數學學習應順應學科結構自然生長

郜曉定

所謂結構，是指組成整體的各部分的搭配和安排。數學以邏輯為特長，以系統為特征，數和形的演繹顯示著數學嚴謹的結構。但是，現實教學中常見各種“碎片”式的數學教學，造成學生只見樹木不見森林，知識點累積得越多越容易迷失其中。皮亞杰的“認知結構”理論和列維的結構主義研究表明數學學習應該關注數學本身，關注數學的結構化。真正意義上的數學學習應該是順著數學本身的結構自然生長，讓學習真正發生，獲得結構化的思維方式，感悟數學的思想方法。

一、縱橫融通，把握結構之“形”

數學的結構是內隱的。我們所見的教材顯現的總是課時分明的教學內容，教師應該認真研讀教材，不但研讀本課時的教學內容，還要研讀與之相關的其他內容，挖掘文本之外的暗線，深刻把握知識內部的關聯。在此基礎上研究學生，了解學生已有的認知結構，從學生的角度出發幫助學生在已有認知結構之上讓知識鏈伸長、分支，建構知識網，把握數學結構之“形”，讓學生學有結構的數學。

1.縱向融通，“串”起來

任何一個數學知識點都不可能獨立存在，往前追溯會有其生長點，往后發展會有其延伸點。教師如果能引導學生認識到知識點的前后聯系，明白其發生與發展的過程，了解其在知識鏈中的結構關系，那么新知識就會自然納入原有知識結構中，串成整體的知識鏈。

如對分數的認識，教師要引導學生邊學邊“串”：三年級上冊學習把一個物體平均分成幾份，直觀認識幾分之一和幾分之幾；三年級下冊學習把一些物體組成的整體平均分成幾份，認識對應的分數；五年級下冊學習把單位“1”平均分成若干份，認識幾分之幾。每一階段都承上啟下，從直觀逐步抽象，完成分數意義的建構。緊接著，運用分數的意義可以理解分數的基本性質，而運用分數的基本性質可以將分數約分或通分，約分或通分后可以順利地比較分數大小和進行分數之間的運算，而分數之間的運算直接為解決問題服務。學生如果能清晰地明了這些內容之間的關系，那么和分數相關的知識自然就會形成有序的整體，而不是散落的碎片。整體的建構同時能促進學生的理解，使學生明白每一項內容的價值和作用。

2.橫向融通，“合”起來

有些數學內容從表面看關聯并不明顯，但如果深入進去仔細分析，就能發現它們內部隱藏的聯系，而這些聯系恰恰能幫助學生透過現象理解其本質。在數學教學中，教師要帶領學生將不同的學習內容進行比較分析，尋找它們之間的共性，這樣，原本割裂的內容就能通過一條暗線統一起來。

如商不變的規律、分數的基本性質、小數的性質、比的基本性質這些內容散落在各個年級的各個單元，如果結合分數、小數、除法、比的互化，引導學生把它們放在一起比較，學生就不難發現它們是相通的、是一致的。從本質上看它們可以合成同一種性質，不同的數學表示才衍生出名稱不同的性質和規律，由其中某一個性質我們能順利地推想出其他的幾個性質。

3.多向融通，“連”起來

數學結構是奇妙的，龐大的數學體系猶如一張復雜的大網，節點處通向四面八方。學生學習數學的過程也是將數學知識相連、相整合的過程。某一學習內容和其他內容相連的節點越多，建構的認知結構就越牢固，越具連續性和發展性。

如認識百分數，男生人數是女生的200%。這里的200%和以前的哪種說法意思一樣？（2倍）王大伯家今年種的糧食比去年增產了10%。這里的10%可以換作什么？（■、一成）這樣溝通了百分數和分數、倍數、成數之間的聯系，使學生認識到分數、成數、百分數、倍數都可以表示兩個量之間的關系，百分數是常用的方式之一。如此，學生就能將百分數順利納入到原有認知結構中，并與相關概念建立聯系，既能入乎其內，又能出乎其外。

二、反思遷移，領會結構之“神”

數學內部的結構是固有的，但是這些固有的結構如果硬生生地填進學生的頭腦，它依然是僵化的。教學的最終目標是促進學生自身的發展，數學學習不應止步于掌握數學內部的結構，而應該通過結構化的教學促成學生進行結構化的學習，通過結構化過程的展開培養學生結構化的思維方式，進行結構化的數學探究，提高學生的數學學力。

1.展開有結構的思維

思維能力的培養是在具體的教學過程中潛移默化進行的，教師應該通過結構化的教學促成學生結構化思維方式形成，發展學生的數學思考，培養學生理性的思維方式，這是學生終身受用的。

“角的度量”是四年級教學的難點之一，通常在教師口干舌燥地講了量角的操作方法后學生依然不得要領，常常把量角器上內圈讀數與外圈讀數混淆。究其原因，這和教學方式有關，直接講授操作方法，學生缺乏思維的參與，不知其原因，機械操作必然錯誤百出。

筆者曾這樣嘗試著進行結構化教學。

1.從厘米尺量長度開始。（二年級）

認識1厘米后，教師用厘米尺量一支蠟筆的長度，蠟筆長幾厘米？你是怎么看出來的？為什么用尺可以量出蠟筆的長度呢？（尺上有許多1厘米，將蠟筆對著尺比，蠟筆和尺上的8厘米一樣長，所以蠟筆長8厘米）

