數學教學須處理好內容與形式的關系

吉智深

數學的抽象形式和關系離不開現實世界，數學的符號、公式和體系是人類抽象思維的結果，無法脫離感性事物而獨立存在。例如數和形的概念完全是從現實世界得來的。但同時，“這些形式和關系客觀地具有與內容無關的性質，無關到這樣的程度以致能夠把他們完全從內容中抽象出來”[1]，所以說數學往往被稱為“形式的科學”。小學數學知識雖然比較簡單，但也必須處理好內容與形式的關系，避免數學教學走向兩個極端，一方面，我們應注意分析抽象的數學知識是如何形成和發展的，另一方面，我們也應引導學生理解數學是舍棄了具體現象去研究一般性質的科學，數學抽象的絕對化才是數學的特質。

一、數學的形式結合內容才讓學生獲得數學理解

抽象是數學的特點之一，但“抽象性的接受對人類的心智來說，并不是一件簡單的差事。如果可以選擇的話，人們會在實體和抽象之間選擇前者”[2]。也就說，理解數學抽象這個能力并不是我們與生俱來的，而是在學習過程中艱苦獲得的，這就決定了要理解抽象的數學就必須結合內容。

1.利用相關對象建構來體會符號的意義

數學符號是從客觀事物中抽象出來的，教師經常用數學教具、數學模型及創設的數學情境幫助學生學習與理解數學符號。

比如數字“5”，學生應該先從五個手指、五個蘋果、五片餅干等開始，觀察與思考這些集合之間有沒有共同點，通過教師的引導，學生知道這個叫“五（wǔ）”的語言表達了這些集合的共同點，同時這些共同點也被數字“5”所概括。從此以后，“5”這個符號會存在他們主觀意識之中，并且伴隨他們一生。

為了更好地解決數學問題，有時我們還必須給符號賦予新的內容。學生原來對“=”的理解，就是寫出答案（問題在左、答案在右），而面對利用等式的性質來解方程時，學生就有了認識上的壓力。教師此時就該鼓勵把等號看成天平的支軸，這是給予“=”新的內容，或者讓學生構造出算術等式，如2×6=4×3， 7×2+3-2=5×2-1+6等算術恒等式，讓他們漸漸把“=”作為一個關系的記號，而不是“做某件事的信號”。借助于天平和算術恒等式，讓學生對“=”有了新的認識，從而能把等式的性質和解方程聯系起來。

2.通過具體實驗操作來抓住概念的本質

數學從現實生活中抽象出的那些定義不是為了說明某種東西的存在，而是為了研究這些定義了的東西之間的關系，這幾乎說出了數學概念的本質[3]。

關于質數與合數的概念教學，我國的教材基本上直接給出定義，美國教材在教學質數與合數時，安排學生通過矩形的組合探索一個數是質數還是合數。如探索6是質數還是合數，用6個正方形瓷片組合成盡可能多的矩形。我們可以得到1×6和2×3的兩個矩形。所以，可以說6的因數有1、2、3和6，因此6有4個因數，它是一個合數。只要是質數，它的矩形組合只有唯一模式的矩形排列，只要是合數，它肯定不止一種模式的矩形排列。用擺正方形磁片的方式來學習質數與合數的概念，定義本身與磁片沒有必然的聯系，只是用這種方式來說明質數與合數之間的不同。這種“動手做”看起來是一種實驗，其實是為判斷質數和合數的形式給予了內容上的豐富，形式有了內容，就會加深學生對數學概念的理解。

3.借助物理材料表示來理解計算的原理

把符號表述直接地與學生的非正規知識相聯系的另一種方法是形成實物表示，此類實物表示與作為講授目標的抽象符號和方法有著突出聯系[4]。

像62-45=23這類錯誤已經出現了上千次，為什么總會發生這樣的錯誤，它的根源是學生沒有理解位值原則和減法這兩個抽象的概念，或者說是由于形式與內容（位值原則和減法）的過早分離所產生的。無論是事前的講授還是事后的彌補，都可以借助計數塊來解決這個問題，因為用十進制計數塊明確地表示實物材料的操作與計算算法中的步驟之間是對應的，如圖1所示。

