基于微慣導隨機誤差時間序列建模的改進組合導航方法*

王鼎杰，呂漢峰，吳 杰

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

基于微慣導隨機誤差時間序列建模的改進組合導航方法*

王鼎杰，呂漢峰，吳 杰

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

針對低精度、低成本微機電慣性測量單元隨機誤差建模效果不理想會極大影響組合導航性能的難題，采用時間序列分析方法建立了微機電慣性測量單元隨機誤差的自回歸滑動平均模型，通過對卡爾曼濾波器的狀態變量進行增廣，建立系統動力學方程和觀測方程，實現對零偏誤差的在線估計。實測數據分析驗證了該隨機誤差建模的有效性。實測數據處理結果表明，該方法能夠顯著提高低成本微慣性解算外推精度，增強微慣性/衛星組合導航可靠性。

微機電系統；慣性測量單元；隨機建模；自回歸滑動平均；擴展卡爾曼濾波

不同于傳統捷聯慣性導航系統(Strap-down Inertial Navigation System, SINS)，微機電(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)慣性測量單元(MEMS-based Inertial Measurement Unit, MIMU)是一種基于微機電技術，具有小體積、輕質量、粗放制作、快速啟動、低成本、大批量、高可靠性等優點的航位遞推系統，這些優勢使得MIMU正廣泛應用于智能交通、微納衛星、小型無人機、自主機器人和智能彈藥等領域的導航定位[1-2]。MIMU面臨的主要困難在于其惡劣的輸出穩定性、熱敏感性和噪聲特性，這些惡劣的特性嚴重地限制了MIMU在高精度、高可靠導航領域中的應用。然而，MIMU的性價比和廣泛適用性優勢值得人們思考并設計有效的方法來進一步提高其導航精度、擴展其應用領域。

將慣性測量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)敏感載體(如車輛或飛行器)運動的視速度增量和角度增量積分可獲得其位置、速度、姿態等實時全維導航信息，但IMU測量值常被諸如傳感器噪聲、標度因子、零偏不穩定性等不同類型的噪聲所污染。慣性導航解算中的積分運算會將這些誤差累積，導致解算位置和速度顯著偏移，使MIMU難以做到長時間精確導航[3]。因此，導航狀態的精確估計要求對慣性測量噪聲進行精確建模。

目前，隨機噪聲的建模方法主要分為頻域方法和時域方法兩大類[4-5]。頻域法主要是使用功率譜密度(Power Spectral Density, PSD)函數估計噪聲在白噪聲激勵下的傳遞函數模型，該方法難以實時估計。時域隨機噪聲建模方法有自相關函數法、自回歸滑動平均(Auto-Regressive Moving-Average, ARMA)建模方法和Allan方差分析方法。自相關函數與功率譜密度函數是傅里葉變換對，故兩種方法完全對偶[4]。ARMA建模方法將自協方差與差分方程系數聯系起來，將隨機噪聲表示為ARMA過程。這種模型的優點是建模簡單，易于理解，從數據本身的相關性出發，但是模型對參數敏感且不適于處理奇功率譜過程、高階過程或大動態范圍的過程[5]。Allan方差分析方法則是把均方根(Root Mean Square, RMS)隨機誤差表示為相關時間的函數，該方法能夠確定數據噪聲中潛在的隨機誤差類型和特性，目前已經作為標準寫入激光陀螺噪聲分析的IEEE Standard[4,6]，該方法的缺點是噪聲建模維數過高，不利于后續處理。

為了提高MIMU自主導航精度，國內外學者在MIMU誤差在線標定、隨機誤差建模、補償和濾波等領域展開了大量研究工作。Xing[2]指出，低成本MEMS加速度計和陀螺儀零偏誤差可表示為加表和陀螺零偏量的隨機常數部分、一階高斯-馬爾科夫過程近似零偏以及零偏濾波增量三個隨機過程之和。Jacques等[7]采用高階自回歸(Auto-Regressive, AR)模型實現MIMU隨機建模。以上兩種方法均會擴大濾波器狀態維數，可能導致濾波不穩定甚至發散。Minha[8]采用ARMA模型分析了MIMU誤差源，但未給出隨機誤差模型的定量描述。文獻[9-11]利用ARMA模型分析微機電陀螺/光纖陀螺零偏，但未對模型進行動態實驗檢驗，且當信息量較大時，計算量增大、計算精度下降。目前，基于AR模型和高斯-馬爾科夫模型的低成本MIMU隨機誤差建模參與組合導航時，在全球導航衛星系統(Global Navigation Satellite System, GNSS)中斷10 s的條件下其單向外推精度為15 m(1σ)[8, 12]。

