改進GM(1,1)模型在建筑沉降變形觀測中的應用

卜 璞，李朝奎，廖孟光

(1. 湖南科技大學地理空間信息技術國家地方聯合工程實驗室，湖南 湘潭 411201； 2. 湖南科技大學地理空間信息湖南省工程實驗室，湖南 湘潭 411201)

改進GM(1,1)模型在建筑沉降變形觀測中的應用

卜 璞1，2，李朝奎1，2，廖孟光1，2

(1. 湖南科技大學地理空間信息技術國家地方聯合工程實驗室，湖南 湘潭 411201； 2. 湖南科技大學地理空間信息湖南省工程實驗室，湖南 湘潭 411201)

灰色預測模型GM(1,1)的建模思想是：原始序列(非負序列)經過一次累加生成后，形成一個單調遞增數列，新序列中各數據點的連線可以用指數函數y=aebx進行擬合。根據這個指數函數可以推導出下一個累加值的預測值(即第一個預測期)，最后通過累減生成將累加序列預測值還原為原始序列預測值。本文通過對原始序列進行指數—冪函數變換，增加了原始序列的光滑度；并在灰參數求取過程中對原始序列賦以權重，利用迭代計算的方法推導出了模型精確背景值；最后通過使預測序列殘差平方和最小的方法計算出最優初始條件，進而提出了一個改進后的GM(1，1)模型。利用改進后GM(1,1)模型對某大廈沉降監測數據進行模擬與分析，并對改進前后的模型進行對比與分析，結果表明，改進后模型的各項精度因子相比于傳統模型均有所提高，且時間序列越往后的預測值，精度越高。

變形監測；灰色系統理論；預測模型；灰色改進模型

近年來我國經濟騰飛，高大建筑物如雨后春筍般不斷增加。為了保證建筑物可以正常使用及其安全性，對其建設及使用、維護過程進行系統的監測是十分必要的。20世紀80年代初，我國著名學者鄧聚龍教授提出了灰色系統理論[1]。灰色系統理論的研究對象是灰色系統中分析、建模、預測、決策和控制的理論問題，經過多年的發展，這一理論已應用到社會科學與自然科學的眾多領域中。

對灰色系統理論進行各種優化，建立新的算法模型解決問題有許多途徑。邵紅梅等通過研究初值選取對預測精度的影響構建了初值修正模型，文中雖然討論了幾種優化模型，但均基于初始值的選取，而沒有考慮其他參數對模型精度的影響，優化效果提高不明顯[2-3]。徐寧等根據背景值構造應滿足無偏性和最小性的要求，針對滿足指數增長規律的原始序列提出了新的模型算法[4]。蔣詩泉等利用函數逼近思想結合復化梯形公式提出了新的模型[5]。這兩種方法均基于對背景值進行合理選擇，但沒有考慮到初始值的優化方案，如果初值選取不當會影響優化效果。

本文結合初值選取和背景值構造思想，通過對模型的初始條件增加附加因子、對背景值最小誤差進行優化，建立綜合模型，以提高GM(1,1)模型的預測精度。

一、傳統GM(1,1)模型在建模過程中存在的問題

1. 傳統模型中原始序列光滑度的問題

定理：一階累加生成序列x(1)滿足指數函數規律Aeak+B的充要條件是原始序列x(0)服從指數函數Mea(k-1)，x(0)(1)可以例外。

這個定理表明，在建立GM(1,1)模型時，就已經默認一階累加序列服從指數分布規律，也即假設了原始序列服從指數分布規律[6]。

2. 傳統模型中背景值有偏的問題

(1)

(2)

綜上所述，灰色模型微分方程的離散形式可以表示為

(3)

式(3)變形后得到

(4)

根據微分方程的特解

(5)

可以解得λk的表達式為

(6)

可以看出，λk是與發展系數a有關的常數。

并且有

3. 傳統模型中初始值選取的問題

傳統GM(1,1)模型最終的響應函數為

(7)

二、改進后GM(1,1)模型的建模過程

根據前文中提到的傳統灰色建模方法中出現的問題，結合筆者的研究，提出一種改進后的灰色預測模型的建模方法。

1. 數據轉換

之前已經證明，只有當原始序列中的數據服從指數函數分布規律時，累加生成才能達到弱化隨機性、強化規律性的目的，但在實際的變形監測數據中，數據點往往是離散分布，因此必須對原始序列進行轉換之后再進行建模。比較常見的變換方法有加權變換、指數變換、對數變換、t次方根變換、對數—冪函數變換、動態擺動指數變換、黃金分割變換等[7]。

(1) 定義

本文選擇對數—冪函數變換作為建模前數據變換的方法。

(2) 定理

(8)

上述定理表明，經過對數—冪函數變換的序列的光滑度要高于原始序列的光滑度。

2. 求取最優背景值

(9)

式中

(10)

利用新算出的發展系數a可以繼續計算背景值系數λ，如此循環計算，直到λ收斂至要求的精度為止。

3. 求取最優初始條件

對于模型最優初值條件的選取，采用徐濤[9]推導的過程，改進模型的時間相應函數設為

(11)

