考慮空間幾何關系的反交會規避機動方法*

于大騰，王 華，周晚萌

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

考慮空間幾何關系的反交會規避機動方法*

于大騰，王 華，周晚萌

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

針對具有自主接近能力的航天器開展反交會規避機動方法研究。建立僅測角相對導航模型，對完全不可觀測機動進行定義，基于空間幾何關系推導并證明了完全不可觀測機動是不存在的。以施加規避機動后追蹤器對逃逸器的測量值與未機動時的差異為優化目標，利用矢量乘積原理設計目標函數，建立優化模型并對變量約束進行分析，隨后采用遺傳算法對最優規避機動方向進行優化。給出的仿真算例結果表明：提出的規避機動方向計算方法能夠使目標函數值達到最小，從而提升追蹤器對逃逸器的狀態估計難度，降低其估計精度。這為規避機動問題研究提供了一種新的視角，可為以主動接近航天器為新對象進行的規避研究提供有益借鑒。

最優規避；規避機動；可觀測性；遺傳算法；僅測角

隨著航天技術的不斷發展，特別是X-37B等一系列軌道轉移飛行器的成功試驗[1]，在軌航天器面臨的各種非合作主動交會目標的威脅逐漸增多。若僅依靠地面指揮中心提供的指令信息進行規避，在面對這些新增的具有自主接近能力的非合作航天器時，其規避的有效性和及時性將完全得不到保證。若在具有地面觀測預警的基礎上，增加航天器自主測量設備，在地面對航天器給出預警警報的基礎上，通過對空間目標的自主觀測，依靠其軌控與姿控發動機進行近距自主規避，與純粹依靠地面提供的遠距規避方案相比，將極大提升規避效果。因此開展在軌航天器規避機動方法研究是重要和必需的。

在導彈領域，很多學者對最優規避機動問題進行過研究[2-6]。Forte等[7]將三維空間內的非線性規避進行了等價線性化轉化，構建了垂直于來襲導彈接近矢量平面的bang-bang結構平面，并在此平面內進行了最優規避機動策略分析。Shinar等[8]利用線性動力學與受限加速度模型對追蹤器與逃逸器進行了分析，基于導彈相對動力學與相應的導航增益推導得到了關于轉換方程與脫靶量的閉環形式解。在航天領域，規避機動問題也得到了很多應用。Patera等[9-11]首先對碰撞概率進行了定義，并基于該概率提出了相應的規避策略。Kelly等[12]利用非線性優化技術提出了一種最優交會逃逸機動方法。Bombardelli等[13]構建了機動點與預測碰撞點之間關于距離的函數，通過最大化脫靶量得到了機動施加方向。王華等[14]利用分布迭代方法計算機動方向與大小，得到了固定機動方向和不固定機動方向兩種情況下的最優規避機動。以上文獻進行了饒有價值的研究，豐富了最優規避理論，但同時也存在一定的不足。目前絕大多數規避方法都依據傳統的規避機動指標——碰撞概率和脫靶量進行規避設計，同時以理想測量為假設，不考慮實際導航精度，而導航是實際工程中必須要考慮的一個重要內容。

在僅測角導航時，追蹤器和逃逸器兩者施加的機動會改變空間相對幾何關系，并對系統的可觀測性造成影響。Nardone和Hammel等[15-16]已經證明了某些特定機動可以提升系統的可觀測性。Woffinden等[17]定義了可觀測條件并從幾何空間的角度推導得到了機動與系統可觀測性的關系。Vallado[18]進一步指出相對運動的差異性與系統的可觀測性成正相關。Grzymisch等[19]在追蹤器機動時對系統可觀測性進行了推導，得到了不可觀測機動的存在條件。文獻[20]將系統可觀測性進行量化，提出可觀測度的概念，并根據可觀測度進行優化，從而得到最優規避機動方向。

本文以逃逸器原軌道為標稱軌道，將同時機動的兩航天器復雜模型轉化為單一目標機動的簡單問題進行分析，提出一種基于空間幾何關系，對系統可觀測性指標進行分析，進而求取最優規避機動的反交會規避機動方法。

