軸向運動簡支梁振動響應分析

齊亞峰，劉 寧，楊國來

(1.中國人民解放軍92941部隊，遼寧 葫蘆島 125000； 2.南京理工大學，南京 210094)

【機械制造與檢測技術】

軸向運動簡支梁振動響應分析

齊亞峰1，劉 寧2，楊國來2

(1.中國人民解放軍92941部隊，遼寧 葫蘆島 125000； 2.南京理工大學，南京 210094)

軸向運動系統廣泛存在于諸如火炮發射系統、動力傳送帶、帶鋸、空中纜車索道等工程領域，理論上可將其抽象為軸向運動弦線和梁的力學模型，具有重要理論意義和工程應用價值。基于Euler-Bernoulli梁理論，建立了移動質量作用下軸向運動簡支梁振動方程，利用Galerkin法對方程進行離散，采用Newmark-β法對方程進行數值求解。計算了移動質量對軸向運動梁動態響應的影響，結果表明：相比軸向運動梁的自由振動，移動質量的作用使軸向運動梁更多的模態被激起；移動質量速度越小，頻域成分越豐富；在移動質量作用前半階段，梁的振動頻率較低，在后半階段振動頻率較高。

軸向運動梁；移動質量；橫向振動；振動響應

由于移動質量作用下梁的振動和軸向運動系統的動態響應在工程上具有重要的研究價值，受到研究人員的廣泛關注。移動質量-梁系統常見于重要的工程結構中，如車-橋耦合系統、彈-炮耦合系統及貨物-龍門吊耦合系統等；而軸向運動系統在工業上也有廣泛的應用，如空中索道、傳送帶、紙張、帶鋸及高樓升降機纜繩等，計及抗彎剛度時這類系統可模型化為軸向運動梁。Michaltsos研究了載荷不同運動速度下橋梁的動力響應[1]；李煒明等對移動質量在連續速度變化下的簡支梁動力響應進行了研究[2]；王穎澤等研究了多個移動質量作用下身管的振動[3]；劉寧等研究了移動質量作用下軸向運動懸臂梁振動特性[4]；Wu基于有限元法對移動質量作用下軸向運動梁的動態響應進行了數值模擬[5]；陳力群、楊曉東等對軸向運動梁和弦線的振動進行了分析[6]；丁虎、陳立群推導了軸向運動梁控制方程的幾種不同形式，通過數值方法分析了各方程的差異[7]。現有研究很少將移動質量與軸向運動系統結合起來分析，由于生產生活中大部分的軸向運動系統都與移動載荷相互作用，因此研究軸向運動系統需要考慮移動載荷的影響。對于移動質量作用下兩端簡支軸向運動梁的動態響應研究還未見有報道。

針對上述問題，本研究建立了移動質量作用下軸向運動簡支梁的振動方程，采用Galerkin截斷方法分離時間和空間變量，得到以模態坐標表示的二階常微分方程組，通過Newmark-β法進行數值求解，研究了移動質量對梁動態響應的影響。

1 軸向運動梁橫向振動方程

圖1所示為移動質量(滑塊)作用下軸向運動簡支梁的示意圖，其中u為梁的軸向運動速度，L為梁的長度，P為軸向力，x為軸向空間坐標，x軸取靜止梁變形前的軸線，y(x,t)為梁的橫向位移，m為滑塊質量，v為滑塊運動速度，ξ為滑塊位移。本文僅考慮運動梁的橫向振動，略去高速運動梁軸向位移對橫向振動的影響。根據Euler-Bernoulli梁模型和Newton第二定律，移動質量作用下軸向運動梁的控制方程為

ρA(y,tt+2uy,xt+u2y,xx)-Py,xx+EIy,xxxx=

-m(g+y,tt+2vy,xt+v2y,xx)·δ(x-ξ)

(1)