圖1 計數塊操作

解方程有一種方法就是移位法，它是兩邊作同樣運算的簡略。但大多數學生卻認為這兩種方法是不一樣的，在兩邊作同樣的運算時強調了方程的對稱性，而這個強調點在移項時卻沒有。為了改變學生的認識，我們也可以利用天平來說明兩者的一致性。如解方程2x+4=8，可以看作天平的左邊是2x+4，右邊是8，如果在天平的左邊拿走4，為了天平還是平衡的，右邊也必須拿走4，也就是減4，從表面看，左邊“+4”沒有了，右邊多了“-4”，簡看起來就是把“+4”移到右邊變成了“-4”，這就是對移項換號規則的理解。

4.依靠生活經驗遷移來了解知識的發生

學生學習數學新知識之前，他們中的大多數已經儲備了很多生活經驗，其中有的是對理解數學是有很大幫助的。教師可以利用這些經驗，引導學生理解數學知識的發生過程以及孤立的抽象知識之間的連貫性。

除法來源于減法和乘法，從形式上來看，除法是乘法的逆運算。從內容上看除法就是生活中學生熟悉的分物，也就是減法。可以用一個較小的數來分完另一個數，也可以把一個數平均分；可以是等分除，也可以是包含除；可能正好發完，也可能有剩余。比如在計算72÷3時，教師借助學具操作來演示具體的計算過程，先從72中減去10個3，再減去10個3，最后減去4個3，一共減去了24個3。每次減去幾個除法可以不同，計算步驟可多可少，但只要減到余數為0即可，如果減不完，此時的余數一定小于除數，否則，還可以繼續減。雖然用連減的方法得到可能是一個長除法，但實驗證明這種綜合漸進的算法教學策略明顯要優于我們傳統的算法教學，教師也不必一再強調余數一定要比除數小。分物既適用于整數除法，也適用于分數除法。例如4÷■，把4 塊餅分給小朋友，每人■塊，能分給多少人？通過直觀圖，我們一眼就知道4塊餅里面含有8個■塊，這就是說4÷■=8=4×2，顛倒相乘法則由此很容易得出。

二、數學的形式脫離內容才使數學得到廣泛應用

在數學的研究中，我們必須舍棄對象或問題的特定的質的內容，而從純形式的角度去進行研究[5]。正因為數學脫離了內容，僅僅抽取了普遍的性質，所以它的結論才能運用到大量實際情況中去。

1.數學公式（符號）揭示事物本性，促進公式（符號）的使用

數學對象是現實世界的量的關系和空間形式，獲得了事物的一般性質與規律，從而使數學公式（符號）更好地被人們所廣泛使用。

例如，圓的概念是舍棄圓形物的材質、顏色、質量等其他性質，而僅僅從它的空間形式（大小）來考察它。我們研究圓的性質，也是研究一般意義上的圓的性質， 而不是研究某一個人在某一個時候所畫的某個具體的圓。圓的面積等于πr2，因為是探討的一般圓的性質，所以這個公式得到了廣泛的應用，工人、建造師、工程師、物理學家都要利用它來精確計算各類圓形的面積。

