響應面法用于磨機傳動系統扭轉振動模型修正*

陶 征， 劉 旭， 郭勤濤

(1.鄭州大學機械工程學院 鄭州，450001) (2.南京航空航天大學機電學院 南京，210016)

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響應面法用于磨機傳動系統扭轉振動模型修正*

陶 征1， 劉 旭1， 郭勤濤2

(1.鄭州大學機械工程學院 鄭州，450001) (2.南京航空航天大學機電學院 南京，210016)

大型設備傳動系統的扭轉振動影響系統的正常工作，嚴重時會導致系統損壞，避免共振是緩解扭轉振動的有效手段，針對此問題，以某大型磨機設備為研究對象，建立以響應面法的有限元模型修正理論為基礎的方法。通過扭轉振動分析，經顯著參數篩選，以顯式的響應面模型逼近特征量與設計參數間復雜的隱式函數，對傳動系統有限元模型可能存在的誤差進行修正。在獲得較精確模型的基礎上，對其傳動系統進行了基于響應面的優化設計，調整系統的模態頻率，使其有效避開了系統的工作頻率，實現了傳動系統的優化，表明以響應面法的有限元模型修正方法對傳動系統設計具有參考價值。

傳動系統； 響應面法； 模型修正； 扭轉振動

引 言

隨著機械工業技術的進步，機械設備的設計水平在不斷提高，其傳動系統也越來越復雜。如果傳動系統設計不合理，就有可能使機械傳動系統產生較大的扭轉振動而損壞，使機械設備無法正常工作，甚至出現嚴重后果。美國馬凱德水泥廠就曾經因為傳動系統設計的不合理使其所用的設備產生共振[1]。重慶地維水泥公司的球磨機傳動系統也出現過劇烈的振動現象[2]。

基于有限元模型修正的方法對傳動系統扭轉振動的動力學特性進行分析，成為優化設計、提高機械設備整體動態性能的一個基本方法。基于響應面的有限元模型修正方法是近年來有限元模型修正技術新的研究方向[3-6]，其以顯式的響應面模型逼近特征量與設計參數間復雜的隱式函數關系，可以更好地解決傳動系統中存在的不確定參數這一問題，同時修正過程運行快、效率高。

筆者針對某大型磨機在設計過程中要求避免產生共振的問題，首先，通過建立其傳動系統的有限元模型，以實際磨機的固有頻率為目標，基于響應面法對其有限元模型進行了模型修正，獲得精度較高的有限元模型；然后，通過坎貝爾圖確定系統共振頻率的半功率共振區，進而對有限元模型進行新的目標參數優化，從而使得在新的設計參數下的磨機系統共振頻率有效的避開了主要工作頻率，最終達到了解決磨機在工作過程中產生共振問題的目的。

1 理論基礎

基于響應面的有限元修正法包含的理論基礎主要有試驗設計、參數篩選、響應面擬合及參數修正[7-8]。

1.1 顯著性參數篩選

響應面的輸入參數應是具有對特征量有顯著影響的設計參數。顯著參數的篩選方法是以試驗設計為基礎，在參數的設計空間內確定樣本點，利用樣本點進行有限元分析計算獲得樣本值，并對其進行方差分析，進而達到確定影響系統特性的顯著性參數的目的。筆者以模態頻率為指標，挑選顯著參數作為待修正對象。

常用的試驗設計方法有D-最優設計、正交設計、均勻設計、拉丁方設計及中心復合設計等[9]。運用正交設計方法和均勻設計方法擬合低階模型可獲得良好的精度，同時它們還具有直接通過表格設計的簡單高效的特點，所以筆者采用正交設計和均勻設計相結合的方法，來進行參數的篩選和響應面擬合。

方差分析用于檢驗因素是否顯著影響試驗結果。其基本思想是計算由各個因素引起的離差平方和及由誤差引起的離差平方和，然后除以各自的自由度，求出它們的比值(F值)進行假設檢驗。假設對有限元模型的設計參數X(因素)進行F檢驗，統計量則為

(1)

其中：SX，SE分別為因素和誤差的離差平方和；fX，fE分別為因素和誤差的自由度。

1.2 響應面擬合

在有限元模型修正中，通常以二次多項式作為響應函數，其表達的曲面即為響應面。假設系統的特征量y為因變量，設計參數為xi，i=1，2，…，k，含交互項的二次多項式響應函數形式為

