雙壓力角非對稱齒形直齒面齒輪副有限元應力分析

張淑艷，郭 輝，張蒙祺， 孫曉玲

(1. 西安建筑科技大學 理學院，陜西 西安 710055；2. 西北工業大學 機電學院，陜西 西安 710072；3. 空間物理重點實驗室，北京100076)

雙壓力角非對稱齒形直齒面齒輪副有限元應力分析

張淑艷1，郭 輝2，張蒙祺2， 孫曉玲3

(1. 西安建筑科技大學 理學院，陜西 西安 710055；2. 西北工業大學 機電學院，陜西 西安 710072；3. 空間物理重點實驗室，北京100076)

根據齒輪嚙合原理，推導了雙壓力角非對稱齒形面齒輪的齒面方程.在有限元軟件ANSYS中建立了面齒輪副輪齒接觸有限元分析模型.通過有限元接觸壓力計算結果與基于點接觸Hertz理論接觸壓力計算結果的對比分析，確定了有限元模型的網格密度.由若干組算例的計算結果表明，適當增大工作側齒面壓力角可以明顯降低面齒輪副接觸壓力和齒根彎曲應力，因此，非對稱齒形設計可以獲得更高的輪齒強度.

非對稱設計；面齒輪傳動；有限元法；齒面接觸壓力；齒根彎曲應力

面齒輪傳動具有結構緊湊、傳動比大等優點，近年來已被應用于航空減速器[1]等高速重載及有輕質要求的場合.然而面齒輪齒寬受到外徑齒頂變尖和內徑根切的限制，使其輪齒強度受到一定的影響.

文獻[2]研究表明，適當增加齒輪壓力角可以降低齒面接觸壓力，提高抗膠合能力.但當壓力角增大時，齒輪齒頂會變薄并使強度下降.鑒于航空減速器中齒輪副通常是單向傳動，故可以嘗試將面齒輪的工作側齒面壓力角增大，而將非工作側齒面壓力角適當減小.這樣既可以提高齒面強度，又可以保證足夠的齒頂厚度，如此便形成了雙壓力角非對稱面齒輪副.

在面齒輪齒形設計與嚙合性能分析方面，國內外已有不少文獻報道相關研究.文獻[3]推導了面齒輪齒面方程，建立了齒面雙冠修形方法，通過TCA(tooth contact analysis)和接觸有限元分析研究了修形量對嚙合性能的影響.在非對稱齒形設計方面：文獻[4]對非對稱齒形直齒輪齒面生成及齒面修形方法進行了討論；文獻[5]研究了非對稱齒形直齒輪設計參數(非對稱系數等)的可行域，并在某型直升機中得以應用，齒輪強度提高了5%～9%.國內方面，文獻[6-7]對面齒輪的設計和加工技術進行了研究，文獻[8]采用有限元法研究了標準直齒面齒輪副的應力變化規律，文獻[9-10]研究了面齒輪的磨齒加工理論和方法.

本文主要探討非對稱齒形設計對面齒輪副強度性能的影響，分析齒輪應力隨參數的變化規律，以求獲得面齒輪副更高的強度性能.

1 非對稱齒形直齒面齒輪齒面的生成

為了進行有限元應力分析，首先要建立非對稱齒形直齒面齒輪齒面的準確幾何模型.然而面齒輪的齒面形狀非常復雜，無法用顯式表達式表示，同時為了研究齒形參數對強度的影響，因此，這里先給出非對稱面齒輪兩側齒面方程的推導過程.其基本思路：以基本齒條工作側和非工作側的齒面方程為基礎，推導用于展成面齒輪的產形(由刀刃切削運動產生的形狀)圓柱齒輪兩側齒面，再根據產形輪齒面和運動學法，推導非對稱齒形面齒輪的兩側齒面.

1.1 非對稱齒形插齒刀齒面方程

面齒輪傳動原本為線接觸形式，但如果產形輪齒數比與其嚙合的小齒輪大ΔN，便可獲得點接觸，通常取ΔN=1～3.