2.數學運算超越具體情境，得到同構的世界

數學運算概括了大量的經驗，在抽象的形式中表現出現實世界的那些經常和到處碰到的運算。“算術的應用是因為有了真正的同構”[6]。

弗賴登塔爾舉過兩個應用題：約翰有26顆玻璃彈子，又贏了10顆。現在他有多少顆？屠夫史密斯有26千克肉，他又訂購了10千克肉。現在他有多少千克肉？顯然，小孩世界和屠夫的世界兩者之間存在某種同構，史密斯對應約翰，子彈數對應肉的千克數，贏對應訂購，一切都對應這。如果更仔細地看，這種同構是極其完美的。[6]“26+10= ”在教學時，首先處于具體的情境中，在這個情境中，學生了解了這個式子的含義，如果離開這個背景，這個式子仍然有意義。如果談到應用，它能夠適用于任何情境：26天和10天；16千米和10千米；26次和10次；……事實上，加法不僅僅適用與這種改變型情境，日本學者古藤伶根據學生編寫的應用題，發現加法還適用于并加型、排隊型、逆運算型。并加型：如有紅花5朵和白花3朵，共有多少朵花？排隊型：如一郎排在從前面數是第5位，一郎后面的第3位是二郎，二郎排在由第一位算起的第幾位？逆運算型：如操場上有一些人，走了3人，還有5人，原有幾個人？雖然這些問題與玻璃彈子問題的結構相比不夠完美，但這并不妨礙人們運用加法這種運算來解決更多的實際問題。

3.數學方法擺脫特殊束縛，探尋一般的模式

數學家們并不停止于某個具體問題的解決，而是致力于進一步的思考：在這些看上去并無聯系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論？這些事實能否被納入某個統一的數學結構？[5]

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出“了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程”這一要求。在實際教學過程中，廣大教師對于形如“a-x=b，a÷x=b，其中a，b為常數”的方程有了一些爭議，主要有兩個：一是此類方程是不是簡單方程，二是對于小學生而言，解此類方程是否適宜用等式的性質來解。一些教師認為：此類方程不適宜用等式的性質來解，而應該用算式中各部分間的關系來解。事實上，除了這種方法以外，小學生還會利用已知的數的事實來解形如：12-x=5，15÷x=5的方程，因為知道12-7=5，15÷3=5，他們就很容易解出這兩個方程，如果他們沒有想到這兩種方法，他們還可以用試錯法求出方程的解。從難易程度上來說，此類方程并沒有超出學生的能力，既然學生有多種方法解決此類方程，那還要不要用等式的性質來解呢？回答是肯定的，因為不管是用算式中各部分間的關系來解、利用數的事實解方程還是試錯法，他們都不是解方程的正規方法，雖然它們對于順利過渡到正規解方程的方法是很有幫助的。正規方法有兩個，一是利用等式的性質；二是移項法（其實這兩種方法是一致的）。為什么前面所說的方法不是正規的方法，因為這些方法不能作廣泛的推廣，更多依靠直覺，沒有把方程直接當作一個結構性的對象。正規方法把方程看作代數的符號體系，追求一種統一、可以推廣的解決模式。在解形如“a-x=b，a÷x=b，其中a，b為常數”的方程時，即使學生用其他方法來解，教師也要引導學生來驗證正規方法的正確性，如果不這樣，就會鼓勵學生繞過代數的符號體系而不是把方程直接當作一種結構性的對象。

我們要正確處理好內容和形式的辯證關系，理解兩者在數學發展中所起的重要作用。數學教學過程中要借助內容分析抽象的數學概念是如何形成的、如何發展的，也要注重數學教學活動的最終產物——形式化的概念、思想、方法，因為它體現了數學的精髓與本質。

參考文獻

[1] A.D.亞歷山大洛夫.數學——它的內容，方法和意義[M].北京：科學出版社，2001.

[2] 齊斯·德福林.數學的語言——化無形為可見[M].桂林：廣西師范大學出版社，2013.

[3] 史寧中.數學的抽象[J]. 東北師大學報：哲學社會科學版，2008（5）.

[4] D.A.格勞斯. 數學教與學研究手冊[M].上海： 上海教育出版社，1999.

[5] 鄭毓信.再談“淡化形式，注重實質”[J]. 數學通報，1994（8）.

[6] 弗賴登塔爾.數學教育再探——在中國的講學[M].上海：上海教育出版社，1999.

[責任編輯：陳國慶]