough-Stewart并聯機構的奇異軌跡幾何性質和無奇異路徑規劃.構建機構位置奇異軌跡方程，并指出機構位于一系列動平面上的位置奇異軌跡均為具有明顯幾何性質的二次曲線.基于上述奇異軌跡幾何性質，當給定起始點和目標點時，給出機構無奇異運動路徑存在與否的一般性判別方法；若存在無奇異運動路徑，進一步給出機構位于動平面上的無奇異路徑規劃具體實現方法；以數值實例驗證了上述方法的有效性.研究成果對并聯機器人機構的奇異規避問題研究具有重要的理論意義和實際參考價值.

并聯機構； 奇異位形； 幾何性質； 路徑規劃； 奇異規避

六自由度Gough-Stewart并聯機器人機構已被應用于并聯機床、微操作機器人、空間對接機構模擬器等多個高精技術領域[1].其空間多環并聯運動鏈屬性，決定了該類型機構存在復雜的奇異位形.并聯機器人機構若處于奇異狀態，機構將嚴重失穩、失控甚至被損壞，因此，有必要在探索得到并聯機器人奇異位形分布規律的基礎上進一步研究如何規避奇異.對于并聯機器人來說，規避機構奇異位形的一個重要方法是增加冗余驅動[2-5].但對于六自由度的Gough-Stewart并聯機器人機構，一般采用添加相同的冗余分支，由于被動關節轉角及分支桿之間的干涉限制，會帶來機構控制的復雜性，并且會進一步限制機構的工作空間.另一個規避奇異的有效方法便是利用路徑規劃來避免奇異位形，即基于任務空間計算出預期的運動軌跡，對其整個工作過程實施無奇異的路徑規劃，以保證機器人在整個任務操作過程中，機構不會出現奇異位形.文獻[6]將并聯機構的一系列奇異點看成是工作空間內的障礙物，提出利用一種局部避障算法來避開機構奇異點.任意給定起始點和目標點，文獻[7]給出了一種能夠有效地規避并聯機構奇異位形的軌跡規劃算法，但沒有給出并聯機構奇異軌跡分布性質以及無奇異路徑存在與否的具體判別方法.白志富和陳五一[8]研究了不同位置正解之間的無奇異連接路徑問題，指出如果機構的2個正解位形對應的雅可比矩陣行列式的值符號相反，則一定不存在無奇異路徑能將這2個位形連接，如果2個雅可比矩陣行列式值同時為正或同時為負，則需要依賴于機構奇異軌跡分布情況進行判定.目前已產生多種奇異位形的判別方法，主要有代數法[9-14]、線幾何及螺旋理論法[15-19]以及其他各種方法[20-23]等.其中，代數法能夠掌握機構奇異軌跡在機構位形空間內的分布情況，從而為進一步研究基于軌跡規劃方法的奇異規避研究提供必要的依據.Bandyopadhyay等[12]和Huang等[13]通過建立機構的雅可比矩陣，分別研究了Gough-Stewart并聯機構位于Z截面和θ截面上的奇異軌跡幾何性質及其分布情況.

本文在利用代數法得到Gough-Stewart并聯機器人機構位于給定姿態時的奇異軌跡方程以及奇異軌跡幾何性質基礎上，得到機構位于給定姿態時的動平面上無奇異路徑規劃方法.

1 奇異軌跡及其幾何性質

機構動、定平臺分別為2個半規則正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6，6個支鏈BiCi均通過SPS或SPU支鏈相連.點Bi和點Ci分別為動平臺和定平臺與各支鏈連接的鉸接點，點P和點O分別為六角動平臺和六角定平臺的幾何中心點，Aj(j=1， 3， 5)為六角定平臺長邊延長線的交點，βm和βb分別為動平臺和定平臺對應邊的中心角，Rm和Rb分別為動平臺和定平臺的外接圓半徑.Gough-Stewart并聯機構的結構簡圖如圖1所示.

圖1 Gough-Stewart并聯機構的結構簡圖Fig.1 Schematic of the Gough-Stewart parallel mechanism

在動、定平臺上分別建立動坐標系P-xyz和固定坐標系O-XYZ.根據坐標變換法則，不難得到Bi在固定坐標系中的位置矢量Bi(i=1， 2， …， 6)，Ci在固定坐標系中的位置矢量Ci(i=1， 2， …， 6).將它們代入機構的雅可比矩陣[1]

(1)

式中：

雅可比矩陣行列式為零或矩陣條件數為無窮大，機構處于奇異位形狀態[1].

