不同形狀磨粒隨機分布磨料表面的三維建模仿真

段 念, 王文珊, 于怡青, 黃 輝

(華僑大學 脆性材料加工技術教育部工程研究中心, 福建 廈門 361021)

不同形狀磨粒隨機分布磨料表面的三維建模仿真

段 念, 王文珊, 于怡青, 黃 輝

(華僑大學 脆性材料加工技術教育部工程研究中心, 福建 廈門 361021)

為了更準確地對不同形狀磨粒的加工過程進行仿真，基于統計學的原理，利用打靶法模擬多顆不同形狀(圓錐形、正四棱錐形、正三棱錐形以及半球形)的磨粒表面的隨機分布，實現了通過設定不同的參數(粒度、出露高度、圓角半徑、錐角)，生成位置隨機的三維磨料表面模型，并對結果做了相應的統計學驗證，結果基本符合工程上的要求.模擬結果表明，磨粒尺寸的參數誤差控制在1‰范圍內, 磨料地貌圖中不存在磨粒重疊現象和空位現象，且磨粒分布相對較均勻.

磨料表面；統計學；隨機分布；打靶法；磨粒

磨削過程中的材料去除需要在磨料表面與工作表面發生物理接觸的相對運動中實現.與材料發生接觸摩擦的每顆磨粒的形狀會在一定程度上影響材料去除的模式和工作表面的三維形貌.為了深入研究磨粒的形狀對被加工表面三維形貌的影響機制，需要對符合工程實際的多顆磨粒隨機分布的表面進行模擬，獲得磨粒表面的幾何模型，為后續的加工過程的仿真奠定基礎.因此，對磨料表面地貌進行模型建立是精密加工領域一直以來的研究熱點[1].

目前已經有很多的試驗技術被開發用于測量砂輪表面地貌，如輪廓測定法、顯微鏡觀察法[2]、測力法[3]、劃痕法、印痕法和熱電偶法[3].但是通過試驗獲得的地貌數據受到微觀觀測方法及觀測者個人主觀的局限，且所得到的結果針對微納米尺度精密加工過程而言，誤差也較大.因此，對磨料表面進行建模是十分必要的.

宏觀砂輪形貌特征可從以下4個方面描述: 磨粒突出高度分布、靜態平面顆粒密度、晶粒間距分布以及露出磨粒的投影面積百分比.這些指標均是隨機變量，且每個磨料表面的特性都獨立依賴于其制備過程中的修整情況和使用的技術[4].因此，在磨削系統中，磨料面的形成是一個隨機性事件.隨機模擬是一種多用途的數字技術，以隨機抽樣的方式來模擬，本質上是概率性的系統.對磨料面建立隨機模型，用概率論和統計學的方法對其描述和求解是非常重要的一種方法.文獻[5-6]將磨粒形狀假設為帶球頭圓錐的形狀生成了隨機分布模型，但假設的形狀單一，不符合工程中實際情況，且未考慮不同參數的設定.

本文主要根據不同形狀及形狀參數的磨粒參數信息(幾何參數和分布參數)，利用打靶法的原理來實現不同形狀(圓錐形磨料面、正四棱錐形磨料面、三棱錐形磨料面以及半球形磨料面)磨粒的隨機分布磨料表面模型，在此基礎上，利用Fortran語言生成了不同形狀金剛石磨粒隨機分布的三維地貌表面模型.

1 磨料表面三維建模

1.1 磨粒幾何參數的確定

尺寸為150～300 μm各種常見磨料的外觀形貌如圖1所示.由圖1可知，在同樣尺寸范圍內，由于磨料材質的不同，其形狀也是各異的.磨料形狀的不規則性給模擬帶來了很大困難，目前，主要是通過簡化的方法將其固定為圓錐形、棱錐形、針形等形狀.

(a) 玻璃珠 (b) 石英砂 (c) 石榴石

(d) 金剛砂 (e) 石英 (f) 氧化鋁圖1 磨料的形貌圖像Fig.1 Abrasive morphology

本文分別以帶球頭的圓錐形、正四棱錐形、三棱錐形以及半球形來模擬磨料的形狀.不同形狀磨粒及其參數圖如圖2所示.

圖2(a)中，帶球頭錐形磨料的形狀參數包括球頭半徑(r)、錐臺底面直徑(D)、錐臺高度(h)等.