其中：ρ為材料密度；A為梁的橫截面積；EI為梁抗彎剛度；δ為Dirac函數，逗號表示對其后面的變量求偏導。

圖1 移動質量-軸向運動梁振動力學模型

簡支梁邊界條件和初始條件為

y(0,t)=y(L,t)=0

y,xx(0,t)=y,xx(L,t)=0

(2)

y(x,0)=α(x)，y,t(x,0)=β(x)

(3)

2 數值方法

為了使連續介質系統運動方程(1)化為有限維的形式，采用Galerkin截斷法離散控制方程。取兩端鉸支靜止梁的前N階模態φi(x)作為試函數，這樣邊界條件(2)自動滿足，方便了后面的Galerkin截斷處理。方程(1)的解可表示為如下形式

φi(x)ηi(t)

(4)

φi(x)=sin(iπx) (i=1,2,…,N)

(5)

其中，ηi(t)為待定系數，式(4)寫成矩陣形式

y(x,t)=φT·η

(6)

將式(6)代入方程(1)，兩邊左乘φ(x)，并對梁全長L積分，注意試函數的正交性，最后按η整理得

(7)

式中:M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；F為載荷向量。各系數矩陣表達式為：

φφTdx+mφ(ξ)φT(ξ)

(8)

(9)

(10)

F=-mgφ(ξ)

(11)

采用Newmark-β法直接積分求解時變系數方程(7)，利用Matlab語言編寫計算程序。

3 數值結果

為了驗證模型和數值方法的可靠性，分別以文獻[5]中移動質量作用下無軸向運動簡支梁動態響應和文獻[7]中軸向運動簡支梁自由振動為算例，計算所需參數如表1所示。文獻[5]是考慮移動載荷慣性力影響，基于有限元法建立具有附加系數矩陣的時變動力學模型，求解得到的結果，在本文中作為梁無軸向運動的對比算例。文獻[7]采用有限差分法計算軸向運動梁的振動響應，在本文中作為軸向運動梁自由振動的對比算例。算例1和算例2中梁的初始橫向速度為零，初始橫向位移為：

α1(x)=0

(12)

α2(x)=0.064x3(1-x)3

(13)

在執行算例1時只需在模型和算法中令梁的軸向速度為零，執行算例2時只需令移動質量為零。

表1 算例參數

圖2為采用算例1參數計算得到的移動質量作用下簡支梁跨中撓度響應曲線，撓度峰值為1.189 mm，文獻[5]中計算的撓度峰值為1.18 mm，相對誤差為0.7%。圖3(a)為根據算例2計算得到的軸向運動梁跨中無量綱撓度響應曲線，振幅為0.001，圖3(b)是撓度曲線的頻譜分析結果，一階主振頻為111.8 Hz，與文獻[7]計算結果一致。由上述兩個算例可以看出，本文建立的模型和數值方法是可靠的。

下面在算例2的基礎上研究移動質量速度對軸向運動簡支梁振動響應的影響，梁的軸向運動速度為10 m/s。設滑塊的質量為1.2 kg，考察滑塊的3種運動速度，即分別以小于、等于和大于梁軸向速度進行滑動。3組速度分別取為5 m/s，10 m/s和20 m/s，計算移動質量作用期間簡支梁動態響應，即仿真總時間取為滑塊在梁上的滑動時間，跨中撓度曲線及其FFT頻譜分析如圖4～圖6所示。

由前文算例2結果可知，無移動質量作用時梁的前兩階模態被激起，梁作周期性有規律的自由振動，而由圖4～圖6可知，加載移動質量后梁的振動無明顯的規律性，振動幅值減小，振動頻率比梁自由振動豐富，說明移動質量使更多的振頻被激起。由圖4～圖6的時域響應還可發現，在移動質量作用前半階段，梁的振動頻率較低，而后半階段振動頻率較高，同時由頻域響應可看出移動質量速度越小，頻域成分越豐富。

