基于小波變換的圖像壓縮中小波基的評價與選取

甘宸伊，姚 遠，楊彥偉，劉小兵，高喆榮

(中國人民解放軍63788部隊，陜西 渭南 714000)

【信息科學與控制工程】

基于小波變換的圖像壓縮中小波基的評價與選取

甘宸伊，姚 遠，楊彥偉，劉小兵，高喆榮

(中國人民解放軍63788部隊，陜西 渭南 714000)

針對圖像壓縮中小波基的選取自由度高的問題，討論了小波基的選擇依據，分析了正交性、對稱性、正則性、支撐性和消失矩等性能指標對圖像編碼的影響。研究了利用均方誤差和峰值信噪比對圖像品質的評價方法。利用MATLAB仿真，采用SPIHT壓縮算法，使用4種小波基對測試圖像進行壓縮，對比其均方誤差、最大誤差、峰值信噪比和壓縮比，并對實驗結果進行了分析，發現具有對稱性和緊支撐性，正則性較好的雙正交小波綜合性能最好，為小波基的選擇提供了參考標準。

圖像壓縮；小波基；雙正交；對稱性；均方誤差；信噪比

隨著成像技術的高速發展，圖像的數據量越來越大，由于存儲空間和網絡帶寬的限制，對圖像進行壓縮的需求也越來越大。圖像壓縮，主要是減少冗余信息，如空間冗余、時間冗余、結構冗余、知識冗余和視覺冗余等[1]。由于人眼視覺特性，在某些領域圖像壓縮允許有一定程度的失真。近年來，利用小波變換對圖像處理的技術越來越受人們的關注，成為數字圖像處理及壓縮編碼的有力工具[2]。小波變換在時域和頻域都具有良好的局部化特性，通過改變取樣步長，可以聚焦到對象的任何細節，使人們既可以看到‘森林’，又可以看到‘樹木’，被稱為“數學顯微鏡”[3]。與傅里葉變換相比，小波變換的基函數不是唯一的[4]，考慮到圖像壓縮比和壓縮后圖像的品質，如何選擇合適的小波基函數就成為圖像壓縮的關鍵環節。

1 小波基的選取

從理論上來講，由分解后的信號可以準確地恢復到原信號，但并非所有的小波基都適合圖像壓縮中的圖像分解[5]。小波基對應的濾波器的性質與圖像壓縮有著重要的關系，主要根據以下幾個性能指標，如正交性、對稱性、正則性、支撐性和消失矩等，這些都是很重要的特征[6]。

1) 正交性：描述了數據的冗余程度，用正交小波基有多尺度分解得到的各子代數據分別落在相互正交的子空間中，使得各子代數據相關性減小[7]。但是能準確重建的、正交的、線性相位、有限沖擊響應濾波器組是不存在的[8]，因此可以將條件放寬為雙正交，這樣設計的自由度增大，而且雙正交濾波器有線性相位，因此在圖像處理中應用很廣[9]。

2) 對稱性：在圖像處理領域里，一般選擇對稱或反對稱的尺度函數和小波函數，因為具有線性相位，可以構造緊支撐性的正則小波基[10]。人類的視覺系統對邊緣附近對稱的量化誤差較非對稱的量化誤差更不敏感[11]，利用這個特性，在對圖像的邊緣部分做邊界延拓時，能夠更精確的重構圖像的邊緣部分[12]，提高了重構圖像的品質。

3) 正則性：函數ψ(t)稱為r=N+α(0<α≤N)正則的，如果ψ(t)具有N階連續導數，且對任意t，h∈R,有|ψN(t+h)-ψN(t)|

正則性是函數光滑程度的一種描述，正則性階數r越大，函數就越光滑。小波和尺度函數的正則性階數越高，濾波器的正則性也越好[13]。光滑信號在經過正則性很差的分解濾波器后，其輸出隨著小波變換級數的增加將很快出現不連續性，而不連續性將導致高頻子帶中系數的增多，從而不利于壓縮和量化。同樣，如果重構濾波器的正則性很差，量化帶來的誤差在重構時就不能很好地被平滑掉，那么重建圖像誤差可視性就強，視覺效果就差。因此正則性好的小波，能在信號或圖像的重構中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺效果。但是由于正則性越好支撐長度越長，會導致計算時間加大，因此要有所權衡。

4) 支撐性：一般說來，小波正則性越好，消失矩越大，小波的支集寬度越大，對應的濾波器就越長，會導致高幅高頻系數的數量相應增多，所以正則性好、消失矩大的濾波器也可能會引起高幅高頻系數的增多[8]。同時濾波器過長會引起算法復雜度，邊界失真加劇。另外濾波器的長度會影響對信號所能進行的最大分解層數。因此在選擇小波基時，希望濾波器是有限長度，即小波具有緊支撐性[9]。