(2)

若樣本點不足，可以通過試驗設計增加新的樣本點，進而在有限元模型中計算樣本值，然后將所有樣本數據代入式(2)，通過最小二乘法獲得系數β的估計

(3)

解式(3)可得β值，即得到響應面函數表達式。為進一步提高響應面的精度，采用了含交互項的三次多項式作為響應函數。根據下列公式進行響應面精度檢驗

R2值表示響應面模型與有限元模型之間的差異程度，值越大，二者差異越小。RMSE的值與R2值相反。若檢驗后的精度不符合要求，則需要增加樣本點數。

1.3 參數修正

有限元模型修正可歸結為以下優化問題

s.t.VLB≤p≤VUB

(6)

2 磨機傳動系統扭轉振動分析

某大型磨機的傳動系統如圖1所示。其中：1為電機；2為電機端高速聯軸器；3為減速器端高速聯軸器；4為減速器；5為減速器端低速聯軸器；6為小齒輪軸聯軸器；7為小齒輪；8為磨機(包括磨機筒體、大齒輪及載荷)。

圖1 某磨機傳動系統簡圖Fig.1 The transmission system diagram of a mill

2.1 初始有限元模型的建立

當量扭轉系統是研究傳動系統扭振問題應用最為廣泛的一種模型，它將系統中各部件作為集中質量考慮，通過扭轉剛度連接，構成單一軸線的當量扭振模型[10]。建立當量模型時，原系統各部件參數可向任一傳動軸等效轉換，但需要按轉換前后系統的動能和勢能保持不變的原則，來確定轉換后模型中各部件的參數。參數的等效方法依照式(7)和式(8)

(7)

(8)

其中：Ir，Kr分別為第r軸上的轉動慣量和扭轉剛度；Is，Ks分別為等效到第s軸上的轉動慣量和扭轉剛度；ur-s為第r軸和第s軸的轉速比。

筆者使用有限元軟件PATRAN建立傳動系統的集中質量有限元模型，該模型共有8個轉動慣量和7個扭轉剛度，分別為依照式(7)、式(8)等效到高速電機軸后各個部件的轉動慣量及其之間的扭轉剛度，如圖2所示。

圖2 某磨機傳動系統歸一化扭振模型
Fig.2 The normalized torsional vibration model

2.2 模型的修正

對于待修正參數的選擇，由于傳動系統各部件在幾何參數和材料確定后，所有的轉動慣量J1～J8以及軸的扭轉剛度K1，K3，K4，K6都可以確定，但是在傳動系統復雜工況下，聯軸器的扭轉剛度K2，K5及齒輪嚙合剛度K7具有存在誤差或不確定性，所以被選作待修正參數，分別用A，B，C表示。利用正交設計方法，確定各組樣本數據，基于方差分析得出了所有模態的顯著性參數篩選結果，見表1(取顯著水平α=0.05)。

表1 顯著性參數篩選結果

Tab.1 The result of significant parameters selection

模態階次顯著性參數1ABC2ABC3AB4A5C6C7B

擬合含交互項的三次多項式響應函數，至少需要13組樣本數據，但是由于之前正交設計確定的樣本數據只有9組，于是筆者又采用均勻設計方法確定新的樣本數據，最終擬合響應面的樣本數據增至20組。以模態頻率為因變量，以3個待修正參數為自變量，擬合含交互項的三次多項式響應函數。由于設計空間范圍過小，會造成樣本點代表性不足，影響響應面的精度，也會造成目標值不在響應面所表示的范圍內，造成修正結果失效的問題。圖3是第1階模態頻率的直觀響應面曲面，[-1,1]是參數歸一化空間，從圖中可以看出在參數設計空間內，該階模態頻率的實測值6.26 Hz在響應面表示范圍5.6～6.4 Hz內，表明參數的設計空間范圍是合理的。

圖3 第1階模態頻率的響應面Fig.3 The response surface of first order modal frequency

以磨機產生振動的實測模態頻率作為目標值，基于響應面并通過Matlab對初始有限元模型進行修正。修正的結果見表2。從表2中可以看出，7階模態頻率的最大誤差由-7.03%降為4.24%，均方誤差由5.21%降為2.01%，說明有限元模型的精度有明顯改善，更接近實際傳動系統的情況。