1 MIMU靜態數據ARMA建模

以z軸MEMS陀螺為例，其他軸向的加表和陀螺可采用相同方法分析，不再贅述。通過對MEMS陀螺z軸(敏感地球自轉角速度的軸向)靜態輸出數據扣除常數項后，得到的時間序列{xt}的物理意義是陀螺零偏噪聲。采用ARMA模型，將零均值平穩隨機序列{xt}表示為線性差分方程的形式：

xt-φ1xt-1-…-φNxt-N=at-θ1at-1-…-θMat-M

(1)

式中，N和M是ARMA(N,M)模型參數，at是白噪聲序列，φi和θj分別是模型AR部分和滑動平均(Moving Average, MA)部分參數，N表示模型階。

采用型號為ADIS16405的低成本MIMU來收集動態慣性測量數據，該MIMU性能參數見表1。

表1 MIMU噪聲參數Tab.1 Noise parameter of MIMU

1.1 數據特性檢驗

運用假設檢驗方法，可檢驗時間序列的平穩性與正態性，這是進行ARMA建模的前提。

1.1.1 平穩性檢驗

平穩性是指寬平穩性，即隨機過程的均值和方差為常數，且其自協方差函數只與時間間隔有關而不依賴時間長度。z軸陀螺靜態輸出時間序列散點圖如圖1所示，由圖1初步判斷該時間序列接近一個平穩序列。進一步對數據進行擴展迪基-富勒(Augmented Dickey-Fuller，ADF)單位根檢驗[13]，其檢驗統計量值為-110.175 3，小于ADF表中1%～10%水平的所有臨界值，因此拒絕原假設，認為原始序列是符合平穩性條件的。

圖1 z軸陀螺靜態輸出Fig.1 Static output of z-axis gyroscope

1.1.2 正態性檢驗

對原始數據進行Kolmogorov-Smirnov檢驗和Jarque-Bera檢驗[13]，檢驗結果如表2所示。由表2可知，兩種檢驗統計量均大于各自5% 水平的臨界值，因此拒絕接受該序列服從正態分布，即認為原始序列是不符合正態分布的。

表2 z軸陀螺靜態輸出數據正態性檢驗Tab.2 Normal probability test of z-axis gyro output

1.2 模型參數辨識

目前廣泛應用的時間序列建模方法有兩種[14]，一種是Box-Jenkins方法(簡稱B-J法)，另一種是Pandit-Wu方法(簡稱P-W法)。B-J法建?；谛蛄邢嚓P性分析，計算工作煩瑣。而P-W法是一種程序化的動態數據系統(Dynamic Data System, DDS)建模方法，采用的策略是ARMA(2n,2n-1)法實現階次和模型參數的程序化辨識，即n由低階向高階建模，當模型階次2n確定后，m=2n-1隨之確定。因此，把原來一個二維(n,m)搜索轉化為一維(2n,2n-1)搜索問題。由低階2n向高階2n+2的ARMA建模后，均需計算殘差平方和，根據殘差平方和是否有顯著減小來判斷是否繼續向高階建模。F檢驗或AIC準則均能用來判斷殘差平方和是否發生顯著減小。當每個階次的殘差平方和變化不大時，則選用低階模型。P-W方法建模流程如圖2所示。表3列出了采用P-W方法得到的系統階次和參數辨識結果。

由表3可知，當2n=2，AIC達到最小值-10.197 1且F檢驗量t(2,4)=0.505 0<2.995 7(F分布表中的F0.05(2, +∞)值)，即認為相應殘差平方和的下降已不顯著，由此判斷系統階次為2，相應的模型是ARMA(2,1)。

