儒可夫斯基變換與其逆變換研究

胡 人，劉 華

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

儒可夫斯基變換與其逆變換研究

胡 人，劉 華

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

針對儒可夫斯基變換及其逆變換在復分析領域的應用，進行圓域到橢圓域的儒氏變換和儒氏逆變換的分析與實現。圖像結果顯示，儒氏逆變換的2分支在橢圓域上分為左右2葉。本文采用儒氏逆變換，將橢圓域進行復合共形映射，得到一個四角形域，并給出邊界軌跡。

儒可夫斯基變換；共形映射；橢圓域

儒可夫斯基變換是一個共形映射，在理論和應用中具有重要意義。廣為人知的是其在空氣動力學中的應用，其在機翼模型的設計與制造過程中具有關鍵作用。文獻[1]和文獻[2]將儒可夫斯基變換應用于工程和空氣動力學領域，以儒可夫斯基機翼模型為基礎進行了一系列應用方面的討論。另外，儒氏映射亦可應用在電磁領域中的位場理論，如文獻[3]通過對儒可夫斯基映射與其逆映射的應用，分別得出了有源和無源電磁場的電勢分析，并簡述了儒可夫斯基與其逆映射的不同情況。文獻[4]則完全集中將儒氏變換應用于翼型設計，并通過對變換系數的調整，得到不同翼型，從而得到不同機翼模型的性質。由經典的儒可夫斯基變換更可推出高維情況，文獻[5]將其推廣，并給出在三維情況下得到的映射模型。

雖然儒氏變換與其逆變換十分重要，并廣泛應用于工程領域，但目前對其進行的數理分析較少，分析學中最早見于復變函數引論[6]。本文主要研究儒可夫斯基變換及其逆變換在復分析領域的保角映射作用，即橢圓域與圓域的相互轉化。從儒可夫斯基變換開始，分析其映射的具體形式，并給出映射過程；討論其逆映射的“雙葉解析函數”性質，并給出逆映射的映射形式。根據對應的映射過程，給出儒氏逆映射對橢圓域映射到圓域的邊界分析，并對一個在數學上應用儒可夫斯基變換的具體實例進行分析。

1 背景知識

定義映射為：

該映射為儒可夫斯基變換，其將z平面的圓映射為ω上的橢圓。

由式（1）可得儒可夫斯基逆變換為：

此時式（2）為雙葉黎曼曲面的變換，其能夠將一個橢圓映射成一個“雙葉”的半圓，如圖1所示[6]。

圖1 儒可夫斯基逆映射

由圖1可知，圖1（a）為長半軸a=c+1/c、短半軸b=c-1/c的橢圓，圖1（b）加粗部分為圖1（a）橢圓的映射結果，2條細線為輔助線。由圖1（b）可知，式（2）將橢圓映射成半徑為c和1/c的雙葉半圓環。

引入實變數u和v，令ω=u+iv、z=ρeiθ，由式（1）得：

將上式的實部與虛部分別與ω=u+iv對比，可將該變換的實、虛部分離為：

因此經過式（1），z平面上半徑為ρ的圓z=ρeiθ變換為ω平面上長半軸、短半軸b=（ρ-）的橢圓，其焦點為（-2，0）和（2，0）。

令ρ=c=2時，式（1）無系數，但其可以為除ρ≠1外的任何值。當ρ=1時，由式（3）可知，映射將z平面的圓映射為ω平面連接（-2，0）和（2，0）的直線。

2 曲線外域的映射

式（1）可將圓映射為橢圓，亦將圓外域映射為橢圓外域，如圖2所示[7]。但在處理一般問題時，需要尋求單位圓的幫助，因此橢圓外域映射為圓外域更加重要。這里應用式（2），將ω平面的橢圓外域映射至z平面[8]。由圖2可知，式（2）僅將橢圓的外部映射為雙葉圓環的“外部”，而并非直觀上逆映射成圓的外部。

圖2 儒可夫斯基映射與其逆映射作用于曲線外域

實際上，雙葉的儒可夫斯基逆變換將橢圓的外域映射為圓周ρ=c的外部與ρ=1/c的內部2葉。因此，在應用時應考慮所選映射的分支，以免混淆。

3 曲線內域的映射

3.1 圓環到橢圓的映射

半徑c=2的圓去除半徑c=1/c的圓的內域，也就是當z平面區域為圓環時，經過儒氏變換，能夠映射成ω平面的區域圖形，如圖3所示。此時可以看到，式（1）將圓環內部映射為橢圓內部[9]。

3.2 橢圓內域的映射

下面著重討論橢圓內部的映射。由圖3可知，z平面的圓環經式（1）能夠映射成ω平面的橢圓，而ω平面的橢圓經式（2）的變化如圖4所示。

此時，由于式（2）的雙葉性質，其實際上將橢圓的內部映射為“兩片”圓環。圖4（b）中的3條輔助線由外到內分別是半徑為c=2、c=1、c=1/c的圓。

圖4 儒可夫斯基逆映射對橢圓內域的映射

3.3 儒氏變換的映射軌跡

根據文獻[6]，分析儒氏變換邊界的映射軌跡。將半徑為1＜c＜2且x＞0時的半圓環經式（1）進行映射，其映射軌跡如圖5所示。但經過儒逆變換后，上半橢圓卻未能逆映射至半圓環，兩者的關系發生了本質的變化，如圖6所示。

