等效重力法有妙用求單擺周期顯奇能

華峰

大家都知道，在地球重力場中單擺的振動周期公式是T =2π.可是我們遇到的問題常常是求解單擺在不同條件下的周期，要簡捷、順利地求解此類問題，采用類比的方法，利用等效重力求解有奇效.下面舉例分析，希望同學們能夠從中受到有益的啟示.

一、由于重力加速度變化而引起的周期變化

【例1】單擺在半徑為R1、質量為m1的地球表面的周期為T1，若通過宇宙飛船帶到半徑為R2的另一顆星球表面時，其周期為T2，試求兩種情況下的周期之比.

解析：根據萬有引力定律有= m′g，再根據單擺周期公式T =2π可得，=.

一般來說引起重力加速度變化的原因有：緯度的變化、高度的變化、場環境的變化，為此可將單擺運動知識與萬有引力知識、天體運動知識結合起來求解.

二、由于擺球受到浮力而引起的周期變化

【例2】用一根長為l的細線懸掛一個密度為ρ的小球，并將其放在密度為ρ0（ρ0 < ρ）的液體中，不計液體對小球的運動阻力，試求小球在平衡位置附近做小幅振動的周期.

解析：將重力mg = ρgV和浮力F = ρ0gV（V為小球的體積）合成一個等效重力mg′，則有mg′= ρgV- ρ0gV，即g′= （1-）g.

由此可得小球的振動周期為T =2π=2π.

三、由于單擺處于非慣性系中而引起的周期變化

【例3】如圖2所示，沿平直軌道以加速度a做勻速直線運動的車廂中，用一根長為l的細線懸掛一質量為m的小球，求小球在平衡位置附近做小幅振動的周期.

解析：小球在相對車廂靜止時，根據物體受力平衡得到等效重力mg′為mg′=，即mg′=m，則g′=.

故此可得小球的振動周期為T=2π=2π.

【例4】如圖3所示，將一單擺掛于小車上，將小車放于一輛傾角為θ的斜面上，當小車在斜面上加速下滑時，擺線與豎直方向的夾角也為θ.已知擺球直鏈狀為m，擺長為l，重力加速度為g，求此單擺的周期及小車與斜面間的動摩擦因數.

解析：由圖示可知小車運動過程中，擺線的拉力F = mgcosθ，則g′ = gcosθ，故T =2π.

再由受力分析可知，動摩擦因數μ = 0.

一般這些階段的非慣性系系統指處于勻變速直線運動的力學裝置，在此前提下就可用類比法快速求解此類問題.

四、由于單擺處于勻強電場中而引起周期的變化

【例5】將一帶電擺球置于一水平向右的勻強電場中，如圖4所示.擺球靜止時與豎直方向之間的夾角為α，已知擺球質量為m，擺長為l，帶電荷量為Q.現若將擺球拉離靜止位置一個很小的角度釋放，求其振動周期；若要使擺球擺到豎直方向時速度為零，應將擺球拉離豎直方向一個多大的角度？

解析：擺球靜止在平衡位置時的拉力F=，則g′=，故此擺球的振動周期為T=2π=2π.

一般當單擺處于勻強電場中時，由于所受的電場力為恒力，與重力的合力仍為恒力，運用類比法求解簡捷、快速.

五、單擺周期公式的拓展運用

【例6】有一擺鐘在地面上走時準確，其標準周期T0 = 2s，現將其移到高山上，發現它一晝夜慢了1min，求此山的高度.已知地面重力加速度g0=9.8m/s2，地球半徑R0=6400km.

解析：設擺鐘在標準時間內的振動次數為N，則其在標準時間內指示的時間t=N·T，在標準時間內慢的時間就應為△t=N·△T，其中N=，△T=T-T0.

再由=（），代入已知數據可解得h=4450m.

由上述解題過程可歸納出一個有用的結論：鐘在標準時間里指示的時間與擺振動的次數成正比，跟鐘擺的振動頻率成正比.寫成比例關系式為：=====.據此可根據題目的特點，達到快速、簡捷求解的目的.

【例7】豎直放置的光滑圓弧形球面半徑R較大，在弧面中心O正上方高h處放置一個小球A，當A自由下落的同時，另一個小球B從球面某處C（OC弧遠小于半徑R）由靜止開始滾下，為時兩球相碰，h應滿足什么條件？

解析：根據題意，小球B在光滑圓弧面上滾動等效于單擺，擺長即為圓弧半徑，周期T=2π，考慮到單擺運動的周期性，由相碰的條件有（2n-1）=，解得h=R（n= 1，2，3，…）.

一般類單擺模型的計算，主要是求解其等效擺長或等效重力加速度.

練習

1. 已知北京的重力加速度g1=9.812 m/s2，南京的重力加速度g2=9.795 m/s2，在北京準確的鐘擺，如果放在南京，鐘將走慢還是走快？一晝夜差多少？要使其走時準確，如何調整擺長？

2. 如圖5所示，一個質量為2m的球體A套在光滑水平桿上，用一長為l的小球B與A連接，約束A球，將B球拉離豎直方向一個很小的角度，釋放B球的同時撤去A球的約束，之后A、B兩球都將做簡諧運動，試求A球和B球的周期.

3. 如圖6所示，半徑為R=10m的光滑凹球面容器固定在地面上，有一小木塊在距容器最低點P=10cm的C點，由靜止無摩擦滑下，則小木塊自靜止滑下到第二次通過P點時所經歷的時間為多少？若此裝置放在以加速度a向上運動的實驗艙里，上述所求的時間又是多少？

責任編輯 李平安