1 空間軌道機動與相對運動可觀測性分析

在研究的空間軌道規避問題中，假設追蹤器通過脈沖機動主動對逃逸器進行接近，而逃逸器按照一定的指標進行規避機動，從而達到對追蹤器進行規避的目的。在以下分析中，假設兩航天器的初始時刻的相對狀態是已知的。

若初始時刻追蹤器與逃逸器相距較遠(≥100 km)，由于雙方的非合作性，此時相對距離信息將難以通過自主測量實時得到，通常追蹤器會采用僅測角信息進行自主導航。一般來說，光學相機是比較通用的測量裝備，相對測量關系如圖1所示。其中，坐標系的x軸沿軸線方向，y軸指向速度的反方向，z軸與其他兩軸成右手坐標系。

圖1 相對測量關系Fig.1 Relationship of relative measurement

1.1 僅測角導航

假設追蹤器與逃逸器初始軌道均為近圓軌道，且兩者之間的相對距離遠小于逃逸器的地心距。因此，可以使用C-W方程來描述兩航天器的相對運動。以t0為初始時刻，則任意t時的解[21]可表示為：

(1)

其中，Φ為狀態轉移矩陣，X為相對狀態，u為推力加速度，Φ和Φv的表達式為

若追蹤器采用脈沖變軌方式，且在t0時施加的脈沖矢量為Δv，則追蹤器在t時刻的相對狀態Xt可表示為：

Xt=Φ(t,t0)Xt0+BΔv

(2)

對于采用光學相機進行僅測角測量，令測量坐標系與追蹤器軌道坐標系重合，則逃逸器在測量坐標系中的相對位置rPE=[xPEyPEzPE]T與測量值之間的關系為：

(3)

其中，ε和θ分別是測量獲得的俯仰角和方位角。經過線性化轉化，式(3)可以轉化為：

H(y)Xr=0

(4)

其中，Xr為相對狀態中的位置量，H(y)的具體表達式為：

(5)

通過以上線性化轉化，即建立了相對狀態與測量信息的線性化關系。

1.2 相對運動可觀測性分析

在追蹤器以僅測角進行導航時，一般是在一定的先驗信息基礎上，根據測量得到的角度信息進行航跡規劃。因此，若逃逸器施加規避機動后，追蹤器對其進行測量的測角信息與未機動時相同，則追蹤器將難以及時分辨逃逸器是否進行機動，此時的逃逸器狀態可視為不可觀測。故基于兩航天器的空間幾何關系，可有如下定義：

定義 若逃逸器施加一個非零的規避機動，使以后任意時刻追蹤器對其的角測量值與未機動時保持一致，則稱該機動為完全不可觀測機動。

圖2 完全不可觀測機動示意Fig.2 Completely unobservable maneuver

然而完全不可觀測機動僅為理想幾何假設，如圖2所示的完全不可觀測機動可以證明是不存在的。

定理 追蹤器與逃逸器初始相對位置為任意非零值時，完全不可觀測機動不存在。

證明： 假設逃逸器存在非零的完全不可觀測機動uE，令t0為初始時刻，以初始兩個時間步長t1和t2為例，施加規避機動的逃逸器與未機動軌道的相對位置為：

XEr1=BruE

(6)

XEr2=ΦpBuE

(7)

假設t0時，追蹤器與逃逸器的初始相對狀態為XP0，且位置分量不為零，則有

XPr1=ΦpXP0

(8)

(9)

根據式(4)，再結合完全不可觀測機動定義，可以得到

H(y1)XPr1=H(y1)XEr1=0

(10)

H(y2)XPr2=H(y2)XEr2=0

(11)

即

H(y1)(BruE)=H(y1)(ΦpXP0)=0

(12)

(13)

由解空間的性質不難得出

BruE=α1(ΦpXP0)

(14)

(15)

其中，αi為任意非零實數。

因此，若使完全不可觀測機動存在，只需式(14)、式(15)成立即可。

由式(14)可得：

(16)

將式(16)代入式(15)以及由式(15)的下一個時間步長所得到的式子中并整理，可以得到：

(17)

(18)

