二階變系數(shù)線性微分方程的解法

王 莉

（湖南汽車(chē)工程職業(yè)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

二階變系數(shù)線性微分方程的解法

王 莉

（湖南汽車(chē)工程職業(yè)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

探討微分方程解法，明確方程解法技巧，提出3種新的解決方案，拓展二階變系數(shù)線性微分方程的處理方法。

二階變系數(shù)；線性；微分方程；變量交換

微分方程來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐，建立在客觀事物發(fā)展規(guī)律基礎(chǔ)之上，能夠全面、具體反映各類(lèi)現(xiàn)象，幫助人們更好地了解事物發(fā)展規(guī)律，預(yù)測(cè)未來(lái)，其發(fā)展是社會(huì)實(shí)踐的結(jié)果，二者互相作用，相互促進(jìn)。

1 了解微分方程解法的意義

微分方程是自然學(xué)科及偏微分方程發(fā)展的重要基礎(chǔ)，也是相關(guān)領(lǐng)域發(fā)展的主要驅(qū)動(dòng)力。自發(fā)展以來(lái)，受到了多位學(xué)者的關(guān)注，且相關(guān)理論研究成果較為豐富，在一定程度上完善了微分方程理論體系。根據(jù)微分方程基本理論來(lái)看，任何非線性微分方程的解都能夠納入到相應(yīng)的解組當(dāng)中。不僅如此，高階微分方程能夠通過(guò)降階法，簡(jiǎn)化其繁瑣的內(nèi)容，將其轉(zhuǎn)化為一階或者二階方程進(jìn)行求解。可見(jiàn)，低階微分方程求解在整個(gè)微分方程求解中占據(jù)十分重要的地位，也是求解的開(kāi)始。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，任何一個(gè)一階或者二階微分方程都具有可解性特點(diǎn)，而變系數(shù)二階線性微分方程難度較大[1]。目前為止，僅有一個(gè)近似解法，還沒(méi)有一個(gè)較好的方法能夠解決該問(wèn)題，加之冪級(jí)數(shù)解法計(jì)算量較大，且難以求得結(jié)果，在理論上難以達(dá)到求解目標(biāo)。因此加強(qiáng)對(duì)二階變系數(shù)線性微分方程解法的研究十分必要，不僅能夠豐富微分方程理論體系，還能夠幫助我們尋找到一種較為簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。

2 方程求解發(fā)展現(xiàn)狀

要想更為深入地了解和掌握微分方程解決方法，需要明確其當(dāng)前發(fā)展?fàn)顩r。誠(chéng)然，該類(lèi)方法應(yīng)用較為廣泛，且在理論層面上，求解結(jié)構(gòu)也較為完善。但是具體求解方法并沒(méi)有很多實(shí)際方法可以參考。一般都是已知的特殊函數(shù)方程，且多數(shù)只是借助冪級(jí)數(shù)解法，不僅方法繁瑣，且運(yùn)算量太大，增加了求解難度。很多學(xué)者經(jīng)過(guò)不懈的努力，試圖通過(guò)特殊的變換方式解決一類(lèi)方程，但是可行性并不高，且不適用于陌生的變系數(shù)方程當(dāng)中，在一定程度上阻礙了微分方程可持續(xù)發(fā)展[2]。信息時(shí)代下，一些計(jì)算機(jī)軟件具有運(yùn)算功能，但計(jì)算機(jī)技術(shù)終歸是人們研究成果，如果理論上缺少完善的求解體系，在系統(tǒng)當(dāng)中仍然無(wú)法較好的解決該問(wèn)題，甚至?xí)?wèn)題變得更為復(fù)雜。

3 方程的解法分析

3.1 待定函數(shù)法的應(yīng)用

一般來(lái)說(shuō)，由于該類(lèi)方程較為復(fù)雜，其中包括實(shí)常數(shù)等內(nèi)容，為了能夠高效求解，需要對(duì)方程進(jìn)行相應(yīng)的處理，具體是通過(guò)自變量變換，將原來(lái)的方程轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊次線性方程。然后帶入函數(shù)，對(duì)方程進(jìn)行相應(yīng)的整理，簡(jiǎn)化成為常系數(shù)化方程，最后對(duì)函數(shù)消除，獲取精簡(jiǎn)方程，證明相關(guān)結(jié)論的正確性。