1.3 模型適用性檢驗

在完成ARMA(2，1)模型參數估計后，通過對ARMA(1，1)和ARMA(3，2)的建模殘差平方和進行F檢驗獲得更加合理的ARMA模型。用F檢驗法對ARMA(2,1)和ARMA(3,2)兩模型進行比較檢驗，顯著水平取α=0.05，t=-19.543 5<2.995 7。經檢驗，ARMA(2,1)比ARMA(3,2)適用。再將ARMA(1,1)和ARMA(2,1)進行比較檢驗，顯著水平取α=0.05，t=-10.190 5<2.995 7。經檢驗，可以得出ARMA(1,1)比ARMA(2,1)適用。

圖2 P-W法流程圖Fig.2 Scheme of P-W method

ARMA(2n，2n-1)AICt(2n，2n+2)AR(1，1)-10．19432887．9970ARMA(2，1)-10．19710．5050ARMA(4，3)-10．197113．9407ARMA(6，5)-10．1971-10．7150ARMA(8，7)-10．1971

基于此，工程實現中可選擇ARMA(1,1)為MIMU的z軸陀螺輸出數據的工程近似模型，即：

xt-1.000 0xt-1=at-0.999 4at-1

(2)

對ARMA(1,1)建模后的數據殘差做自相關性檢驗和偏相關性檢驗，如圖3所示。由圖3可知，擬合后的殘差基本可看作白噪聲，即ARMA(1,1)描述MIMU的z軸陀螺靜態輸出零偏誤差是適用的。同理，可對x，y軸MEMS陀螺和x，y，z軸加計零偏噪聲進行ARMA建模。

(a) 殘差自相關函數(a) Residuals autocorrelation function

(b) 殘差偏相關函數(b) Partial autocorrelation function of residuals圖3 建模適用性檢驗Fig.3 Autocorrelation test of ARMA residuals

2 基于ARMA模型的MIMU隨機誤差在線補償方法

當系統噪聲是不相關的白噪聲時，標準卡爾曼濾波狀態估計是最優估計。工程上常假設系統和觀測噪聲是高斯白噪聲，以簡化處理。但是噪聲實際特性不一定符合假設，這時得到的狀態估計是次優估計。此時，必須對噪聲特性進行分析，改進模型或白化有色噪聲，這是本文ARMA誤差建模的目的。

分析可知，通過對MEMS陀螺和加表的靜態輸出零偏誤差進行分析可構建MIMU的ARMA(1,1)模型描述MIMU噪聲數據的動態特性，由此可以基于擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)實現對GNSS/MIMU組合導航系統狀態的最優估計。

2.1 系統狀態模型

描述陀螺和加表(g=gyro，a=accelerometer)零偏特性的ARMA(1,1)差分方程為：

(3)

式中，下標“·”表示MIMU的x，y或z軸向分量。

對卡爾曼濾波器9個常用狀態量增廣，即增加MIMU的x，y和z軸向陀螺和加表零偏誤差狀態變量。增廣卡爾曼濾波器狀態量為：

δX=[δr1×3;δv1×3;δψ1×3;bgx,t,bgy,t,bgz,t;bax,t,bay,t,baz,t]T式中：δr1×3,δv1×3,δψ1×3分別表示位置誤差矢量、速度誤差矢量、姿態失準角矢量；bgx,t,bgy,t,bgz,t分別表示x軸、y軸、z軸方向的加表零偏；bax,t,bay,t,baz,t分別表示x軸、y軸、z軸方向的陀螺零偏。

(4)

(5)

(6)

wk表示系統動力學噪聲，其協方差陣Q為：

(7)

(8)

(9)

2.2 觀測模型

(10)

3 試驗分析

為了檢驗本文隨機誤差建模方法，基于靜態標定數據建立ARMA(1,1)模型，對一組車載試驗數據進行了處理。采用多頻GNSS-RTK精密相對定位定速結果，與MIMU提供的導航數據進行信息融合。