產形輪齒面的生成坐標系設置如圖1所示，動坐標系Ss(Os-xs-ys-zs)、Scs(Ocs-xcs-ycs-zcs)分別與產形輪和齒條剛性聯結，靜坐標系Sm(Om-xm-ym-zm)與刀架剛性聯結.漸開線齒輪對稱齒條形刀具的基本齒廓是齒形角等于標準壓力角的梯形齒廓；而非對稱漸開線齒輪的基本齒廓保持分度線上的齒厚不變，改變兩側刀刃的壓力角使之不再相等.

(a) 齒條法向齒形 (b) 齒條齒向齒形 (c) 展成運動圖1 由非對稱齒條展成圓柱直齒輪的坐標系示意圖Fig.1 Systems for generation of spur gears by asymmetric race-cutter

在坐標系Scs下齒條工作側與非工作側的齒面方程分別為

(1)

(2)

式中：αnd,αnc分別為齒條工作側與非工作側的壓力角；s0為齒條節面處的齒槽寬，它決定了被展成齒輪的節圓齒厚；usd,usc,lsd,lsc分別為齒條工作側及非工作側齒面在齒廓方向與齒條寬度方向的兩個齒面參數.

在Scs坐標系下齒條兩側齒面的法向量分別為

(3)

(4)

根據嚙合原理[11]，產形輪兩側齒面的徑矢方程與法矢方程可分別表示為

(5)

(6)

Lscs(φs)為Mscs(φs)的前三行三列所構成的向量轉換矩陣；rps為產形輪分度圓半徑；φs為產形輪的轉角；fd(usd,lsd,φs)與fc(usc,lsc,φs)分別為兩側齒面在展成過程中的嚙合方程.

1.2 非對稱齒形面齒輪齒面方程

為便于分析，建立如圖2所示的坐標系統.其中：坐標框架Ss與S2分別被剛性地連接在產形齒輪與面齒輪上；坐標系Sm與Sa是兩個輔助的固定坐標框架，Sa位于刀具的初始位置上，輔助固定坐標系Sm位于面齒輪的初始位置上；角度ψs和ψ2分別為刀具齒輪和面齒輪的轉角；γm為面齒輪副的軸交角；L0為輔助參數，其值可取為面齒輪的內半徑.

圖2 面齒輪加工坐標系Fig.2 Coordinate systems for generation of face gear

從產形輪固結坐標系Ss到面齒輪固結坐標系S2的坐標轉換矩陣為

根據微分幾何原理可以通過如下方式推導工作側嚙合方程，非工作側與此同理.在與產形輪固結的Ss坐標系中，產形輪上任意一點相對于面齒輪的相對速度為

(7)

由式(5)可得到產形輪在Ss坐標系中的齒面方程及法向量，由齒輪嚙合原理，齒面在接觸點的相對運動速度與公法矢量方向相垂直，即兩齒面沿接觸點的公法線方向無相對運動，可得嚙合方程為

(8)

把產形輪在Ss坐標系下的齒面通過坐標轉換表示為在S2坐標系下隨運動參數ψs變化的曲面，即：

r2d(usd,lsd,ψs)=M2s(ψs)·rsd(usd,lsd)

(9)

r2d(usd,lsd,ψs)中的點作為面齒輪齒面，除了滿足式(9)外，還需滿足嚙合方程(8)，即面齒輪齒面方程可表達為如下方程組的形式：

(10)

方程組(10)內包含3個變量usd,lsd和ψs，由嚙合方程可消去參數ψs，進而構成一個含2個參變量(usd,lsd)的曲面方程.

同理，非工作側齒面方程為

(11)

方程組(11)的第二項為非工作齒面與相應產形齒輪齒面間的嚙合方程，其形式與式(8)類似，這里不再給出推導過程.

2 有限元模型的建立及網格密度

2.1 有限元接觸計算模型

以面齒輪齒面方程組(10)和(11)為基礎，在兩側齒面區域內沿齒高方向和齒寬方向均勻采點，然后按照一定規律生成輪齒內部的節點和單元.圖3為面齒輪副單齒的有限元網格示意圖，為了真實反映齒根處的應力集中，齒根部位進行了網格細化處理.