2 圖像品質評價

圖像品質評價分為主觀評價和客觀評價。圖像的主觀評價就是以人作為圖像的觀察者，對圖像的優劣作出的主觀評定。這時，所評價出的圖像品質不僅與圖像本身的特性有關，而且還與觀察者特性以及觀察條件有關。圖像品質的客觀評價方法是根據人眼的主觀視覺系統建立數學模型，并通過具體的公式計算圖像的品質。傳統的圖像品質客觀評價方法主要包括均方誤差和峰值信噪比。

1) 均方誤差

2) 峰值信噪比

3) 壓縮比

3 實驗結果

使用Matlab提供的cameraman.tif(256×256)和liftingbody.png(512×512)圖像，分別選用Haar小波，Daubechies小波，Biorthogonal小波和Symlet小波對其進行3次分解，采用SPIHT壓縮算法，對其進行10級編碼，計算壓縮后圖像與原圖像的均方誤差，最大誤差，峰值信噪比和壓縮比。這4種小波的性能參數如表1所示。壓縮后圖像品質如表2所示。

表1 haar,db,bior和sym小波性能參數

表2 4種小波基壓縮圖像品質對比

4 結果分析

1) 小波基的對稱性

對于線性相位的小波基，通過周期性延拓，重建信號在邊界不會產生較大失真，而對于非線性相位小波，邊界數據失真則比較明顯。緊支集小波的線性相位特征與小波的對稱性等價。因此使用對稱小波進行小波變換可以克服圖像在小波變換中產生的邊界失真，可以看到小波基的對稱性對圖像的壓縮性能影響較大。當小波基不具有對稱性時(db4和sym4)，嚴重的邊界失真會導致明顯較差的圖像壓縮結果。

2) 小波基的正則性

顯然，小波基正則性的階數反映了小波的光滑程度。小波基的正則性越高，其尺度函數越光滑，頻域的能量越集中。如表2所示，可以看到，小波的正則性在一定程度上決定了小波基的壓縮性能。對于大部分圖像，小波的正則性越高，小波基的壓縮性能越好。例如，db4小波，bior4.4小波和sym4小波具有較高正則性，對于幾乎所有的自然圖像、科學圖像，它們都達到或接近了最優的壓縮結果。同時可以發現，壓縮后圖像的光滑程度也和小波基的正則性相關，正則性高的小波壓縮后的圖像要比正則性低的小波光滑。Harr小波的正則性為0，壓縮圖像有較大跳躍，視覺效果較差。

5 結束語

在圖像的壓縮編碼中，小波基的選擇對圖像的壓縮性能有一定影響。小波基的選擇評估是一個重要的問題。不同的應用環境中小波基選取的自由度是很大的，圖像編碼時要綜合考慮這些特性，盡量選擇支撐性好、消失矩大、正則性好的雙正交小波。bior4.4小波是雙正交小波，具有對稱性和緊支撐性，正則性較好，經過對比實驗，也證實了bior4.4小波綜合性能最好，工程應用中，可以優先考慮此小波。但是由于小波的選擇與圖像特性相關，不存在對任何圖像都能實現最佳壓縮效果的“最優”小波，只能根據具體的應用要求合理選擇小波基，因此研究如何根據圖像的特征來自適應的構造適合本圖像的最優波基具有重要的意義，在這方面，還需要做進一步的工作。

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(責任編輯楊繼森)

Wavelet Evaluation and Selection in Wavelet-Based Image Compression

GAN Chen-yi, YAO Yuan, YANG Yan-wei，LIU Xiao-bing, GAO Zhe-rong

(The No. 63788thTroop of PLA, Weinan 714000, China)

Wavelet basis selection was discussed due to its high degree of freedom in image compression. The influence of orthogonality, symmetry, regularity, support and vanishing moments in image coding was analyzed. The method of image quality assessment using mean square error and peak signal to noise ratio was illustrated. Test images were compressed using four different wavelet basis through MATLAB, and mean square error, max error, peak signal to noise ratio and compress ratio were compared respectively. The conclusion is that wavelet basis which are symmetric, tight supported, good regularity and biorthogonal have the best comprehensive performance, which provides reference standard for the choice of wavelet basis.

image compression; wavelet basis; biorthogonal; symmetric; mean square error; peak signal to noise ratio

2016-07-25；

國家自然科學基金項目(F010401);江蘇省教育廳自然科學基全資助項目(00SJB51000)

甘宸伊(1985—)，男，碩士，工程師，主要從事數字圖像處理研究。

10.11809/scbgxb2016.12.024

甘宸伊，姚遠，楊彥偉，等.基于小波變換的圖像壓縮中小波基的評價與選取[J].兵器裝備工程學報，2016(12):105-107.

format:GAN Chen-yi, YAO Yuan, YANG Yan-wei，et al.Wavelet Evaluation and Selection in Wavelet-Based Image Compression[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(12):105-107.

TP751

A

2096-2304(2016)12-0105-04

修回日期：2016-08-30