用彎矩分量求三次樣條插值函數的彎矩

劉遠鵬，劉光好，金少華

（1.河北工業大學 工程訓練中心，天津 300401；2.河北工業大學 土木工程學院，天津 300401；3.河北工業大學 理學院，天津 300401）

用彎矩分量求三次樣條插值函數的彎矩

劉遠鵬1，劉光好2，金少華3

（1.河北工業大學 工程訓練中心，天津 300401；2.河北工業大學 土木工程學院，天津 300401；3.河北工業大學 理學院，天津 300401）

根據參考彎矩圖解法原理，將相鄰節點函數差和節點函數的導數變換為側移分量和轉角分量．利用各區間轉角分量、側移分量與函數的二階導數形成彎矩-位移方程，以及連續梁支座相鄰兩跨轉角方程，結合連續梁彎矩圖的性質分析樣條插值函數，做參考彎矩圖；由此得到三次樣條插值函數的支座彎矩．通過算例說明未知量參考彎矩圖、荷載參考彎矩圖、轉角分量圖和側移分量圖的使用方法．

特征點；轉角分量；側移分量；參考彎矩圖；三次樣條插值函數

三次樣條插值函數有廣泛應用[1-3]，且有各種表達方法[4-5]，計算方法也多種．文獻 [4]則采用構造三角陣的逆陣方法簡化節點等距問題．通常可以將三次樣條插值函數比擬為連續梁的撓曲線；其二階導數視為連續梁的彎矩．因此三次樣條函數的二階導數分布就相當于無荷載作用有支座沉陷的抗彎剛度EI=1（本文采用無量綱）的連續梁彎矩圖．用力學計算這種連續梁方法很多，可以利用廣義圖乘法及其彎矩分量[4-7]分析連續梁的原理．利用連續梁彎矩圖和單跨梁彎矩圖（分別是結點位移彎矩圖和桿端位移彎矩圖．在不致混淆時的也簡稱為彎矩圖）的性質；求彎矩圖從而獲得結點彎矩，從而產生插值函數．整體計算過程簡單，力學意義清楚．其計算量也得到優化．

1 彎矩分量與連續梁結點轉角方程

首先分析節點區間內的插值函數（這相當于單跨梁的撓曲線）．如下常見表達式：

根據結構力學常用方式，對三次樣條函數的連續梁稱弦轉角為：

左右兩端的轉角分量[5-6]

統稱這3個量為梁彎矩的位移分量，即彎矩分量．稱梁內1/3點和2/3點分別為左特征點和右特征點[5-6]；設為L點和R點．利用式 (1)計算特征點的彎矩，與位移分量比較：

這2個方程是梁的彎矩-位移方程，是梁的普遍形式的簡化[5]．

因連續梁相鄰兩跨的桿端轉角分量表達式不同，但是桿端連接有相同轉角，則：

這個方程為連續梁的結點轉角方程[7]．

根據樣條函數的二階導數，相鄰兩跨的特征點彎矩Mk1+1/3、Mk1+2/3與桿端的彎矩Mk1、Mk有如下的關系：

由此可知，彎矩分量有2種，它們是特征點的彎矩分解．若梁的弦轉角和桿端轉角為正方向，那么彎矩分量可用圖1方法表示．

連續梁彎矩圖的性質：

1）區間內2個特征點的側移分量數值相同，分別在桿的上下兩側，與弦轉角方向一致．如圖1a）．

圖1 特征點上的彎矩關系Fig.1 Relationship ofmomenton characteristic point

2）轉角分量的方向分別與其所表示的轉角方向一致．如圖1b）．

3）在每個區間內，彎矩圖是直線，如圖1c）．

4）特征點的彎矩及其分量滿足梁的彎矩-位移方程和連續梁結點轉角方程．連續梁相鄰兩跨的轉角分，如圖1d）．

只要區間內插值函數是三次多項式；無論采用那種表達式等，上述性質都成立．而分析樣條函數過程中，對結點轉角的估計相當于對特征點的轉角分量的估計．

2 參考彎矩圖分解與彎矩分量圖

2.1 參考彎矩圖分解

計算過程中連續梁彎矩圖是用已知量和未知量共同表示的，則為區別稱其為參考彎矩圖（用M表示）．那么據線性關系，將參考彎矩圖M分解為[6]：

荷載參考彎矩圖是利用連續梁的支座位移和一個已知條件（一端的已知彎矩或轉角）計算形成；且表達式不含未知量．而未知量參考彎矩圖根據參考彎矩圖的未知量計算形成的彎矩圖；不含已知條件（位移條件或桿端彎矩條件）．其各彎矩表達式是x的一次齊次式．

荷載參考彎矩圖和未知量參考彎矩圖都是桿內無荷載的連續彎矩圖，則在每個彎矩圖內分別具有連續梁彎矩圖的上述4條性質．對于具體的計算過程來說，的值由已知的邊界條件和0到n的xk，yk的值確定；這樣對于來說yk的值全為0，則也全為0，帶入式 (6)、式 (7)后得，，根據公式后得．

根據三次樣條插值函數連續梁彎矩圖的上述性質，通過作參考彎矩圖方法求支座彎矩．將支座彎矩代入公式 (1)就生成區間內三次插值樣條函數．

2.2 彎矩分量圖與算例

已知函數值分布如表1所示[8]．

表1 節點數值Tab.1 Digiton point

根據支座位移計算側移分量：

將它們標在連續梁上形成側移分量圖，如圖2a）．

提取圖2a）和圖2b）的位移分量和轉角分量，根據式 (6)計算第1跨的L點彎矩：

作荷載參考彎矩圖．將1跨 L點彎矩標在連續梁上，如圖3a）．因最左端彎矩等于0，根據式 (9)、式 10，作第1跨參考彎矩圖直線，產生R特征點和右端的彎矩，如圖3a）．