圖3 面齒輪驅動有限元接觸計算模型Fig.3 FEM contact model of face gear drive

圖3所示面齒輪副的基本參數以及施加載荷數據如表1所示.在此模型中，約束面齒輪輪齒底面和左右側面的所有自由度，約束小齒輪底面和左右側面除繞軸線旋轉以外的所有自由度；面齒輪副受到的力矩載荷以切向力的形式施加在位于小齒輪底面的節點上.由接觸計算可同時獲得接觸應力分布和齒根彎曲應力的分布，如圖4所示.

表1 面齒輪副參數表

圖4 面齒輪齒面接觸應力分布Fig.4 Contact stress distribution of face gear

2.2 網格密度討論

在有限元計算中，由于數值問題導致網格的疏密程度對計算結果有一定的影響.一般而言，網格越密則計算結果越精確，但耗費的計算時間會相應大量增加.為了平衡計算精度與計算時間，本文建立了標準齒形面齒輪單對輪齒接觸模型(如圖3所示)，將單對輪齒有限元計算的接觸壓力最大值與根據點接觸Hertz理論計算的接觸壓力[12]最大值進行對比，結果如表2所示.

表2 兩種方法計算值對比表

由表2可知，隨著網格密度增加，接觸壓力FEM計算值呈現趨向于某定值的態勢.當網格密度為齒寬方向200個單元、齒廓方向100個單元時，Hertz理論計算值與FEM計算值的相對誤差已在5%以內.由于點接觸Hertz理論在適用于齒輪接觸問題時本身存在一定的誤差，所以當Hertz理論計算值與FEM計算值的相對誤差在5%以內時，可以認為有限元計算方法已經達到了足夠高的計算精度.

3 非對稱齒形面齒輪副輪齒應力分析

仍以表1所述參數的面齒輪副為對象進行應力分析.為了研究兩側壓力角的變化對面齒輪副各項應力值的影響情況，這里將算例分為兩大組，編號為1～6的算例為第一組，僅改變工作側壓力角αnd取值，編號為7～12的算例為第二組，僅改變非工作側壓力角αnc取值，如表3所示.

表3 面齒輪副壓力角取值表

對于每一種壓力角組合，均計算了位于從面齒輪齒頂到齒根的不同嚙合位置處的各項應力值，結果如圖5和6所示.各個嚙合位置以圖5和6中的橫坐標“接觸位置編號”區分，編號值越小越靠近面齒輪齒頂.當輪齒處于不同嚙合位置時，各項應力值是不同的.為了對不同參數齒輪副的應力能夠進行比較，本文使用輪齒接觸分析(TCA)技術[6]，通過調整大小輪的安裝角度，將所有算例中小齒輪接觸點限定在相同半徑處.

(a) 齒面最大接觸壓力

(b) 齒根最大壓應力

(c) 齒根最大拉應力圖5 僅改變工作側壓力角時應力變化(算例1～6)Fig.5 Stress variations for different pressure angles in drive side (case 1 to 6)

由圖5和6可知，當改變單側壓力角時，各項應力值隨壓力角在每個接觸位置基本呈線性變化.壓力角變化時有以下規律：

(a) 齒面最大接觸壓力

(b) 齒根最大壓應力

(c) 齒根最大拉應力圖6 僅改變非工作側壓力角時應力變化(算例7～12)Fig.6 Stress variations for different pressure angles in coast side (case 7 to 12)

(1) 增大工作側壓力角時，齒面最大接觸壓力顯著下降(平均降幅9.40%)，齒根最大壓應力顯著下降(平均降幅7.43%)，齒根最大拉應力顯著下降(平均降幅10.96%)；

(2) 減小非工作側壓力角時，齒面最大接觸壓力基本不變(最大變化幅值1.50%，變化均值0.25%)，齒根最大壓應力基本不變(最大變化幅值2.00%，變化均值0.82%)，而齒根最大拉應力有小幅上升(平均升幅2.93%).