其中，κi=αi+1/αi。

若使式(17)、式(18)成立，又Φp為線性變換，則在初始相對位置為任意非零值，即XP0存在任意非零解時，必有κ1=κ2≡κ。式(17)即

(19)

(20)

(21)

將κ=1代入式(20)，可以得到：

(22)

令XP0=[XPr0XPv0]T，由式(21)和式(22)可知，XPv0取值不對等式結果造成影響。而當XPr0為任意值時，不能保證滿足等式條件，僅XPr0=0時式(21)恒成立，即和追蹤器與逃逸器初始相對位置為任意非零值這一條件相違，故定理得證。

雖然在理想測量情況下完全不可觀測機動是不存在的，但實際規避過程中如果規避后的軌道與原軌道之間的相對運動軌跡產生的測量角改變值接近或者小于測量精度，則追蹤器同樣難以識別逃逸器是否機動，即可將其視為完全不可觀測機動的相似解。可以這樣理解，施加的機動所引起的測角變化越小，則追蹤器進行機動識別的難度越大，亦即以可觀測性為規避指標時，該規避機動越優。

2 最優規避機動方向計算

2.1 優化模型

(23)

圖3 矢量標量積示意圖Fig.3 Scalar product of vector and scalar

為便于利用優化算法尋找極值，將式(20)取負，則新的目標函數可表示為：

(24)

DVopt=[ε,θ]T

考慮追蹤器與逃逸器兩者的空間幾何關系，優化機動的取值范圍應滿足：

為對問題進行簡化，下面將通過分析進一步縮小優化變量取值范圍。在目前的交會對接技術條件下，追蹤器一般采用共面的方式，利用脈沖變軌對逃逸器進行接近，這種方式都屬于低速交會。由于空間兩航天器進行相對運動時，異面相對運動的可觀測性要遠大于共面的可觀測性[18]，因此逃逸器的規避機動脈沖也應使規避后的軌道面處于原軌道面附近，即有

2.2 遺傳算法優化

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是自然遺傳和擇優選擇相結合的搜索算法，具有一定的靈活性與魯棒性。近年來在計算機網絡、電子電信以及航空航天等諸多領域得到了廣泛的應用。因此，選擇遺傳算法進行優化。

遺傳算法計算流程具體步驟如下所示。

步驟1：根據2.1節中的變量約束進行種群初始化。

步驟2：計算式(24)中的目標函數值。

步驟3：選擇適應度高的個體，并判斷是否符合終止條件，如果滿足則算法結束，如果不滿足，繼續進行迭代。

步驟4：返回步驟2，通過交叉變異產生下一代新種群，繼續計算。

3 數值仿真

本節利用MATLAB對算法的有效性和正確性進行了驗證。

設逃逸器初始軌道為400 km圓軌道，追蹤器與逃逸器在t0時刻的初始相對狀態為XP0=[79 933.5 m -57 232.0 m 0 m -111.35 m/s23.8 m/s 0 m/s]T，追蹤器測量頻率為0.1 Hz，取逃逸器規避脈沖大小Δv=3 m/s。若逃逸器針對初始時刻之后的1000 s時間內的軌跡進行規避機動，總觀測次數為101次，則目標函數的理想值為101。

利用遺傳算法進行最優規避機動優化。設初始種群數量為80，算法最大迭代數為第30代，仿真結果如圖4所示。

圖4 遺傳算法優化結果Fig.4 Optimization result of GA

圖5 不同情況下的方位角θ測量值Fig.5 Measurement of azimuth θ in different condition

可見，在第15代之后結果即已經收斂，達到的最大目標函數值為100.999 1，最優規避機動方向DVopt=[0 -3.231]T。為驗證優化所得規避機動方向的可觀測最優性，隨機選取兩個規避機動方向DA=[0 -2.231]T和DB=[0 -1.571]T，首先對追蹤器與逃逸器的相對運動測量情況進行仿真，由于面外機動分量為零，因此俯仰角變化為零，而不同情況下的方位角變化情況如圖5所示。圖6則將施加不同機動時方位角測量值與未機動時的方位角測量值之差進行了對比。