假定機構的姿態參數給定，令上述雅可比矩陣(1)行列式為零[14]，便可得到機構姿態給定時位置位于定坐標系O-XYZ中的奇異軌跡一般符號表達式：

f1Z3+f2XZ2+f3YZ2+f4X2Z+f5Y2Z+

f6XYZ+f7Z2+f8XZ+f9YZ+f10X2+f11XY+

f12Y2+f13Z+f14X+f15Y+f16=0，

(2)

式中：fi(i=1， 2， …， 16)是姿態參數以及機構構型參數βm，βb，Rm，Rb的顯式表示.從式(2)可以看出，式(2)是關于機構3個位置參數X，Y，Z的三次多項式，位置參數X，Y的最高次數均為2，位置參數Z的最高次數為3.

ZYZ-歐拉角(φ，θ，ψ)可以直觀地描述動平面和基平面的交線(脊線)位置，故為方便得到機構的位置奇異軌跡性質，在此利用ZYZ-歐拉角(φ，θ，ψ)描述動平臺的姿態.

若θ≠0時，機構在給定姿態參數(φ，θ，ψ)時的位姿如圖2所示.將定平臺所在平面O-XY定義為“基平面”，將動平臺所在平面P-xy定義為“動平面”，動平面P-xy和基平面O-XY之間的夾角為θ.稱基平面O-XY與動平面(動平面P-xy)的交線UV為“脊線”，W，V，U三個點分別為脊UV與直線C1C2、直線C3C4、直線C5C6的交點.V-xy為建立在動平面上的隨動坐標系，其原點V在定坐標系O-XYZ中的坐標記為(Xv，Yv).記點P在隨動坐標系V-xy中的坐標為(x，y)，則其與定坐標系中坐標(X，Y，Z)關系為：

(3)

將式(3)代入式(2)并考慮到θ≠0便可得到動平面上的奇異軌跡在隨動坐標系V-xy中的方程：

ax2+2bxy+2dx+2ey+f=0.

(4)

式(4)便是機構在隨動坐標系V-xy中描述的、位于特征平面上的二維位置奇異軌跡方程.關于動平面上位置奇異軌跡詳細推導過程以及動平面上的位置奇異幾何性質具體分析，請參閱作者前期研究成果文獻[24]，限于篇幅，這里直接給出2個重要的推論.

圖2 機構處于給定姿態時的位形Fig.2 Pose of the mechanism for a constant-orientation

推論1對于六自由度Gough-Stewart并聯機器人機構，若機構在某個動平面上的位置奇異軌跡形式是一對雙曲線，那么，其中一條漸近線一定與V-xy坐標系的y軸(脊線)相平行，并且這2條漸近線的方程均可以由形如式(5)與式(6)所示的方程描述：

x=-e/b，

(5)

abx+2b2y+2bd-ae=0.

(6)

推論2對于六自由度Gough-Stewart并聯機器人機構，若機構在某個動平面上的位置奇異軌跡形式為一對相交直線，那么，該對相交直線的其中一條直線一定與V-xy坐標系中的y軸(脊線)相平行，另外，這2條相交直線在V-xy坐標系中的方程表示形式與上述雙曲線的2條漸近線在V-xy坐標系中的方程表示形式一定相同.

通常情況下，式(2)所示的三次多項式表示的三維奇異軌跡曲面與一般傾斜平面的交線也是一個以三次多項式表示的曲線.然而，機構位于動平面上的奇異軌跡是如式(4)所示的一條具有明顯幾何性質的二次曲線.如文獻[8]所述，機構無奇異路徑存在與否的判定需要依賴于機構奇異軌跡分布性質的判別，上述奇異軌跡幾何性質極大地方便了對機構實施位于動平面上的無奇異運動路徑規劃.