設定錐面與球面相切，則:

D-2r cos θ=2htan θ

(1)

(a) 帶球頭的圓錐 (b) 正四棱錐

(c) 正三棱錐 (d) 半球圖2 不同形狀磨粒及形狀參數圖Fig.2 Schematic diagram of grains with different shape and relative parameters

為了保證球面與錐面相切，球心在錐臺軸線上的位置由式(2)確定:

(2)

其中:h′為球形端頭球心到底面的距離;θ為錐面母線與磨料中軸線的夾角.

圖2(b)中，正四棱錐形磨料的形狀參數包括棱線與高的夾角(θ)、正四棱錐底邊長(L)及棱錐高度(h)，可得:

(3)

圖2(c)中，三棱錐形磨料的形狀參數包括棱線與高的夾角(θ)、正三棱錐底邊長(L)和棱錐高度(h)，可得:

(4)

圖2(d)中，半球形磨料的形狀參數為球半徑r.

1.2 磨粒參數分布

通過對金剛石磨粒做顆粒分布測試試驗，先后分別使用不同目數的篩網過篩，統計出在各篩上留下的金剛石磨粒百分數，然后用正態概率坐標紙來確定磨料顆粒的分布情況.結果表明，金剛石磨粒粒徑呈正態分布，并近似地估算出粒徑的平均值為0.127 mm，標準差為0.059 mm.因此，本文中與磨料粒徑相關的參數設定為正態分布，其余參數為均勻分布.

2 磨料表面數據生成算法及數據檢驗

2.1 磨料表面數據生成算法原理

磨料面生成算法主要采用打靶法，即在給定的平面內，隨機確定每個磨料的位置，每確定一個磨料的位置后，將其所處區域去除，然后在剩下的區域內確定下一個磨料的位置，并記憶其位置和形狀參數，直至達到所要求的磨料面密度為止，從而生成一個磨粒隨機分布的磨料面[5].

以帶球頭的圓錐形磨料面為例，磨料面的長度和寬度確定以后，在磨料面內隨機生成一點的x軸坐標x0和y軸坐標y0及磨料的直徑D0，判斷該點所確定的區域是否完全在磨料面內，如果是，則確定該點為磨料面的第一點，繼而隨機生成該磨料的高度h0和尖端半徑r0或者錐角θ0，以結構型數組記憶第一顆磨料參數；反之，則重新生成.

如果在磨料面內，則(D0+D1)/2<

半球形磨料面的磨粒表面數據生成算法與帶球頭圓錐形磨料表面的數據生成算法類同.

2.2 算法模擬結果的驗證

以帶球頭圓錐為例，分別對給定數值的磨料底面直徑、磨料高度和磨料尖端半徑的數學期望及方差進行了檢驗，表 1～3分別 為不同試驗次數(N)下對應的磨粒底面直徑、磨粒高度和磨粒尖端半徑的數學期望(E(x)′)和方差(D(x)′).由大數定律可知，當試驗次數很大時，有較大偏差的事件發生的可能性很小.由實際推斷原理，在實際應用中，當試驗次數很大時，便可以用事件發生的概率來代替事件的概率.可以看出，當試驗次數達到 102 401次時，相對誤差已控制在1‰以內，在工程上是符合要求的.

表1 磨粒底面直徑的數學期望和方差(正態分布)

(續 表)

注: E(x)=μ=5×10-5, D(x)=σ2=4×10-12.

表2 磨粒高度的數學期望和方差(正態分布)

注: E(x)=μ=5×10-5, D(x)=σ2=4×10-12.

表3 磨粒尖端半徑的數學期望和方差(正態分布)

(續 表)

3 程序實現及砂輪地貌生成結果分析

3.1 基于DISLIN圖像顯示庫的磨料表面數據可 視化程序實現

本文在Intel Visual Fortran 平臺上，用支持Fortran語言的圖像顯示庫DISLIN對打靶法生成的磨料面進行可視化編程.圖3為磨料表面數據生成程序算法流程圖.

圖3 磨料表面數據生成算法流程圖Fig.3 Flow chart of abrasive surface data generation algorithm

以圓錐形磨粒為例，圖4為基于DISLIN圖像顯示庫的磨料表面顯示算法流程圖.

