探究課本習題，拓展數學思維

楊愛云

摘 要：現階段，高中學生花費了大量的時間來完成各科教輔資料，他們盲目追求課外資料而忽略了對課本的研讀與課后習題的鉆研。對此，教師必須引導學生認真研讀每年的高考考試大綱，了解高考試卷的出題辦法，讓學生認識到萬變不離其宗——課本，只有在平時的學習中更多地關注課本和研究課后習題，才能在高考的戰場上立于不敗之地。

關鍵詞：直線;方程;數形結合

中圖分類號：G63 ? ? 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1673-9132（2017）05-0078-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.048

人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（必修2）中有一道習題：一條光線從點p（6，4）射出，與x相交于點Q（2，0），經x軸反射，求入射光線和反射光線的方程。對于此題，很多學生看后，不以為然，有的甚至不屑動手，因為總覺得用自己的解法能很快得出答案。見此情形，我提問學生有哪些不同的解法。

生1：采用點斜式。

解法1：如圖1，由P、Q兩點的坐標可知入射光線的斜率，再由幾何關系知反射光線的斜率k反=-1，再根據點斜式的方程得入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

教師：這位同學的解法很好！用到了最常規的做法。請大家再思考一下，還可以用其他的方法來解決嗎？通過這樣一問，學生開始畫圖，互相討論，構思自己的解法。

生2：采用點關于法線對稱和兩點式。

解法2：如圖1，由幾何關系知P（6，4）關于法線x=2的對稱點P'（-2，4），則由兩點式的方程得出入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

生3：采用點關于x軸對稱和兩點式。

解法3：如圖1： 由幾何關系知P關于x軸的對稱點p'（6，-4），則由兩點式的方程得出入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

生4：采用光的反射原理和點斜式。

解法4：如圖1，由P、Q兩點的坐標可知入射光線的斜率，則入射光線的傾斜角為45°，入射角為45°，反射角為45°，反射光線的傾斜角為135°，則反射光線的斜率。再根據點斜式方程得入射光線與反射光線的方程分別為：

l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。

教師：大家的方法都很好！但是光線能反射一次，就可以進行第二次反射，根據你們給出的多種解法，我對題目進行適當的改編，想讓其發揮更好的作用。

變式：一條光線從點p（6，4）射出，與x相交于點Q（3，0），經x軸第一次反射后射向y軸，再由y軸進行第二次反射，求入射光線、第一次反射光線l2和第二次反射光線l3的方程。

給出題目后，學生的表現大不一樣，個個都搶著要說自己的想法，我就隨機叫起了幾名學生來回答。

生5：求l1的方程時可用兩點式。

解法：如圖2，入射光線l1經過點p（6，4）和Q（3，0），所以利用兩點式的方程得l1的方程為4x-3y-4=0。

生6：求l2的方程時可用截距式。

解法：如圖2，由幾何關系知，反射光線l2經過點Q（3，0）和p（6，4）關于直線x=3的對稱點M（0，4），所以利用截距式的方程得l2的方程為，化為一般式為4x+3y-12=0。

生7：求l3的方程時可用斜截式。

解法：如圖2，點Q（3，0）關于x軸對稱點Q'（-3，0），則 l3的斜率，則l3可利用直線的斜截式方程得，化為一般式為4x-3y+4=0。

教師：這幾名同學的解法很好，通過解決這個問題，將直線方程的幾種形式都呈現了出來。

另外，在推廣應用中，要拓展學生數學思維的活度。

題根：已知直線L經過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點，求點 A（5，0）到 L的距離的最大值。

生8：（代數法）由解的交點P（2，1），過P（2，1）任意作直線垂直于l，設d為A到l的距離，則（當是等號成立），所以。

生9：（幾何法）如圖3，以AP為直徑作圓，過P（2，1）的直線與圓交于B，連接 AB，由幾何關系知AB就是點A（5，0）到 l的距離，當直線l轉動使得弦 AB與 AP重合時，點A到直線 l的距離最大。

。

教師：很好的幾何方法，數形結合，應用很完美！本節課通過探究一道課本中的習題，使學生的探究意識和思維方式得到了鍛煉，掌握的數學知識得到了梳理和融合，真正提升了使用數學知識解決實際問題的能力。如果長期堅持，我們學習數學能力和應用數學的能力就會不斷提高。