基于理論來(lái)看，在線性變換情況下，求解該類(lèi)方程可以通過(guò)未知函數(shù)的變換實(shí)現(xiàn)方程常系數(shù)化。線性性質(zhì)十分重要，能夠保持微分方程的線性性質(zhì)變換為保線性變換，在具體變換過(guò)程中，可以保持方程原有性質(zhì)不發(fā)生任何變化，然后通過(guò)一些已知可解的方程達(dá)到求解目標(biāo)。如

可以借助線性變換，將x=φ（t），轉(zhuǎn)換為：

通過(guò)此獲得了常系數(shù)微分方程，便將其中的函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)處理，最后獲得具體方程，達(dá)到求解目標(biāo)。

例如：求解Besssl方程。

解：對(duì)上述方程進(jìn)行相應(yīng)處理，主要借助函數(shù)法，變換為：

3.2 自變量變換法

該方法在求解中較為常見(jiàn)，在應(yīng)用中主要步驟如下：第一，利用雙線性將原方程轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性微分方程，然后結(jié)合常數(shù)變易等方法求解。第二，針對(duì)其中任何一個(gè)微分方程，可以將方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式，最后確定P（x）、Q（x），然后對(duì)他們做出常數(shù)的具體判斷。第三，對(duì)于一般方程來(lái)說(shuō)，可以依次檢驗(yàn)并判斷1Δ等是否是常數(shù)，以此來(lái)作為方程系數(shù)化的判斷標(biāo)準(zhǔn)，如果可以，便可以進(jìn)行線性變換，最后求簡(jiǎn)化后的方程。

3.3 常數(shù)變易法

顧名思義，常數(shù)變易法主要是將方程進(jìn)行簡(jiǎn)易化處理，且該方法應(yīng)用范圍較廣，只要獲得了非齊次線性方程對(duì)應(yīng)的基本解組，便能夠利用該方法求解。在具體研究實(shí)踐中，可以積極拓展思路、擴(kuò)展應(yīng)用范圍，利用該方法求解。

一般來(lái)說(shuō)，可以憑借自己所學(xué)知識(shí)觀察或者分析方程，利用常數(shù)變易法設(shè)另外的特解，然后將原方程帶入其中獲取一個(gè)可降階微分方程，最后得出原方程的通解。利用該方法，不僅能夠快速找到方程中各要素之間的關(guān)系，還能夠簡(jiǎn)化方程求解難度，更為高效、快速的解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而為后續(xù)研究工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。綜上來(lái)看，解決該類(lèi)方程的方法并不多，在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，要堅(jiān)持合理原則，先觀察方程特點(diǎn)，選擇合理的解法對(duì)方程進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整和簡(jiǎn)化處理，將其轉(zhuǎn)換為可解方程，然后獲取結(jié)果，發(fā)現(xiàn)事物之間的關(guān)系，從而提高研究有效性。

隨著各領(lǐng)域的不斷發(fā)展，微分方程的重要性愈發(fā)突出，然而現(xiàn)有求解方法還有待完善，需要學(xué)者加大研究力度，不斷挖掘新解法，為各領(lǐng)域研究和發(fā)展提供更加簡(jiǎn)單、可行的解法，從而促使該方程的重要作用得到充分發(fā)揮，更好地探索客觀事物發(fā)展規(guī)律。

[1]高楊,王賀元.一類(lèi)二階變系數(shù)線性微分方程的解法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2014,01:77+82.

[2]鄧勇.兩類(lèi)變系數(shù)二階線性齊次微分方程通解的構(gòu)造[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,06:1-5.

Second order linear differential equation with variable coefficients

WANG Li
(Hunan automotive engineering vocational college,Changsha Hunan 410000)

Discussion on the solution of differential equation and the technique of solving equation,3 new solutions are proposed,processing method of two order linear differential equation with variable coefficients.

Second order variable coefficient; Linear; Differential equations; Variable exchange

：A

10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01.062

1672–7304(2016)01–0133–02

（責(zé)任編輯：吳 芳）

王 莉（1980-），女，湖南株洲人，講師，研究方向：微分方程。