多復變量Hilbert空間上的復合算子族的拓撲結構

仝策中，于 洋，張 建

（1.河北工業大學 理學院，天津 300401；2.河北工業大學 計算機科學與軟件學院，天津 300401）

多復變量Hilbert空間上的復合算子族的拓撲結構

仝策中1，于 洋2，張 建1

（1.河北工業大學 理學院，天津 300401；2.河北工業大學 計算機科學與軟件學院，天津 300401）

將在算子范數拓撲的意義下，研究多復變量函數的Hilbert空間之間的有界加權復合算子族的拓撲連通性．利用類似的方法還將研究在 Hilbert-Schm idt范數拓撲下的連通性．這些討論與結論適用于多種多復變量函數空間，比如Hardy空間，Bergman空間Dirichlet空間之間的加權復合算子族的拓撲結構的研究．

多復變量；Hilbert空間；加權復合算子；道路連通；算子范數；Hilbert-Schm idt范數

1 基本概念和符號

復合算子理論的研究應該追溯到20世紀60年代中期Nordgren的工作[1]．自1987年，以Shapiro在Annals Math.上發表的文獻[4]為代表，復合算子的研究得到了快速和巨大的發展．感興趣的讀者可以參考專著[2-3，5]，這些論著都較系統地介紹了復合算子理論．復合算子理論在近些年主要在多復變量函數空間的基礎上討論問題，而且一個新興的問題是將復合算子的全體賦以算子范數拓撲（或Hilbert-Schm idt范數拓撲），討論這個拓撲空間的連通性．對復合算子的拓撲結構和纏繞性質感興趣的讀者可以參考近些年的文獻[6-12]．2015年[13]，T.Hosokawa，K.Izuchi和S.Ohno研究了單位圓盤上的Hilbert函數空間上的加權復合算子的拓撲結構，由于多復變量的函數與單復變量的函數本質上存在很多不同，基于這個動機，本文研究了高位超球上的Hilbert函數空間上的加權復合算子的拓撲結構．

設N維復歐式空間CN中的單位超球為

2 拓撲空間

證畢．

根據假設，當r r0時，在中有．這意味著在中是一個道路連通子集．

要說明MuC是緊算子，這里利用文獻 [2]中的Proposition 3.11的結論來證明．如果 fn是中的有界函數列，即存在K＜0，使得對于任意n， fn＜K．根據條件1），可以設fn在BN上內閉一致收斂于某個．根據條件 ＜1，有fnf 在H中．再由條件2），，且有

3 拓撲空間的道路連通性

證明 可以通過下面的計算直接得到證明：

任取δ＞0，則根據方程 (2)，可以取充分大的自然數N使得

由此得到，當r r0時，．因此MuC 與MuC0在的同一道路連通分支中．

因此MuC0和MvC0在中的同一道路連通分支中．所以任意的和MvC都是處于中的同一道路連通分支中．

4 理論應用

用d v表示BN上的標準化的Lebesgue體測度，即有．單位球面SN的標準化Lebesgue面測度記為，即有．這兩個標準化常數分別是BN的實際體積和SN實際面積．本節用符號表示經典BN上的Hardy-Hilbert空間，即由所有滿足下面條件的BN上的全純函數構成的函數空間

容易驗證空間H2滿足條件1）～4），并且

上述多復變量函數空間的基本概念和結論均可在文獻 [5]找到詳細論述．

經過計算

由Stirling公式，

再由定理1和定理2，可得下面2個直接推論．

[1]Nordgren EA．Composition operators[J]．Canadian JournalofMathematics，1968，20：442-449．

[2]Cowen CC，MacCluer BD．Composition Operatorson Spacesof Analytic Functions[M]．Boca Raton：CRC Press，1995．

[3]Shapiro JH．Composition Operatorsand Classical Function Theory[M]．New York：Springer Verlag，1993．

[4]Shapiro JH．Theessentialnorm of a composition operator[J]．AnnalsMath，1987，125（2）：375-404．

[5]Zhu K H．Spacesof Holomorphic Functions in the UnitBall[M]．Grad Texts in Math，Springer，2005．

[6]Tong C，Zhou Z．The compactnessof the sum ofweighted composition operatorson theballalgebra[J]．Journalof Inequalitiesand Applications，2011，Article Number45，DOI：10.1186/1029-242X-2011-45：1-10．

[7]仝策中，周澤華．單位圓盤代數上的加權復合算子的有限和 [J]．數學物理學報，2012，32A（6）：1102-1109．

[8]Tong C．Comopactdifferencesofweighted composition operatorson H BN[J]．Journalof ComputationalAnalysisand Applications，2012，14 （1）：32-41．

[9]Tong C，Zhou Z．Intertw ining relations forvolterraoperatorson thebergman space[J]．Illinois1JournalofMathematics，2013，57（1）：195-211．

[10]Tong C，Zhou Z．Compact intertwining relations for composition operators between theweighted bergman spaces and theweighted bloch spaces [J]．Journalof Korean MathematicalSociety，2014，51（1）：125-135．

[11]Yuan C，Tong C．Distance from bloch-type functions to theanalytic space F p,q,s [J]．Abstractand Applied Analysis，2014，ArticleNumber 610237，DOI：10.1155/2014/610237：1-10．

[12]Tong C，Yuan C．An integraloperatorpreserving s-Carlesonmeasureon theunitball[J]．AnnalesAcadem iaeScientiarum FennicaeMathematica，2015，40：361-373．

[13]Hosokawa T，Izuch K，Ohno S．Weighted composition operators between Hilbert spaces of analytic functions in the operator norm and Hilbert-Schmidtnorm topologies[J]．JournalofMathematicalAnalysisand Applications，2015，421：1546-1558．

[責任編輯 楊 屹]

Topologicalstructure of composition operatorson Hilbertspaces in severalcomplex variables

TONGCeZhong1，YU Yang2，ZHANG Jian1

(Schoolof Science,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China;2.Schoolof Computer Scienceand Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

The topological connectednessofweighted composition operatorsbetween the Hilbertspaces in several complex variablesare studied.These resultsare applied to characterize the topologicalstructure ofweighed composition operatorsacting between Hardy spaces,Bergman spacesand Dirichletspacesofseveralcomplex variablesholomorphic functions,which generalizes the resultsof T.Hosokawa,K.Izuchiand S.Ohno.

severalcomplex variables;Hilbertspaces;weighted composition operators;connectedness;operatornorm; Hilbert-Schmidtnorm

O174.56

A

1007-2373(2016)01-0051-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2016.01.010

2015-01-08

國家自然科學基金（11301132，11171087）；河北省自然科學基金（A2013202265）

仝策中（1984-），男（漢族），講師，博士．

張建（1982-），男（漢族），實驗師．