圖4 圓錐形磨粒隨機分布磨料表面顯示算法流程圖Fig.4 Flow chart of randomly distributed algorithm of conical grain surface

當磨料面為圓錐形時，由式(1)三角變換后可得：

(5)

(6)

式(6)整理后可得：

-(D+2r)x4-4hx3+4rx2-4hx+
(D-2r)=0

(7)

式(7)為一元四次方程，可用求實系數代數方程全部根的牛頓-下山法[7]進行求解.

3.2 結果分析

圖5為文獻[8]應用Mente-Carlo法生成的磨料面仿真圖. 由圖5可知，其生成的最大磨料和最小磨料之間的尺寸偏差已經超過了設定的范圍，而且出現了磨粒過密(重疊)現象和過疏(空位)現象.

圖6和7分別為3.5 mm×3.5 mm范圍內的不同形狀(圓錐形磨料面、正四棱錐形磨料面、三棱錐形磨料面以及半球形磨料面)磨粒的隨機分布磨料表面地貌圖，圖中磨粒尺寸為0.127 mm，方差為5.9 μm，球頭半徑的分布區域為[2，8] μm，面密度值為48.5%.出露高度在后期可視化程序中實現，將出露高度控制在一定范圍內，圖中所示的出露高度范圍(0，0.6h).以圓錐形磨料面為例，對仿真得到的磨料面進行直觀觀察，由圖6(a)的細節圖可看出出露高度參差不齊的狀態.圖6(b)的俯視圖中，磨料地貌圖中不存在磨粒重疊現象和空位現象，且磨粒分布相對較均勻.磨粒尺寸的參數誤差控制在1‰范圍內，較之文獻[8]的仿真結果更為合理.

圖5 磨料面仿真圖[8]Fig.5 The abrasive surface simulation diagram

(a) 立體圖

(b) 俯視圖圖6 圓錐形磨料面Fig.6 Conical grain surface

(a) 四棱錐

(b) 球形

(c) 三棱錐圖7 其他形狀磨料面立體圖Fig.7 Stereogram of the other shapes of grains

4 結 語

本文根據磨料表面隨機參數信息，利用打靶法的原理來實現不同形狀(圓錐形磨料面、正四棱錐形磨料面、三棱錐形磨料面以及半球形磨料面)磨粒的隨機分布磨料表面模型，可以通過設定不同的參數(粒度、出露高度、圓角半徑、錐角)得到相應的不同模型.在Intel Visual Fortran 平臺上，用支持Fortran語言的圖像顯示庫DISLIN對打靶法生成的磨料面進行可視化編程.仿真結果表明，磨料地貌圖中不存在磨粒重疊現象和空位現象，磨粒分布相對較均勻, 且磨粒尺寸的參數誤差控制在1‰范圍內.這進一步證明了隨機分布算法在磨料表面建模的可行性，對于深入研究磨粒的形狀對被加工材料三維形貌的影響機制有著重要的意義.

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3D-parametric Modeling and Programming of Abrasive Surface with Grains of Different Shape on Random Distribution

DUANNian,WANGWen-shan,YUYi-qing,HUANGHui

(Engineering Research Center for Brittle Material Machining, Ministry of Education, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)

In order to simulate the machining process of abrasives that have different shapes accurately, according to the principle of statistics, the models of the abrasive surface that have a large number of grains on different shapes (cone abrasive surface, right square pyramid abrasive surface, right triangle pyramid abrasive surface and half- spherical abrasive surface) are built, which are based on random distribution by using the shooting method. By setting different parameters (granularity, exposed height, radius and cone angle), different abrasive surfaces are came into being. On account of that, the abrasive surfaces that have random shape and position are generated. The results show that the size parameters error of grains is controlled within 1‰, abrasive overlapping phenomenon and vacancy phenomenon do not exist in the abrasive surface, and the distribution of grains is relatively uniform.

abrasive surface; statistics; random distribution; shooting method;grain

1671-0444 (2016)04-0500-06

2015-11-20

國家自然科學基金資助項目(51375179)；福建省教育廳重點資助項目(JA13010)

段 念(1981—)，女，福建福州人，講師，博士，研究方向為磨削加工過程仿真. E-mail: duannian@hqu.edu.cn

TG 501

A