2 無奇異路徑規劃

2.1 無奇異路徑存在的條件

眾所周知，機構在三維空間進行連續的位姿變換時，機構位姿參數一定是連續變化的，這樣機構的雅可比矩陣行列式值也必將是連續變化的.記起始點Pi與目標點Pf對應的雅可比矩陣分別為Ji，Jf，若det(Ji)×det(Jf)≤0，由函數的中值定理可知，欲使機構從Pi運動到Pf，機構必然會通過奇異點；若起始位置Pi和目標位置Pf所對應的機構雅可比矩陣行列式值同號，即det(Ji)×det(Jf)>0，則Pi與Pf之間無奇異路徑的存在與否，需由起始點Pi、目標點Pf以及奇異軌跡曲線三者之間的相對位置關系確定.機構在任意截面上的奇異軌跡將該截面內的工作區間分成若干不連通的區域，如圖3所示.若Pi與Pf分別位于不同區域內，則Pi與Pf之間不存在無奇異路徑；反之，若Pi與Pf位于同一區域內，則Pi與Pf之間存在無奇異路徑.

圖3 動平面上的若干區域Fig.3 Several zones in the moving plane

在機構動平面上建立如圖2所示動坐標系V-xy，在該坐標系下建立直線PiPf方程，并與動平面上的位置奇異軌跡曲線方程式(3)聯立得方程組：

(7a)

ax2+2bxy+2dx+2ey+f=0.

(7b)

設以上方程組的實數解分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(只有1個實數解時可以看成具有2個相等的實數解).這2個實數解也即直線PiPf與動平面上位置奇異二次曲線的交點坐標.如式(7b)所示的動平面上位置奇異軌跡曲線包括：1對雙曲線、1對相交直線、1條拋物線、1對平行直線或1條直線[24].

由動平面上的位置奇異軌跡幾何性質可以看出，在det(Ji)×det(Jf)>0的情況下，令

δ=-b2≤0， Δ=-ae2-b2f+2bde.

是否存在無奇異路徑，根據以下情況進行判別：

1)當δ=0且Δ≠0時，動平面上的位置奇異軌跡曲線為拋物線，此時，Pi與Pf一定位于奇異軌跡分隔的同一區域內，如圖4所示，Pi與Pf之間一定存在無奇異路徑.

圖4 拋物線情況Fig.4 Case of parabola

2)當且僅當(φ，ψ)=(±90°，=±90°)時，δ=0且Δ=0，此時，動平面上的位置奇異軌跡曲線為一對平行直線或一條直線，并且上述的一系列直線均與V-xy坐標系中的y軸相平行，此時只要

min(x1，x2)

或

x1，x2

或

xi，xf

如圖5所示，Pi與Pf之間一定存在無奇異路徑.

圖5 平行直線情況Fig.5 Case of parallel lines

3)當δ<0時，動平面上的位置奇異軌跡曲線為一對雙曲線或一對相交直線.

①若min(xi，xf)

圖6 min(xi， xf)

②若x1，x2?R，也即直線PiPf與奇異軌跡無交點，如圖7所示，此時一定存在無奇異路徑.

圖7 x1， x2?R情況Fig.7 Case of x1， x2?R

③若min(xi，xf0(直線PiPf與奇異軌跡的交點P1,P2位于直線x=e/b同側)，如圖8所示，則Pi與Pf之間存在無奇異路徑.

圖8 min(xi， xf)0 情況Fig.8 Case of min(xi， xf)< x1， x2 0

④若min(xi，xf)

圖9 min(xi， xf)

根據以上所述，動平面上任意兩位置點之間無奇異路徑的存在與否的具體判別方法如圖10所示.

2.2 無奇異路徑規劃的具體實現方法

在動坐標系V-xy中，當滿足存在無奇異路徑的前提時，若有

(8)

圖10 無奇異路徑存在與否的判別Fig.10 Existence discrimination of singularity-free path

此時直線段PiPf便可作為無奇異路徑；若不滿足式(8)，則需要以曲線路徑形式繞過奇異點，如圖5所示.直線段PiPf與奇異軌跡曲線交點分別為P1，P2，將直線段P1P2分成若干離散點，并將離散點記為(x0i，y0i).過任一等分點(x0i，y0i)作平行于y軸的直線交奇異軌跡曲線于點(xsi，ysi)，根據動平面上的位置奇異軌跡幾何性質可知，若將動平面上的位置奇異表達式看成是y關于自變量x的函數方程，則該函數一定為凸函數或是凹函數，故令

(9)

式中：sign——將數值取符號值，若結果為正值，取數值“1”，結果為負數，取數值“-1”，結果為0，取數值“0”；Δx，Δy的具體數值一般根據機構的結構尺寸和軌跡精度要求設定.

