角動量平方算符的矢量分析計算

周運清 黃文濤 周愷元

(浙江海洋大學物理系；浙江省海洋大數據挖掘與應用重點實驗室，浙江 舟山 316022)

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角動量平方算符的矢量分析計算

周運清 黃文濤 周愷元

(浙江海洋大學物理系；浙江省海洋大數據挖掘與應用重點實驗室，浙江 舟山 316022)

量子物理是從經典物理中發展而來的，在其教學中有意識地挖掘現有教材以便與經典進行對比，指出兩者的差異，并說明在什么條件下量子描述退化為經典描述，具有十分重要的教學價值，而角動量的平方算符的推導剛好提供了這樣的契機. 本文利用矢量算符分析的方法來推導出在球坐標系下角動量平方算符的表達式，同時與經典的角動量平方進行了比較, 得到量子角動量平方算符比其經典對應量多出含普朗克常數的項，在經典極限下，前者退化為后者.作為拓展, 最后用Bohm規則計算了角動量平方算符.

經典物理；量子物理；角動量平方算符；球坐標系； Bohm 規則

角動量算符和角動量平方算符是量子力學中很重要的力學量，往往是學生從經典的力學量過渡到量子算符旅程中十分重要的經歷之一. 對其推導進行全面的考察不僅可以得到多種推導方法，還能讓學生體驗物理殊途同歸的樂趣，同時也能加深其過渡體驗，從而深刻認識經典和量子的差異.

在經典角動量定義的基礎上，現有教材文獻中一般有兩種推導方法得到角動量算符以及角動量平方算符. 一種是經過動量算符的代換后，利用矢量叉乘給出直角坐標系下角動量算符的分量式，然后利用直角坐標至球坐標的變換，得到球坐標系下各分量式，由平方和得到角動量平方的球坐標表達式. 計算盡管很冗長，但基本上是標量運算，概念清晰，只要仔細就行，因此在很多教材中得到采用[1,2]. 另外一種是采用矢量分析的方法來處理，即將物理量都代換成球坐標系下的算符矢量，然后經過矢量分析運算后能很快簡明扼要地得到結果[3-5]. 當然也有人將這兩種方法混合起來用[6]，還有人采用其他方式得到結果[7,8]. 本文直接采用矢量分析來得到一般表達式，然后利用哈密頓算符和拉普拉斯算符的球坐標表達式來得到角動量平方算符表達式. 最后，將量子的表達式與經典的進行比較.

1 角動量平方算符矢量推導

根據算符運算規則，角動量平方算符可以表示成

(1)

將角動量算符代入，可得

(2)

下面利用矢量運算規則(b×c)·a=b·(c×a)，來對式(2)進行變形運算，為了便于理解，我們將算符作用于一個任意函數ψ，從而得到

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式(7)和式(8)代入式(5)，得到

(9)

式(9)就是角動量平方算符在球坐標系下的表達式.

2 角動量平方算符在量子與經典之間的比較

為了便于比較，下面我們將經典的角動量平方表達式簡單推導出來

(10)

經典角動量平方也可由式(10)改寫為以下等價形式：

(11)

由Bohm規則[9]，也可求出相應的量子算符為

(12)

可以看出，由Bohm規則求出的式(12)與式(9)一致,但是如果把經典角動量寫為

(13)

然后利用Bohm規則得到

(14)

3 結語

[1] 周世勛,陳灝.量子力學教程[M].2版.北京：高等教育出版社,2009.

[2] 趙凱華,羅蔚茵.量子物理[M].北京：高等教育出版社,2001.

[3] 馮哲川.用球坐標系推求角動量算符的本征方程[J].大學物理,1984(2):41-43.FengZC.Calculationoftheeigenvalueequationofangularmomentumoperatorbysphericalcoordinates[J].Collegephysics, 1984(2): 41-43.

[4] 王正行.從直觀圖像寫出角動量算符的球坐標表示[J].大學物理,1987(8):7-9.WangZX.Writingouttheangularmomentumoperatorintermsofsphericalcoordinatesfromthevisualimagerepresentation[J].CollegePhysics, 1987(8): 7-9.

[5] 岑天慶.一種角動量算符的簡便推導方法[J].大學物理,2010(11):26-28.CenTQ.Asimplemethodofderivatingangularmomentumoperator[J].CollegePhysics, 2010(11): 26-28.

[6] 顧樵.量子力學Ⅰ[M].北京：科學出版社,2014.

[7] 李光惠.用轉動矩陣導出角動量算符的球坐標表示式[J].大學物理,1990(8):26-27.LiGH.Derivationoftherepresentationofangularmomentumoperatorinsphericalcoordinateswithrotationmatrix[J].CollegePhysics, 1990(8): 26-27.

[8] 李培廉.角動量算符的球坐標表示式的一個簡易推導[J].大學物理,1983(4):7-9.LiPL.Asimplederivationofangularmomentumoperatorintermsofsphericalcoordinates[J].CollegePhysics, 1983(4): 7-9.

[9] 喀興林.高等量子力學[M].2版.北京：高等教育出版社,2001.

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CALCULATING THE SQUARE OPERATOR OF ANGULAR MOMENTUM BY VECTOR ANALYSIS

Zhou Yunqing Huang Wentao Zhou Kaiyuan

(Department of Physics and Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining & Application of Zhejiang Province,Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316022)

Quantum physics has been developed from classical physics. In the teaching process, we should be aware of digging into the existing teaching materials in order to compare with the classics, point out their difference and show under what conditions quantum description degenerates into classic description, which has very important teaching value. The derivation of the square of the angular momentum of provides the opportunity for this purpose. In this paper, the expression of the square operator of angular momentum in spherical coordinate is derived by the method of vector analysis, and then compares with the square of classical angular momentum. We obtain that in comparison with its classical counterpart, the square operator of quantum angular momentum has an extra term of Planck’s constant’s order, and in the classical limit, the quantum result is reduced to its classical counterpart. Finally, as an extension, the Bohm’s rule is used to calculate the square operator of the angular momentum.

classical physics; quantum physics; the square operator of angular momentum; spherical coordinate; Bohm’s rule

2015-08-05

浙江海洋學院科研啟動項目(21065013413 ), 中青年資助項目(11062101712), 校級重大項目(X12ZD10), 浙江省自然基金項目(Y6110250, LY14A040001)和國家自然基金(11304281，31201001)資助.

周運清，男，副教授，主要從事物理教學科研工作，研究方向為量子輸運和量子光合作用.yqchou@163.com;黃文濤，男，副教授，主要從事物理教學科研工作，研究方向為腦功能網絡和量子光合作用.ccnuhwt@aliyun.com;周愷元，男，2013級物理學專業本科生.466812432@qq.com

周運清，黃文濤，周愷元. 角動量平方算符的矢量分析計算[J]. 物理與工程，2016，26(6)：48-50.