圖2 算例1梁跨中撓度曲線

圖3 算例2梁跨中撓度曲線及頻譜分析

圖4 滑塊速度5 m/s時梁跨中撓度曲線及FFT分析

圖5 滑塊速度10 m/s時梁跨中撓度曲線及FFT分析

圖6 滑塊速度20 m/s時梁跨中撓度曲線及FFT分析

4 結論

目前國內外對軸向運動梁的動力學研究已得到了許多重要成果，但是這些成果大部分是基于梁自身的振動響應，考慮移動質量作用等實際工程問題較少。本文建立了移動質量作用下軸向運動梁的運動方程，通過數值方法研究了移動質量對軸向運動梁動態響應的影響，發現移動質量的作用使梁的振幅減小，梁跨中撓度曲線頻譜分析表明，移動質量使梁更多的頻率成分被激起，并且移動質量運動速度越小，梁的頻率成分越豐富。移動質量對軸向運動梁動態響應的影響規律對實際工程問題中軸向運動系統的振動控制、測試分析具有重要的指導意義。

[1] MICHALTSOS G T.Dynamic Behavior of a Single-Span Beam Subjected to Loads Moving with Variable Speeds[J].Journal of Sound and Vibration,2002,258(2):359-372.

[2] 李煒明，駱漢賓，朱宏平,等.移動質量速度對簡支梁動力響應的影響[J].華中科技大學學報:自然科學版，2008，36(9)：117-120.

[3] 王穎澤，張小兵.移動質量作用下膨脹波發射裝置的振動響應分析[J].航空動力學報，2009，24(8)：1714-1719.

[4] 劉寧，楊國來.移動質量作用下軸向運動懸臂梁振動特性分析[J].振動與沖擊學報，2012，31(3)：106-109.

[5] WU J J，WHITTAKER A R，CARTMELL M P.Dynamic Responses of Structures to Moving Bodies Using Combined Finite Element and Analytical Methods[J].International Journal of Mechanical Sciences 2001,43:2555-2579.

[6] CHEN Liqun,YANG Xiaodong.Nonlinear Free Transverse Vibration of an Axially Moving Beam:Comparison of Two Models[J].Journal of Sound and Vibration,2007，299(1):348-354.

[7] DING Hu，CHEN Liqun.On Two Transverse Nonlinear Models of Axially Moving Beams[J].Science in China Series E:Technological Science，2009，52(3)：743-751.

(責任編輯唐定國)

Vibration Analysis of Axially Moving Simply-Supported Beam

QI Ya-feng1, LIU Ning2, YANG Guo-lai2

(1.The No.92941stTroop of PLA, Huludao 125000, China; 2.Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

Axially moving systems are widely used in engineering, such as gun launching system, power transmission band, belt saws, aerial cable tramways, etc. If the bending stiffness is concern, this kind of systems can be modeled as axially moving beams and has important theoretical significance and engineering application value. A partial-differential equation governing the transverse vibration of an axially moving simply supported beam with lumped mass was derived from Euler-Bernoulli beam model. The governing equation was resolved to a set of second order ordinary differential equations using the Galerkin method. Then the equations were calculated based on Newmark-βmethod. The effect of the moving mass on the dynamic response of the axially moving beam was studied. The results show that the lumped mass arouses more vibration modes of the simply supported moving beam than that of free vibration. Further, it is found that the decrease of the moving speed of the mass along the beam increases the frequency components of the bean vibration. In addition, the vibration frequencies of the beam increase when the lumped mass moves toward the end point. The beam vibration frequency is low, and the vibration frequency is higher in the second half of the beam.

axially moving beam; moving mass; transverse vibration; vibration response

2016-08-05；

江蘇省自然科學基金(BK20140789)；中央高校基本科研業務費專項資金(30915118826)

齊亞峰(1979—)，男，主要從事艦炮實驗技術研究。

10.11809/scbgxb2016.12.029

齊亞峰，劉寧，楊國來.軸向運動簡支梁振動響應分析[J].兵器裝備工程學報，2016(12):126-129.

format:QI Ya-feng, LIU Ning, YANG Guo-lai.Vibration Analysis of Axially Moving Simply-Supported Beam[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(12):126-129.

TJ301

A

2096-2304(2016)12-0126-04

修回日期：2016-09-10