理想氣體趨向熱平衡態的動力學模擬

董 鍵 崔秀芝

(曲阜師范大學 物理工程學院，山東 曲阜 273165)

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理想氣體趨向熱平衡態的動力學模擬

董 鍵 崔秀芝

(曲阜師范大學 物理工程學院，山東 曲阜 273165)

從動力學出發，導出了二體和三體分子彈性散射的動量分配公式，據此，用計算機模擬了理想氣體分子集團長時間碰撞后的行為，證明熱平衡態分子動量的麥克斯韋分布主要是由分子的二體碰撞所致，三體碰撞貢獻的比例很小.用此方法還研究了器壁對氣體動量分布的影響和對氣體溫度的控制機制，以及氣體趨向熱平衡的過程.

動力學模擬；理想氣體；分子散射；動量分配公式；麥克斯韋分布

1859年，英國物理學家J.C.Maxwell從概率的角度考慮提出理想氣體熱平衡態存在速度分布函數，并結合空間對稱性，導出了這個分布函數(后稱麥克斯韋分布律).這是一個顯示概率論用于解決統計物理問題的成功范例，意義重大，影響深遠. 麥克斯韋分布律的具體結果也被后來的實驗基本證實[1-5].現將該分布律用分子動量的形式重寫如下.

動量某方向的分布律(概率密度)：

(1)

動量大小的分布律(概率密度)：

(2)

麥克斯韋分布律是氣體分子運動論的重要內容，是認識氣體統計性質的重要窗口，在教學上有重要地位.然而，每一屆學生學到這部分內容的時候，總要提出相同的問題：“氣體分子動量是如何達成該分布的？此分布與器壁的存在有沒有關系？”一般認為麥克斯韋分布律是通過氣體分子之間的碰撞達成的，鑒于氣體分子運動的復雜性，要從動力學上證明這個猜想不容易，而器壁的作用則未明確，它在麥克斯韋分布律中并未體現.在計算機技術發展起來之后，人們想到用編程運算來進行模擬證明，已經在不同程度上獲得了一些結果[6-10]，證明編程模擬的可行性.但也存在不足，一是用彈性碰撞處理兩分子碰撞前后的速度變換公式太復雜，可調參數太多，掩蓋了物理直觀性，而且僅限于兩分子碰撞，不能處理三分子或更多分子的碰撞，無從考察多分子碰撞的影響；二是用力學方法追蹤分子運動則運算量太大，能研究的分子數不能太多，追蹤時間不能太長，統計漲落大；三是處理分子與器壁相互作用時沒有太好的辦法，或者認為垂直于器壁方向分子速度簡單地反向，或者認為速度方向可任意變化，大小則保持不變，都當做彈性碰撞處理，器壁對氣體溫度的控制作用顯示不出來.

為了克服以上不足，本文提出了另一種模型用于編程模擬，其特點是把分子速度的討論改為動量的討論，分子之間的碰撞用彈性散射處理，發展了不計散射過程而只考慮散射結果的二體和三體分子散射形式理論，簡單優美；將分子與器壁的碰撞作為非彈性散射處理，分子與器壁散射后，動量大小在一定范圍內任意取值，方向也是任意的.這樣處理，大大方便了編程，效率提高，能模擬的分子數有很大的增加，模擬過程可以任意加長，結果證明：麥克斯韋分布律是通過分子之間的散射達成的，而且主要是由兩分子散射所致，三分子散射比例很?。贿€可以直觀地模擬氣體從非平衡態向平衡態演變的過程，可以顯示器壁對氣體溫度的控制作用，有助于增進對氣體內部運動過程的認識，對教學有很好的輔助作用.

以下兩節首先針對編程特點發展出兩分子和三分子彈性散射理論，然后再編程模擬各種情況下氣體動量的分布，與麥克斯韋分布律進行比較.

1 兩分子彈性散射的形式理論

所謂理想氣體，就是沒有體積、沒有內部運動的一些質點，它們只有平動，碰撞過程是近程的彈性散射過程，故無須考慮散射細節，只考慮彈性散射前后分子的狀態.設兩分子散射前的動量分別是p1和p2，散射后的動量分別是q1和q2，根據動量守恒和動能守恒，則有

(3)

(4)

由式(3)2-式(4)得

(5)

符號“·”表示矢量內積運算，下同.定義兩個符號K和Q，它們由分子初態動量決定：

K=p1+p2，Q=p1·p2

將K和Q代入公式(5)消去q2得

(6)

對方程(6)配方，得

(7)

另一個分子的動量q2按下式計算：

(8)

2 三分子彈性散射的形式理論

在三分子彈性散射的情況下，沿用上一節的符號K和Q，并定義能量符號e，則

(9)

Q=p1·p2+p2·p3+p3·p1

(10)

(11)

根據后面兩個分子動量之差的平方為非負的要求，取參數λ的范圍為

(12)

設n1和n2是各向同性的兩個單位矢量.借助于質心系，一個散射后分子的動量可取為

(13)

于是

(14)

(15)

(16)

由式(15)和式(16)得

若e′-2Q′≥0，則

(17)

由式(14)和式(17)解出

(18)

(19)

以下幾節的模擬計算僅限于不高于三分子散射的那些過程.在編程時，隨機地從氣體中抽取兩個或者三個分子，作為散射單元，按以上形式理論計算散射之后的動量分配.

關于分子與器壁散射的動力學，將在后面另行討論.