根據式 (7)轉角分量

將其標在轉角分量圖上，如圖2b）．

利用結點轉角方程計算第2跨左端轉角分量，如圖2b）．

同理依次分析第2跨和第3跨的桿端彎矩和特征點的彎矩；依次產生各跨參考彎矩圖直線．同時得到轉角分量的分布．如圖2b）（稱其為轉角分量圖）．因此荷載參考彎矩圖如圖3a）所示．

根據未知量假設作未知量參考彎矩圖．

這個圖的A端轉角等于0，且無側移；則各個特征點彎矩等于轉角分量．

利用A端彎矩等于未知量x，A端轉角分量等于0作第1跨彎矩圖，如圖3b）．

利用特征點未知量參考彎矩與桿長成反比關系，則

圖2 彎矩分量的分布圖Fig.2 Distribution ofmomentcomponent

圖3 參考彎矩圖求三次樣條插值函數Fig.3 Reference BMD for cubic spine interpolation function

依次作第2跨、第3跨和第4跨的未知量參考彎矩圖，如圖3b）．

荷載參考彎矩圖與未知量參考彎矩圖相加形成參考彎矩圖．因第4跨的右轉角分量和側移分量是已知量，其和是R特征點彎矩；與參考彎矩圖的特征點彎矩比較表達式建立方程：

因此x=-2.028 6，計算各桿端的彎矩值，用式 (11)計算各桿端的支座彎矩：

最后結果與其它方法一致．

具體計算過程中，由于各個分量均有系數2，可以先將系數2提出，最后得到的數值乘以2以獲得各段點彎矩．這樣可以進一步簡化計算過程．

如果左端邊界條件與此例相同，那么所需未知量以及建立的參考彎矩圖的形式可不變；而依據右端邊界條件建立不同的方程．對于第2種邊界條件和第3種邊界條件也可以用類似的方法求解．

2.3 算例的MATLAB程序

S為邊界條件，com_la為側移分量，com_l為左端轉角分量，com_r為右端轉角分量，MF為荷載彎矩（l為左端，r為右端），Mx為未知量彎矩（l為左端，r為右端），M為每個結點的彎矩．

3 結論

本文利用連續梁參考彎矩圖解法形成分析計算三次插值樣條函數的連續梁結點彎矩方法．其中利用參考彎矩圖的兩個層次分解：荷載 未知量圖分解，以及彎矩位移分量圖分解．利用了梁的特征點的彎矩的側移分量、轉角分量，以及彎矩 位移方程和連續梁結點轉角方程．通過未知量參考彎矩圖、荷載參考彎矩圖、轉角分量圖和側移分量圖分析產生未知量方程，進一步得到三次插值樣條函數的連續梁結點彎矩．計算過程僅需一個未知量，具有明顯的并行計算特點．

[1]陳盛，趙東標，陸永華，等．基于二維輪廓點云的螺紋中徑計算 [J]．光學精密工程，2015，23（6）：1791-1799．

[2]常景娜，高慧斌，喬冠宇．一種基于傳感器的測量目標運動參數方法研究 [J]．傳感器與微系統，2015，34（11）：19-22．

[3]梁棟，劉良棟，何英姿．月球精確軟著陸最優標稱軌跡在軌制導方法 [J]．中國空間科學技術，2011（6）：27-35．

[4]Moon BS．Anexplicitsolution for thecubic spline interpolation for functionofasinglevariable[J]．Applied Mathematicsand Computation，2001，117（2-3）：251-255．

[5]劉光好，趙光鑒．剛架參考彎矩圖解法的側移問題 [C]//崔京浩．第十一屆全國結構工程學術會議論文集（VolⅠ）．長沙，2002：395-398．

[6]劉光好，張揚，王俊杰，等．連續梁支座反力、彎矩、位移及三支座反力方程 [J]．公路交通科技（應用技術版），2007，31（3）：106-108．

[7]Liu Guanghao，Yang Shaobin，LiuYuanpeng．Three-columniationendmomentequationof framewithsupportsinkageand angle[C]//2011INternationA l Conferenceon Remote Sensing，Environmentand Transportation Engineering（Vol5）．Nanjing,2011：4670-4682．

[8]朱曉臨．數值分析 [M]．合肥：中國科學技術大學出版社，2010：148-150．

[責任編輯 楊 屹]

Themomentcomponent formomentof cubic spline interpolation function

LIU Yuanpeng1，LIU Guanghao2，JIN Shaohua3

(1.Engineering Training Center,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China;2.SchoolofCivilEngineering and Transportation,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China;3.Schoolof Sciences,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China)

According to theory of referencebendingmoment,the difference of function atpointbetween neighbor points and derivative of function atnodeare translated into sideway componentand angle component.The sideway component, angle componentand the second derivativeof the function assemblemoment-deflection formula in each section.Themoment-deflection formulaand the cornerequation between adjacentspan on continuousbeam combinedw ith referencebendingmomentdiagram are used for solving Cubic Spline Interpolation function.The example in article illustrates using methodsof the load referencebendingmomentdiagram,theunknown referencebendingmoment,thesideway component and the angle componentdiagram for solving.

characteristic point;angle component;sideway component;reference bendingmomentdiagram;cubic spline interpolation function

TU311.4

A

1007-2373(2016)04-0093-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2016.04.015

2015-11-19

河北省高等學校科學技術研究重點項目（ZD2014051）

劉遠鵬（1984-），男（漢族），實驗師．

：劉光好（1948-），男（漢族），副教授．