從圖5和圖6可以看出，基于可觀測性的最優規避機動方向所產生的測角與未機動時測角的偏差遠優于其他機動方向。當追蹤器測量精度小于0.01 rad時，甚至難以分辨逃逸器是否進行機動。

圖6 不同機動情況下與未機動時方位角θ測量值的差Fig.6 Measurement difference of azimuth θ between different maneuvering and non-maneuvering

下面通過仿真進一步說明基于可觀測性規避機動對狀態估計的影響。采用4階Runge-Kutta法進行數值仿真，對不同情況下的誤差傳播矩陣進行仿真分析。假設初始協方差矩陣為：

P0=diag(20002,20002, 20002,52,22,12)

其中，前三個量的單位為m，后三個量的單位為m/s。

仿真得到的追蹤器與逃逸器相對運動軌跡及估計誤差橢圓的演化情況如圖7所示。誤差橢圓的長軸表征了相對狀態估計的精度，長軸越長即估計精度越低，反之，則估計精度越高。同時，需要指出的是，由于角度測量的相互性，當追蹤器與逃逸器的測量能力相同時，按照該方法進行規避機動會使逃逸器與追蹤器的測量精度同時提高或降低。

圖7 軌道面內相對運動及估計誤差橢圓Fig.7 Relative motion in-plane and estimation error ellipse

由圖7可以看出，由機動方向B造成的估計誤差橢圓明顯小于其他三種情況，為便于詳細比較，將1000 s時另外三種情況下的終端誤差橢圓長軸大小列于表1中。由圖7和表1可以看出，采用最優機動進行規避可使估計誤差橢圓長軸長度大于不機動或者隨機機動方向所產生的誤差橢圓長軸長度。因此，基于可觀測性的最優規避可使追蹤器估計誤差變大，即降低其導航精度，而不當的規避會使估計誤差甚至小于無機動的情況，不利于后續規避。需要指出的是，遺傳算法僅為一種可能的尋優方法，若日后用于工程應用，則應選取其他高效優化方法甚至是求取其解析解來適應星上在軌計算能力。

表1 不同情況下的終端誤差橢圓長軸長度Tab.1 Long axis length of estimation error ellipse in different cases m

4 結論

對于空間兩航天器的規避機動問題，本文探討了一種可行的新思路。在給出的僅測角相對導航模型下，基于空間幾何關系對完全不可觀測機動的不存在性進行證明，隨后設計了最優規避機動方向計算方法，并利用遺傳算法對最優規避機動方向進行優化。由仿真算例可知，逃逸器按照提出的基于可觀測性的最優規避機動方法進行規避可使追蹤器對自身的測量值與未機動時差異最小，提升追蹤器狀態估計難度，增加其軌道重規劃反應時間。

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Anti-rendezvous evasive maneuver method considering space geometrical relationship

YU Dateng, WANG Hua, ZHOU Wanmeng

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

An anti-rendezvous evasion maneuver method was proposed in order to escape from the spacecraft that has autonomous approaching ability. A bearing-only relative navigation model was built and the definition of absolutely non-observable maneuver was proposed. After some algebra, it was proved that the absolutely non-observable maneuver is non-existent. Based on that, an object function using vector multiplication was designed to find the minimum of measurement difference during the evasion. An optimization model was established and the variable bound was given so that the minimum of the object function could be obtained by the Genetic Algorithm. The numerical simulation was conducted with different maneuver impulse. The result shows that the proposed method can minimize the measurement difference between evasive maneuver adopted and evasive maneuver ignored. The method presented offers a new viewpoint for evasion maneuver research.

optimal evasion; evasive maneuver; observability; genetic algorithm; bearings-only

10.11887/j.cn.201606015

2015-06-02

國家自然科學基金資助項目(11572345)；國家重點基礎研究發展計劃資助項目(2013CB733100)

于大騰(1988—)，男，安徽阜陽人，博士研究生，E-mail：ydt236500@126.com； 王華(通信作者)，男，副研究員，博士，碩士生導師，E-mail：wangh@nudt.edu.cn

V412.4

A

1001-2486(2016)06-089-06

http://journal.nudt.edu.cn