隨機誤差對線性回歸相關系數的影響

南京醫科大學康達學院理學部數學與計算機教研室（222000） 丁 勇

·學術討論·

隨機誤差對線性回歸相關系數的影響

南京醫科大學康達學院理學部數學與計算機教研室（222000） 丁 勇△

相關系數是統計分析的一個重要指標。由于研究對象的不同，相關系數的定義也不同。最常用的相關系數為簡單相關系數或Pearson積差相關系數［1－3］。在實際問題中，如果兩個變量存在線性關系，但由于觀察或測量數據不可避免帶有誤差，這些誤差必然對相關系數的計算產生一定的干擾，這些干擾會受到什么因素的影響，本文對此進行探討。

方 法

1．相關系數公式

顯然，如果沒有隨機誤差，則x、y的相關系數的絕對值為1；當觀察或測量數據有隨機誤差時，相關系數將發生變化。記x、y*的相關系數為r，則有［1－3］

根據公式（5）可得到｜r1｜與lεε、b2和lxx的關系圖（圖1），理論分析得到的結果與圖是一致的。

圖1 ｜r1｜與b2lxx、lεε關系圖

在實際應用中，樣本量n一般不會很大，此時，｜r1｜上述這些性質是否對r成立？下面進行討論。

由（1）式可知，r大小與直線的截距a無關，這與r1的性質是相同的。

由于b為直線的斜率，故當b＞0時，y隨x的增大而增大，即y與x是正相關，當b＜0時，y隨x的增大而減少，即y與x是負相關，所以r的符號應該與b相同。但由于誤差的影響，由公式（1）可知，r的符號可能與b不相同，下面討論發生這種情況的概率。

由于εi～N（0，σ2），且εi相互獨立，所以lxε的方差為

計算機模擬

自蒙特卡羅方法于20世紀40年代作為一種獨立的統計模擬方法被提出以來，已在多個研究領域得到了廣泛的應用［5－6］。下面通過計算機模擬，對公式（6）～（9）進行驗證。

先隨機抽?。?．5，10］區間內均勻分布的18個數據，包括端點共20個數據作為x：0．5000 1．07401．4131 3．4909 4．0350 4．2566 4．4100 4．51215．1895 5．2536 5．3097 5．3989 5．4168 5．8319 6．7223 6．8272 7．3483 7．5297 8．1950 10．0000；這批數據的lxx＝107．1562。

再設直線方程為y＝2+bx，并分別考慮b＝± 0．1，±0．5，±1，±3，±5和σ＝1，2，3，5的各種情況。

每次模擬用計算機產生20個服從N（0，σ2）分布的隨機數εi作為隨機誤差，再取yi＝2+bxi+εi（i＝1，2，…，20）。

每種情況共進行10000次模擬，統計結果見表1，其中p1表示b和r同號的概率，根據公式（6）或（7）計算；p2表示的概率，根據公式（8）或（9）計算；f1和f2分別表示10000次模擬中，b和r同號的頻率和的頻率。由于b＝－0．1，－0．5，－1，－3，－5結果與b＝0．1，0．5，1，3，5的結果幾乎相同，故從略。

由表1可知，當b較大或誤差較小時，b和r同號的概率很大。

表1 b和r同號和的概率、頻率統計表（10000次模擬，lxx＝107．1562）

表1 b和r同號和的概率、頻率統計表（10000次模擬，lxx＝107．1562）

b σ＝1p1f1p2f2σ＝2p1f1p2f2 0．1 0．8497 0．8472 0．8262 0．8258 0．6976 0．70310．6928 0．6890 0．5 1 1 0．9892 0．9930 0．9952 0．9951 0．9601 0．9608 1 1 1 0．9959 0．9985 1 1 0．9892 0．9923 3 0．9977 0．9991 1 1 0．9970 0．9990 5 1 1 0．9979 0．9996 1 1 0．9976 0．9993 1 1bσ＝3p1f1p2f2σ＝5p1f1p2f2 0．1 0．6350 0．6291 0．6334 0．6402 0．5820 0．58590．5816 0．5757 0．5 0．9578 0．9579 0．9161 0．9148 0．8497 08502 0．8262 0．8262 1 0．9997 0．9991 0．9772 0．9815 0．9808 0．9822 0．9392 0．9375 3 1 1 0．9959 0．9981 1 1 0．9920 0．9953 5 1 1 0．9972 0．9988 1 1 0．9959 0．9988

討 論

在實際問題應用中，如果計算得到兩個變量之間相關性不大，可能的原因是兩者之間真的相關性不大；根據本文分析，也可能是測量的隨機誤差所造成，此時，提高測量精度和數據質量，可以提高相關性。

兩個或多個變量的相關分析有著廣泛的應用，相關系數是相關分析的一個重要指標，相關系數的大小直接影響統計推斷的結論。因此，分析對相關系數的影響因素，具有重要的應用價值。本文推導了直線回歸中有誤差數據的相關系數公式（1）和大樣本的較簡單的近似公式（3），并分析了影響相關系數的因素。由（1）式和（4）式可知，相關系數的大小與直線的截距無關，這與我們的直觀理解是一致的，截距的作用體現在散點圖的數據點向上或向下平移的距離，不影響自變量和因變量的相關性。

公式（3）比較簡單，通過理論分析即可得到相關系數絕對值與｜b｜、σ和lxx的關系，公式（1）相對復雜一些，我們用計算機模擬驗證了理論分析結果的準確性。由本文的討論可知，隨機誤差對相關系數的計算產生直接的干擾，隨機誤差越大，相關系數絕對值越小，｜b｜和x的離差平方和lxx在一定程度上對數據誤差的干擾又有一定的影響，｜b｜和lxx越大，會減少隨機誤差的干擾。實際問題中，兩變量之間存在線性關系是客觀存在的，我們無法改變｜b｜，但通過本文的分析，我們知道較大的｜b｜對誤差有一定的抗干擾作用；另一方面，在科研設計中，我們可以確定自變量的取值，通過加大自變量的離差來控制或減少誤差的影響。

對誤差性質進行分析，減少誤差的影響，有助于提高研究問題的精確度和準確度［7］。本文是在x為非隨機變量的情況下得到的結果，如果x為隨機變量，問題的分析要復雜得多，但在實際應用中，往往將x作為非隨機的情況來處理，對此做法有兩點解釋：一是可以把分析推斷作為“條件化”的結論，二是如果（x，y）聯合分布為正態，則x是否被看成隨機的都無關緊要，有關研究可參看文獻［8］。

［1］孫振球，徐勇勇．醫學統計學．第4版．北京：人民衛生出版社，2014：314-351，131-154．

［2］徐維超．相關系數研究綜述．廣東工業大學學報，2012，29（3）：12-17．

［3］徐曉嶺，王蓉華．概率論與數理統計．上海：上海交通大學出版社，2013：513-521．

［4］蘇勇，熊斌．不等式的解題方法與技巧．上海：華東師范大學出版社，2012：30．

［5］李劍龍，陳方堯，李丹玲，等．具有相關關系的靈敏度和特異度的Monte Carlo模擬方法研究．中國衛生統計，2015，32（3）：417-420．

［6］劉成友，丁勇．相對誤差直線回歸模型兩種參數估計方法的比較．中國衛生統計，2012，29（5）：1-3．

［7］丁勇．誤差絕對值的統計特征和應用．數理統計與管理，2016：39-46

［8］陳希孺，王松桂．近代回歸分析．合肥：安徽教育出版社，1987．

（責任編輯：鄧 妍）

△通信作者：丁勇，E-mail：yding＠nimu．edu．cn