由動平面上奇異軌跡方程式(4)得

(10)

故有

圖11 曲線無奇異路徑Fig.11 Singularity-free curve path

以上討論的是θ≠0時相互平行的動平面上的無奇異路徑規劃問題.若θ=0，此時主要分為3種情況：1)Z=0時，機構動、定平臺相互重合，此時位置參數(X，Y)無論取何值，機構一定處于奇異位形；2)Z≠0時，當且僅當(φ+ψ)=±90°，機構發生奇異位形.當機構位于給定姿態時，上述2種情況下，機構均處于奇異位形，起始點和目標點均處于奇異位形狀態，且這樣的兩位置點之間不存在任何無奇異路徑連接；3)Z≠0時，且(φ+ψ)≠±90°，任意給定目標點和位置點，連接兩位置點之間的任意路徑均為無奇異路徑.

3 數值實例

機構構型參數給定為Rb=2 m，Rm=1 m，βb=105°，βm=75°，不考慮機構結構約束限制，給定姿態參數(φ，θ，ψ)=(60°， 30°，-45°)，機構在動平面上的起始點Pi和目標點Pf在坐標系V-xy中的位置參數如表1所示.要求判斷Pi與Pf之間是否存在無奇異連接路徑，若存在，要求規劃兩點之間的無奇異運動路徑.

表1 位置參數

路徑規劃是機器人機構設計及應用過程中值得關注的問題，優良的運動路徑能夠使機構滿足任務要求的同時，也可以優化機構的某些性能指標，例如時間最優[25]、能耗最優[26-27]、驅動力/力矩最優[5]等.當機構位于奇異位形附近時，機構的雅可比矩陣為病態矩陣，其逆矩陣的精度降低，此時，機構輸入-輸出運動關系嚴重失真[1].雅可比矩陣的條件數可以定量描述矩陣求逆的精確度和穩定性，并衡量機構運動的失真程度以及無奇異路徑規劃的有效性.

具體方法如下所述.

計算起始點和目標點分別對應的雅可比矩陣行列式值，如表2所示.

表2 起始點和目標點的雅可比矩陣行列式

Table 2 Determinants of the Jacobian matrix of the start position and object position

實例Xv起始點(xi,yi)雅可比矩陣行列式det(Ji)目標點(xf,yf)雅可比矩陣行列式det(Jf)11m149.643290188519-66.271339642730821m27.91244348064655.1412110112912

根據圖10所示是否存在無奇異路徑判斷方法，顯然，實例1中，由于起始位置點和目標位置點行列式值異號，因此，不存在無奇異位置運動路徑連接這2點.圖12所示為起始位置點與目標位置點在動平面上的位置，可以看到，起始位置和目標位置確實被奇異軌跡“隔斷”，這2點之間的確不存在無奇異路徑.

圖12 實例1的起始點和目標點位置Fig.12 Initial position and final position of example 1

對于實例2，起始位置點和目標位置點行列式值均同號，故應根據圖10流程圖繼續判別是否存在無奇異路徑.δ=-603.434 48，Δ=-34 165.755 97；解方程組(6)可得到動坐標系V-xy下，

(x1，y1)=(0.756 73 m， 4.756 73 m)，

(x2，y2)=(-3.298 92 m， 0.701 08 m)，

(x1，y1)≠(x2，y2)，不滿足

min(x1，x2)

圖13 實例2的直線路徑規劃Fig.13 Line path of example 2

又-e/b=-0.955 478，得(x1+e/b)×(x2+e/b)>0，故存在無奇異運動路徑.根據以上所述，應利用圖5所示以曲線路徑形式規劃并利用式(9)計算無奇異路徑點.否則，若將起始點(-4 m， 0 m)和目標點(2 m， 6 m)以直線段形式連接，如圖13所示，將該位置路徑離散化，對應的雅可比矩陣條件數隨離散點變化如圖14所示，可以看到，以直線路徑連接起始點和目標點時會存在奇異點，故應基于式(8)并如圖15所示對機構實施無奇異路徑規劃.