你能量出這條線段的長嗎？（學生自己量）

交流：你是怎么量的？（學生量法五花八門，有從0刻度開始，有從1開始，有從其他刻度開始……）

為什么說它的長度是4厘米？（和尺上4個1厘米一樣長）

比較多種量法，你覺得從哪個刻度開始量能很快知道它的長度？為什么？

這樣教學使學生明白測量長度的本質是將物品和尺上的標準長度比較，里面包含了幾個1厘米，就是幾厘米長。

2.用量角器量角。（四年級）

認識角后，介紹角的單位：度（°），認識1°的角。怎樣知道一個未知角的度數呢？（用1°的角去比，包含幾個1°的角就是多少度）

演示將若干個1°的角拼在一起形成量角器的過程，量角器可以量出角的度數嗎？為什么？

試著用量角器量出一個角的度數。交流：你是怎么量的？（有的學生并沒有從0刻度量起）為什么量法不同，卻都能量出角的度數？（只要看這個角里面包含了幾個1°的角）怎樣量能很快知道角的度數呢？

3.反思

量角度和量長度有相同的地方嗎？（都是將測量對象和標準單位比較，里面包含了幾個標準單位就是要測量的數據）

以上教學過程雖然跨越兩個年級，但在“測量”的統領下自然形成一個整體。相信經歷這樣的學習過程學生一定不會再糾纏于內圈和外圈讀數，即使是一個破損的量角器也一定能量出一個角的度數。更為重要的是學生以后對于其他量的測量一定能形成這樣的結構思維：測量對象是什么？標準單位是什么？測量對象中包含了多少個這樣的標準單位？建立在這樣的結構思維之上，還需要擔心不會操作嗎？

2.嘗試有結構的探索

學生的數學學習是無止境的，已有知識的掌握是探索未知的基礎，已有經驗的積累也是以后探究的前提。在同一類數學內容的學習過程中教師帶領學生采用同樣的方式，經歷類似的過程，學生就能明了探究方法的結構。

如“探索規律”的教學，教師引導學生按“觀察→猜想→驗證→概括 →反思→運用”的步驟展開探索活動，學生以后探索其他數學規律時便會自覺進行方法結構的遷移，獨立進行數學研究和探索。從立體圖形的學習中學生會積累“研究特征→表面積→體積→應用”的學習經驗。從相關統計內容的學習中認識“收集數據→整理數據→選擇合適的圖表分析數據→預測或決策”的統計步驟。過程與方法的結構幫助學生指明途徑和方向，能夠使學生在以后的學習中主動遷移，在已有經驗的基礎上獨立開展學習探索活動，學生獲取的不僅僅是知識本身，更是學習自主性的加強和探究新事物、研究新問題能力的提升。

三、凸顯本質，感悟結構之“魂”

數學思想方法和數學的理性精神是數學的靈魂，有魂的數學教學才是有生命的，才能承載促進學生發展的重任。結構化的數學教學，教師要引導學生觸摸數學的靈魂，使學生感受數學的魅力，享受智趣的快樂。

1.體悟結構蘊藏的數學思想方法

在結構化的教學中，數學思想方法通常蘊藏在數學知識形成、發展和應用的過程中，學生只有經歷了結構化的學習過程才能逐步感悟數學思想方法。

如學習小數除法，需要經歷把小數除法轉化為整數除法的過程；學習異分母分數加減法需要經歷把異分母分數轉化為同分母分數的過程；學習平行四邊形、三角形、梯形、圓形面積公式時需要經歷把它們互相轉化，實現同化和順應，從而建構學生的認知結構，這些結構的背后是化歸思想的統領。認識分數、小數、百分數時借助圖形幫忙；認識乘法、學習分數乘分數時用圖形表示算式；解決問題時用線段圖表示數量關系，這些學習過程將抽象的數學語言與直觀的圖形結合，在數與形之間架設起聯系的橋梁，促進形象思維和抽象思維的協調發展，貫穿其中的是數形結合的思想。

小學數學教學中蘊藏的數學思想方法還有分類思想、模型思想、函數思想等。在教學中，如果教師能引導學生從結構化的教學過程中凝練提升，學生就能感悟數學思想方法的價值，并用這些數學思想方法指導以后的數學學習。

2.感受結構背后的數學理性精神

克萊因曾經說過：“數學是一種理性精神，它使人類的思維得以運用到最完善的程度。”數學的理性精神主要體現在求實、求真、求簡、求新。數學語言的簡練、精確、概括；分數和小數的化簡；運算中的簡便計算，這些無不彰顯數學化繁為簡的特質，數形合一、萬物皆數。在學習“釘子板上的多邊形”時教師帶領學生共同觀察、提出猜想、反復驗證，不斷修正發現，這種一絲不茍追求真理的的態度不正是數學求真的精神所在嗎？透過數學本身的知識結構和教與學的結構化，數學的理性精神會根植于學生的頭腦和血脈中。它雖然無形，卻具有強大的力量，推動著學生以科學的方法不斷探究新的世界、尋求新的發現、進行新的創造。

基于結構化的數學教學，學生能實現真正的自我建構，讓學生在整體視野下認識數學知識的本質聯系和結構，以全局的視界把握學習內容，體會“會當凌絕頂，一覽眾山小”的感受。基于結構化的數學學習使學生逐步具有結構化的思維方式，積累豐富的探究活動經驗，感受數學的思想方法，體悟數學的理性精神，這些是數學學習帶給學生的寶貴財富。

[責任編輯：陳國慶]