4 結 語

本文對雙壓力角非對稱齒形直齒面齒輪副的承載能力進行了研究，探討了壓力角對齒面接觸壓力和齒根彎曲應力的影響，主要結論有：

(1) 增大工作側壓力角可以明顯降低接觸壓力和齒根拉壓應力，提高輪齒的靜強度；

(2) 非工作側壓力角對接觸壓力以及齒根壓應力基本沒有影響，對齒根拉應力有較小程度的影響.

[1] FILLER R R, HEATH G F, SLAUGHTER S C, et al. Torque splitting by a concentric face gear transmission[C]//The American Helicopter Society, 58th Annual Forum. Montreal Canada, 2002.

[2] DENG G, NAKANISHI T. Bending load capacity enhancement using an asymmetric tooth profile[J]. JSME International Journal, 2003,46(3):1171-1177.

[3] LITVIN F L, FUENTES A, ZANZI C, et al. Face-gear drive with spur involute pinion: Geometry, generation by a worm, stress analysis[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2002, 191: 2785-2813.

[4] LITVIN F L, LIAN Q, KAPELEVICH A L. Asymmetric modified spur gear drives: Reduction of noise, localization of contact, simulation of meshing and stress analysis[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2000, 188(1/2/3): 363-390.

[5] KAPELEVICH A. Geometry and design of involute spur gears with asymmetric teeth[J]. Mechanism and Machine Theory, 2000, 35(1):117-130.

[6] 郭輝, 趙寧, 方宗德, 等. 基于接觸有限元的面齒輪傳動彎曲強度研究[J]. 航空動力學報, 2008, 23(8): 1438-1442.

[7] 李政民卿, 朱如鵬. 基于包絡法的正交面齒輪齒廓尖化研究[J]. 中國機械工程, 2008, 19(9): 1029-1033.

[8] 唐進元, 劉艷平.直齒面齒輪加載嚙合有限元仿真分析[J]. 機械工程學報, 2013,48(5):124-131.

[9] 郭輝, 趙寧, 侯圣文. 基于碟形砂輪的面齒輪磨齒加工誤差分析及實驗研究[J]. 西北工業大學學報, 2013, 31(6): 915-920.

[10] 彭先龍, 李建華, 方宗德, 等. 碟形砂輪磨削面齒輪的數控規律[J]. 哈爾濱工業大學學報, 2012, 44(11):101-104.

[11] 吳序堂. 齒輪嚙合原理[M]. 2版. 西安:西安交通大學出版社, 2009:97-102.

[12] 郭輝. 面齒輪滾齒加工方法及其嚙合性能研究[D]. 西安: 西北工業大學機電學院,2009.

FEM Stress Analysis of Spur Face Gear Pair with Asymmetric Double Pressure Angles

ZHANGShu-yan1,GUOHui2,ZHANGMeng-qi2,SUNXiao-ling3

(1. School of Science, Xi’an University of Architecture & Technology, Xi’an 710055, China；2. School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;3. Key Laboratory of Space Physics, Beijing 100076, China)

The equations of tooth surface of double pressure angles asymmetric face gear were conducted according to the theory of gearing. A contact finite element model was established in software ANSYS. The contact pressure calculated from finite element model and the calculated value of contact pressure which was given by the point-contact Hertz theory were compared to determine the element density of the finite element model. Several groups of parameters were calculated. The results show that appropriate increment of the pressure angle of driving side can obviously decrease contact pressure and root bending stress of face gear. Therefore, the applying of asymmetrical design can improve the static load capacity of face gear.

asymmetric design; face gear drive; finite element method; contact pressure of tooth surface; bending stress of tooth root

1671-0444 (2016)04-0490-06

2015-02-05

國家自然科學基金資助項目(51475352)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(3102015BJ(II)MYZ28)

張淑艷(1979—)，女，內蒙古赤峰人，副教授，博士研究生，研究方向為機械傳動、計算機圖形學. E-mail: zhsy1227@163.com

TH 132.41

A