圖14 離散點的條件數Fig.14 Condition number for discrete positions

圖15 實例2的無奇異路徑規劃Fig.15 Singularity-free path of example 2

圖15為利用如圖11所示的曲線路徑規劃得到的無奇異運動路徑，此處，Δx=Δy=0.5 m，機構雅可比矩陣條件數變化如圖16所示.可以看到，重新規劃的運動路徑順利避開了奇異點.

圖16 無奇異路徑的條件數Fig.16 Condition number for singularity-free path

需要指出的是，論文中對圖16和圖14進行的比較，是為了闡明上述無奇異路徑規劃的有效性.但由于論文選取的路徑起始點和目標點距離機構奇異位形較為接近，故圖15所示的無奇異路徑軌跡對應的條件數(如圖16所示)仍然很大，但重新規劃后的條件數相比未規劃之前有了極大改善，說明了上述無奇異路徑規劃算法是有效的.

4 結 論

1) 基于Gough-Stewart并聯機器人機構奇異軌跡幾何性質，給出機構的無奇異路徑存在與否的識別以及無奇異路徑具體規劃方法.該方法不依賴于動平面上奇異軌跡分布情況的觀察，任意給定兩位置點，利用相關解析公式并編制相應的計算機程序即可自動判別無奇異運動路徑的存在性，并得到具體運動路徑，為進一步擴展至三維空間內的無奇異運動路徑規劃奠定了良好的前期基礎.研究成果對其他類型并聯機器人機構基于軌跡規劃的奇異規避問題研究亦具有重要的參考價值.

2) 論文探討的動平面上無奇異路徑的具體規劃方法具有一定的實際應用價值，例如在將機構應用于傾斜平面上的多孔鉆、銑削、裝配等順序動作時，就需要對機構位于動平面上的位置變換實施無奇異路徑規劃.

3) 機器人機構的路徑規劃與其作業任務要求、機械結構等相關，針對不同的軌跡運動要求，路徑規劃也有不同的優化指標.論文僅以改善機構的雅可比矩陣條件數為目標對機構實施路徑規劃以規避奇異位形，暫未考慮機構的實際結構約束條件影響.作者下一步的研究目標將在考慮機構結構條件約束條件下，以時間最優、能耗最優以及驅動力/力矩最優等為目標，對機構實施無奇異路徑規劃.

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Singularity-free position path planning of the Gough-Stewart parallel mechanism

LI Bao-kun1，2， HAN Ying-ge1， GUO Yong-cun1， CAO Yi3，4， WANG Cheng-jun1

(1. School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China;2. Postdoctoral Research Station of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan 232001， China;3. School of Mechanical Engineering， Jiangnan University， Wuxi 214122， China;4. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration， Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240， China)

Singular configuration seriously affects the performance of the parallel robotic mechanisms. It is essential to further investigate the singularity-avoidance problem on the basis of obtaining the singularity distributing regularity of the mechanism. The geometric property of the singularity-locus and the singularity-free path planning of the Gough-Stewart parallel mechanism were explored. The position-singularity locus equation of the mechanism was constructed and the case that every singularity locus in the series of the moving plane was a quadratic curve with obvious geometric property was pointed out. Based on the geometric property of the singularity locus， the general discriminating method for the presence and absence of the singularity-free motion path was represented when the starting point and the object point were given. When the singularity-free motion path was existent， the implemented method for the singularity-free path was provided. The validation of the aforementioned methods was tested and verified by applying numerical examples. The investigation has important theoretical significance and practical reference value for the exploration of the singularity-avoidance of the parallel robotic mechanisms．

parallel mechanism; singular configuration; geometric property; path planning; singularity-avoidance

2016-03-23.

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國家自然科學基金資助項目 (51605006)；機械系統與振動國家重點實驗室開放課題(MSV201407);安徽省自然科學基金資助項目 (1308085QE78)；安徽省高等學校自然科學研究基金重點資助項目(KJ2015A121).

李保坤(1982—)，男，安徽舒城人，副教授，博士，從事機構學與機器人技術等研究. 通信聯系人：韓迎鴿(1978—)，女，陜西興平人，副教授，博士，從事機器人學與控制理論等研究，E-mail：yghan@aust.edu.cn.http://orcid.org//0000-0001-5413-4061

10.3785/j.issn. 1006-754X.2016.06.004

TH 112

A

1006-754X(2016)06-0544-09