圖5 儒可夫斯基變換（1）的軌跡

圖6 儒可夫斯基逆變換（2）的軌跡

此時將上半橢圓經儒逆變換后，不再是半圓環，而變成圖4（b）的邊界輪廓。因此可知，此處的式（2）映射并非如文獻[6]所述，由上半橢圓映射到上半圓，這個結果仍是由儒可夫斯基逆變換的雙葉性質所造成的。

實際上，上半橢圓的映射不可能如文獻[6]中所示為上半圓環，而是如圖7所示，其中的輔助線如上文。此處也可印證圖6所述整個橢圓進行儒逆變換后的形狀。

圖7 儒可夫斯基逆變換（2）映射上半橢圓

為能夠對橢圓域進行連續映射，現僅考慮橢圓的右半分支，即：

所得結果如圖8所示，圖中的輔助線如上文。而對于左半分支，也可類似得到相應結果，如圖9所示。由圖9可知，這也與上文的結果相符。

圖8 儒可夫斯基逆變換（2）映射右半橢圓

圖9 儒可夫斯基逆變換（2）映射左半橢圓

4 儒氏逆映射的應用

下面對儒逆映射（2）進行應用，此處試圖將橢圓域映射為一個四角形域。僅取橢圓的右半分支，對其應用儒逆變換，則半橢圓域為：

映射結果為曲邊四角形，如上文圖8所示。之后，再對曲四角形進行變換得到：

由此得到四角形區域，如圖10所示。圖中的不連續處是由于計算機采點精度不夠造成的。此時，整個復合映射的過程中區域的邊界對應如圖11所示[10]。

圖11 半橢圓經復合共形映射成四角形區域的邊界對應

為保證圖像直觀，以較大步長取點作圖，因而圖中略有彎曲；當取較小步長時，這些彎曲不會出現。此時可以看到，右半橢圓內部部分實軸[0，2]∈R的上下兩沿被一致映射成半圓環的內側邊界，再經對數函數映射成為四角形的左側邊界，但方向不發生本質變化。

5 結束語

本文主要研究了儒可夫斯基變換與其逆變換在復平面上的映射作用。研究驗證了儒可夫斯基變換將圓映射為橢圓，并將圓外域映射為橢圓外域的情況；著眼于儒氏逆變換，探究其映射作用，并發現由于其雙葉解析的性質，對不同的分支有著不同的映射范圍。對于每個具體映射，給出了邊界軌跡分析與映射區域及儒可夫斯基逆變換在分析領域中的具體應用。

［1］ 王曉宏，賴李健，高彥峰.可變形儒可夫斯基翼型非定常氣動力的研究［J］.力學季刊，2009（4）：495-502.

［2］ 高彥峰.可變形翼型的非定常氣動特性研究［D］.合肥：中國科學技術大學，2012.

［3］ 王新穩.復解析保角變換在電磁工程中的應用研究［D］.西安：西安電子科技大學，2011.

［4］ 盛英華.微型飛行器低雷諾數二元翼型的氣動特性研究［D］.南京：南京航空航天大學，2003.

［5］ CRUZ C，FALCO M I，MALONEK H R.3D mappings by generalized Joukowski transformations［C］//International Conference on Computational Science and ITS Applications. Berlin：Springer-Verlag，2011：358-373.

［6］ 普里瓦洛夫.復變函數引論［M］.閔嗣鶴，程民德，董懷允，等譯.北京：人民教育出版社，1956.

［7］ 姚國梅.數值保角變換計算法的研究［D］.昆明：昆明理工大學，2015.

［8］ 王福謙.基于保角映射的鏡像法的應用［J］.大學物理，2015（3）：14-16.

［9］ 薛均曉.保形映射理論在幾何造型中的某些應用研究［D］.大連：大連理工大學，2009.

［10］嚴敬，王桃，肖國華，等.基于儒可夫斯基變換的軸流葉片翼型設計［J］.排灌機械工程學報，2012（3）：265-269.

Study of Joukowski transform and its inverse

HU Ren，LIU Hua
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

This paper focuses on the application of two conformal mappings of Joukowski transform and its inverse transform in complex analysis.It studies the image realization of these two conformal maps.Firstly，it realizes the transformation from circular domain to elliptic domain.The image results show that the two branches of the inverse transformation are divided into two leaves on the elliptic domain.Finally，it transforms elliptic domain into a quadrilateral domain under the composite mapping and gives the boundary trajectory.

Joukowski transform；conformal mapping；elliptical domain

O411

A

2095－0926（2016）04－0045－04

2016-08-31

胡 人（1991—），男，碩士研究生；劉 華（1971—），男，教授，博士，碩士生導師，研究方向復分析及其應用.