表2 修正前后頻率及誤差

Tab.2 The frequencies and errors before and after the updating

模態階次目標值/Hz初始值/Hz修正后值/Hz初始誤差/%修正后誤差/%16．265．826．15-7．03-1．76224．2925．9325．326．754．24370．3268．8371．86-2．122．194171．40163．42170．61-4．66-0．465216．29217．47214．860．55-0．666443．91419．27448．53-5．551．047562．74528．15566．82-6．140．73

2.3 模態頻率的調整

判斷系統是否共振的一種方法是基于坎貝爾圖，觀察系統工作頻率是否落在了半功率共振區[11]。考慮到阻尼比為0.1時發生共振的半功率帶寬約是±10%，所以由系統實際的固有頻率及系統的工作頻率得到傳動系統的坎貝爾圖如圖4所示。傳動系統小齒輪工作頻率2.8及53.55 Hz的2倍頻及3倍頻與第1、第4階模態有沖突(圖中橢圓圈住部分)，此外第2、第7階模態與磨機筒體工作頻率9.52 Hz的3倍頻以及減速器工作頻率314 Hz的2倍頻有沖突的危險，因此需要提高第1、第4階模態頻率，以避開系統工作頻率，同時也要避免第2、第7階模態頻率與工作頻率沖突的發生。

圖4 傳動系統的坎貝爾圖Fig.4 The Campbell diagrams of transmission system

再次通過基于響應面的有限元修正方法，選擇出對第1，2，4，7階模態影響顯著的可調參數J2，J3，K2，J5，J6及K5等，即聯軸器的轉動慣量與扭轉剛度，在參數設計空間內確定樣本數據，擬合響應面。以第1、第4階頻率提高后的4階模態頻率為目標值，以聯軸器的轉動慣量與扭轉剛度為待修正參數，基于響應面并通過Matlab對新的有限元模型再次修正，得到修正過程中參數變化曲線如圖5所示。

圖5 參數變化曲線Fig.5 The changing curves of parameter

修正后的頻率見表3。從表3可以看出，修正后的第1、第4階模態頻率得到提高，分別由6.15，170.61 Hz增至6.62和184.39 Hz。雖然其他模態也有變化，但都避開了系統的工作頻率，遠離半功率共振區。將修正后的聯軸器各參數等效值按式(7)、式(8)換算為實際值，其結果及相對調整量見表4，根據優化設計后的聯軸器各參數值調整磨機傳動系統，結果表明磨機運行穩定，避免了共振現象的發生。

表3 修正后頻率及相對改變量

Tab.3 The frequencies after updating and the values of relative change

模態階次修正后值/Hz相對改變量/%16．627．64225．330．04376．676．694184．398．085210．84-1．876444．24-0．967564．09-0．48

表4 優化前后聯軸器各參數值及調整量

Tab.4 The values of coupling parameters before and after optimization and adjustment

可調參數修正前修正后調整量/%轉動慣量/(kg·m2)J237．236．5-1．88J366．864．3-3．74J598．7112．914．39J696．3111．315．58扭轉剛度/((N·m)·rad-1)K21．31×1071．63×10724．43K55．63×1086．05×1087．46

3 結束語

響應面模型可以準確地反映設計參數與特征量之間的關系，有效替代有限元模型，避免每次迭代修正都要進行有限元分析，具有快速運行模型的特點。將響應面法應用到機械傳動系統扭轉振動的研究上，從不確定性因素中合理選取顯著參數，以實測共振模態頻率為依據，進行模型修正，進而對傳動系統進行優化。實踐表明，優化后的磨機運行穩定，性能良好，達到了工程要求。針對大型機械傳動系統扭振問題，若在設計和研制階段就利用上述方法對其進行分析，可以為設備良好的可靠性及動態性能提供保證。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.06.029

*江蘇省工程力學分析重點實驗室開放基金資助項目；鄭州市普通科技攻關計劃資助項目(131PPTGG409)

2014-11-24；

2015-01-09

TH113； O327

陶征，男，1970年7月生，博士、講師。主要研究方向為超聲電機及機械結構的動力學分析。曾發表《基于ANSYS的CX8075加工中心底座的優化設計》(《振動、測試與診斷》2012年第32卷第6期)等論文。 E-mail：taozheng@zzu.edu.cn