3 只考慮兩分子散射時熱平衡態模擬結果

在具體進行模擬計算時，需要給所有分子賦予初始動量，可以隨機地取值，本文研究的所有案例只給一個分子賦予非零的初始動量，其余分子的初始動量為零，表示嚴重偏離平衡分布.模擬軟件采用Mathematica，它有便捷的處理矢量運算的函數和進行隨機抽樣的函數.圖1是在只考慮兩分子散射時熱平衡態動量大小的概率密度ρ的模擬結果，圖中的實線是按照公式(2)擬合所得的擬合曲線f2(p)，總體上看二者符合得不錯(其特點是：單峰分布，概率密度在動量高端和低端都趨于零).圖2是單方向的動量分布統計結果，實線是按照公式(1)擬合所得的擬合曲線，二者符合得也不錯，若將三個單方向的動量擬合曲線作一張圖，則高度重合，由此初步判斷：麥克斯韋分布律與兩分子散射有重大的關系.

圖1 只考慮兩分子散射的動量分布

圖2 只考慮兩分子散射的單向動量分布

圖3 只考慮三分子散射的動量分布

4 只考慮三分子散射時熱平衡態模擬結果

圖3是只考慮三分子散射時熱平衡態動量分布ρ模擬結果，圖中的實線是用模擬數據按公式(2)擬合出來的擬合曲線，數據點與曲線在小動量端有所分離，在峰點附近偏離較大.若考察3個單方向的動量分布曲線，發現在零動量附近并不嚴格重合，說明三分子散射的動量分布不是嚴格的各向同性.

5 兩分子散射與三分子散射共存時熱平衡態模擬結果

圖4 三分子/兩分子散射數比例不同時分子動量分布的演化

氣體中同時存在兩分子散射和三分子散射，研究逐漸降低總散射次數中三分子散射的比例，看看熱平衡態下動量分布是怎樣變化的.圖4是在3種情況下的模擬結果，對應三分子散射數與兩分子散射數的比例依次是1∶1、1∶10和1∶100，圖中實線是擬合得到的f2(p)曲線(坐標軸未標記，可參照圖1)，可以看出，隨著三分子散射數比例的降低，分子動量的熱平衡分布從明顯偏離到逐漸向麥克斯韋分布曲線趨近，說明理想氣體分子之間主要是兩分子散射，三分子散射比例相對較少，多于三分子散射的過程會更少，對分子動量分布的影響更加微弱.

6 在分子被器壁散射的情況下演示氣體趨于熱平衡的過程

分子被器壁散射，假設分子完全失去對散射之前動量的記憶，然后以一個隨機的動量離開器壁，該動量的大小有一個上限p0，與器壁的溫度相對應.此種情況下，演示分子系統向平衡態的演化過程用分子平均動能Ek來直觀地表示，示例見圖5，曲線a表示分子初始動量較小，分子要通過與器壁散射獲得更多的能量才能提升分子平均動能，達到熱平衡時，平均動能在某個值附近波動；曲線b表示分子初始動量較大，部分動量很小的分子通過與器壁散射獲得較大的能量，提升了系統的平均動能，但是，一旦動量較大的分子與器壁散射，則將失去較多的能量，使系統平均動能有更多的下降，最后也趨向平衡態.兩種情況下的p0相同，模擬計算的熱平衡態下分子平均動能也相同(該值對應水平虛線位置，時間t取約化值)，這體現了器壁對氣體溫度的控制作用，同時氣體喪失了對初始動量的任何記憶.

圖5 在器壁控制下分子平均動能向熱平衡的演化

7 結語

利用本文所導出的兩分子和三分子彈性散射的動量分配公式，可以便捷地模擬理想氣體由非平衡態向平衡態的演變，證明平衡態動量分布服從麥克斯韋分布，動力學機制就是分子碰撞.模擬結果還證明，麥克斯韋分布主要由兩分子碰撞所致，多分子碰撞的比例很小；分子與器壁的碰撞會破壞麥克斯韋分布，器壁的主要作用是控制氣體的溫度，分子與器壁在表層交換動量和能量，通過擴散與碰撞，將器壁的影響傳遞給氣體內部其他分子.

麥克斯韋分布是一個理想分布，用實際氣體可以逼近，但在不滿足條件時也可能偏離該分布，不可罔顧條件亂套公式.

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DYNAMICAL SIMULATION OF AN IDEAL GAS TENDING TO THERMAL EQUILIBRIUM STATE

Dong Jian Cui Xiuzhi

(College of Engineering and Physics, Qufu Normal University, Qufu, Shandong 273165)

Based on the momentum distribution theory of two-body and three-body molecular elastic scattering derived from dynamical consideration, a computer simulation was carried out to inspect the behavior of an ideal gas after multiple collisions between molecules, showing that the Maxwell distribution of molecular momentum of the gas in thermal equilibrium state is mainly caused by two-body collision, three-body collision dedicates only a small proportion. Mechanisms of the container’s impact to the momentum distribution and to the gas’s temperature controlling can be studied with this method, therefore the process of the gas tending to thermal equilibrium state can be traced.

dynamical simulation; ideal gas; molecular scattering; momentum distribution formula; Maxwell distribution

2016-05-07

董鍵，男，講師，從事計算物理和實驗物理研究.qfdongjian@163.com

董鍵,崔秀芝. 理想氣體趨向熱平衡態的動力學模擬[J]. 物理與工程，2016，26(6)：39-42,47.