為了比較所提ARMA誤差建模方法的準確性，將假設陀螺零偏噪聲是白噪聲的傳統9狀態卡爾曼濾波組合導航方法與本文對零偏噪聲ARMA建模的15狀態卡爾曼濾波組合導航方法事后導航處理結果進行比較，并通過連續多次間斷10 s GNSS數據(事后處理即是把10 s的GNSS數據舍去)來評估ARMA誤差建模方法對MIMU導航性能的提升程度。不同陀螺零偏噪聲模型多次中斷10 s的組合導航結果如圖4所示。圖5表示了圖3和圖4中位置誤差在時間軸上的對比，由圖5可知整個實驗過程共有15處GNSS中斷。由圖4可知，將零偏噪聲ARMA建模后MIMU長時間導航精度顯著提高，表明零偏不符合白噪聲假設，在實際濾波過程中應進行ARMA建模，提高MIMU導航精度和能力。

對兩種結果進行分析和統計，以MIMU/GNSS組合導航事后處理結果[15]為參考值，將GNSS多次中斷10 s的組合導航結果與之比較，可以得到兩種噪聲模型下的導航誤差。對這15段GNSS中斷10 s的MIMU獨立導航誤差取出最大值，得到MIMU獨立導航10 s最大誤差如表4所示。

(a) 白噪聲假設下GNSS多次中斷10 s組合導航(a) Navigation results of the integration in multiple 10-second GNSS outage with white noise

(b) ARMA噪聲下GNSS多次中斷10 s組合導航(b) Navigation results of the integration in multiple 10-second GNSS outage with ARMA noise圖4 不同噪聲模型下GNSS多次中斷10 s的導航結果Fig.4 Navigation results of different noise model in multiple 10-second GNSS outage

圖5 圖3與圖4中組合導航位置誤差比較Fig.5 Navigation position errors between fig.3 and fig.4

表4 GNSS中斷10 s的MIMU外推最大導航誤差Tab.4 Maximum error of MIMU navigation performance with 10-second GNSS outages

由表4可知，MIMU長時間導航精度成倍提升，性能顯著增強。

4 結論

本文提出一種采用ARMA建模方法對低成本MIMU隨機誤差進行建模與在線補償的方法。該方法建立的模型能夠合理描述MIMU零偏特性，增廣卡爾曼濾波器可實現系統狀態的最優估計。從長時間(10 s) MIMU獨立導航精度提升效果來看，原來無法獨立使用的MIMU(位置誤差20 m，速度誤差8 m/s，姿態誤差5°)經過ARMA噪聲補償后，自主導航精度性能顯著提升(位置誤差10 m以內，速度誤差1.2 m/s以內，姿態誤差0.6°以內)，即基于此ARMA模型的卡爾曼濾波器能夠很好地估計并補償MEMS慣性傳感器的零偏噪聲。因此，所提出的ARMA建模方法以及濾波器設計方法能夠提升基于MEMS慣性傳感器的低成本導航系統性能，具有重要的工程實用價值。

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ARMA-based stochastic modeling method for improving the performance of low-cost MIMU/GNSS integration

WANG Dingjie, LYU Hanfeng, WU Jie

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

High noise and complicated errors caused by low-cost MIMU (micro-electro-mechanical system-based inertial measurement unit, MEMS-based IMU) have caused its stochastic modeling challenge, which may undermine the performance of inertial-based integrated navigation. In order to achieve accurate MEMS-based navigation, a stochastic modeling method called auto-regressive moving-average model for low-cost MEMS-based inertial sensors was proposed on the basis of time series analysis theory. This model was then expanded into the state variables of the conventional Kalman filter to establish the system dynamic equation and observation equation and to estimate the zero-bias online. Field test results indicate that the proposed algorithm can not only realize a highly accurate autonomous navigation for low-cost MIMU, but also provide reliability to the MIMU/GNSS integrated system.

micro-electro-mechanical system; inertial measurement unit; stochastic modeling; auto-regressive moving-average; extended Kalman filtering

10.11887/j.cn.201606011

2015-07-11

國防科技大學研究生創新資助項目(B140103)

王鼎杰(1990—)，男，山西長治人，博士研究生，E-mail：wangdingjie11@nudt.edu.cn； 吳杰(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：wujie_nudt@sina.com

V448.22+4

A

1001-2486(2016)06-064-06

http://journal.nudt.edu.cn