令

(12)

則時間相應函數可寫為

(13)

用S來表示預測模型的殘差平方和

(14)

解上述方程可得

(15)

4. 建立最終模型

(16)

最后，根據灰色預測模型精度判定的原理，計算出模型的精度判定因子C、P，計算結束。

三、應用實例

某大廈項目是2004年7月在香港經貿洽談會上簽訂的昆明市重點開發項目之一，總建筑面積71 886 m2，地上9層，地下2層。該建筑物總高度為50.3 m，地下室埋置深度為11.9 m。根據現場情況確認某大廈與周邊5棟主要建筑鄰接。大廈基坑距周圍5棟主要建筑物距離偏小(10 m以內)，都處于影響范圍內，而基坑開挖深度又較大(12 m)。因此，大廈的施工勢必對其周邊造成較大影響，必須對某大廈周邊主要建筑物及地表的沉降變形進行嚴格監控，確保大廈周邊建筑物及地表各類管線的穩定和安全。

該沉降觀測從2005年3月開始，到2006年4月結束，歷時一年多，累積沉降觀測數據32期。鑒于與預測時間越近的數據對研究未來趨勢的影響越大，并且灰色模型為少數據建模，選用某一觀測點2005年7月8日—2006年4月22日的17期數據為數據背景，對灰色改進模型進行研究。

本文分別用傳統灰色模型與改進后灰色模型對沉降數據進行模擬，兩種模型得到的模擬結果與精度見表1。原始序列與模擬序列比較如圖1所示。

對于一般精度要求的工程,絕對沉降的觀測中誤差可按低、中、高壓縮性地基土的類別,分別選±0.5、±1.0、±2.5 mm。根據該大廈沉降觀測實際情況,取絕對沉降觀測中誤差為±1.0 mm,容許誤差為±2.0 mm。從表1及圖1中可以看出，原始GM(1,1)模型與改進后GM(1,1)模型的模擬精度都可達到要求，改進后模型的各項精度指標明顯高于傳統模型，模擬值的殘差隨時間推移不斷減小，說明模型的精度在逐漸提高。

四、結 論

本文對傳統GM(1，1)模型的建模機理進行了分析，通過對原始序列進行指數—冪函數變換，增加了原始序列的光滑度，使累加序列更加服從指數分布規律；從分析背景值有偏的原因入手，在灰參數求取過程中對原始序列賦以權重，利用迭代計算的方法推導出模型精確背景值；通過使預測序列殘差平方和最小的方法，根據最小二乘原理，計算出最優初始條件，進而提出了一個改進后的GM(1，1)模型。利用新舊模型對同一組數據的模擬結果進行對比分析，結果表明改進模型在精度上有明顯提高。這對于完善和拓展GM(1，1)模型具有積極的意義。

表1 原始GM(1,1)模型與改進后GM(1,1)模型模擬效果對比 mm

圖1 原始序列與模擬序列比較

[1] 鄧聚龍.灰色系統理論教程[M].武漢:華中科技大學出版社,1990.

[2] 邵紅梅,楊建華,蘭月新.基于初值修正的組合GM(1,1)模型及其應用[J].統計與決策,2015,422(2):89-90.

[3] WANG Y H,DANG Y G,LI Y Q,et al.An Approach to Increase Predication Precision of GM(1,1) Model Based on Optimization and the Initial Condition[J]. Expert Systems with Applications, 2010, 37(2): 5640-5644.

[4] 徐寧,黨耀國,丁松.基于誤差最小化的GM(1,1)模型背景值優化方法[J].控制與決策,2015,30(2):283-288.

[5] 蔣詩泉,劉思峰,周興才.基于復化梯形公式的 GM(1,1)模型背景值的優化[J].控制與決策, 2014, 29(12): 2221-2225.

[6] 劉思峰,鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統工程理論與實踐，2000,11(5):121-124.

[7] 何君,楊國東.灰色預測理論在建筑物沉降中的應用研究[J].測繪通報，2013(3):63-64.

[8] 穆勇.灰色預測模型的精確解法[J].濟南大學學報(自然科學版)，2003, 17(1):62-64.

[9] 徐濤,冷淑霞.灰色系統模型初始條件改進及應用[J].山東工程學院學報，1999,13(1):15-19.

The Application of the Improved Grey Prediction Model on Buildings Deformation Monitoring

BU Pu,LI Chaokui,LIAO Mengguang

2016-01-23

國家自然科學基金(41271390；41571374)；空間信息智能感知與服務深圳市重點實驗室(深圳大學)開放基金

卜 璞(1988—)，男，博士生，主要研究方向為測量數據處理與三維地理建模。E-mail：pup1988@126.com

卜璞，李朝奎，廖孟光.改進GM(1,1)模型在建筑沉降變形觀測中的應用[J].測繪通報，2016(12)：60-63.

10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0402.

P258

B

0494-0911(2016)12-0060-04