三角函數問題在實際生活中的應用

王雪純

【摘 要】三角函數是一種重要的數學工具，其數形結合的思想使某些問題的解決大大簡化，利用其基本函數之間的巧妙關系所得到的結果往往令人驚嘆。從三角函數的一般內涵和基本特性出發，可以分析得到幾種常見的三角函數類型；再由純數學問題延伸到具體工程問題，由此體現三角函數問題在實際生活中的應用。

【關鍵詞】三角函數；數形結合；應用

科學源于實踐，亦將指導實踐。數學也是科學，任何一種數學方法都有它的實際應用場合，三角函數作為一種常用的初等函數，應用更是廣泛，而熟練應用某種數學方法的基礎在于首先掌握相關的數學理論。從我們學生的角度而言，既要看到數學方法的實用性，更要懂得百煉方能成鋼的道理。

一、三角函數概述

（一）基本內涵

眾所周知的是，三角函數為6大基本初等函數之一，在高中數學的學習中，其基礎性和重要性不言而喻。一般認為，三角函數包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，實際上從本質上來看，要表示直角三角形三條邊長度的比例關系，基礎表達式只需要一個：正弦，另外五個都可依據正弦值進行簡單的運算而推導出來。如果考慮到任意角的三角函數，那需要兩個基礎表達式：正弦和余弦，以確定該角度對應的終邊在哪個象限。在應用三角函數解決問題時，合理利用不同三角函數之間的轉換關系，是其最基本的方法之一。

（二）函數特性

三角函數的多個基礎表達式之間可以靈活變換，這既是其基本內涵，也是其函數特性之一。將某個三角函數單獨拿出來看，還可以挖掘更多的特性。

第一，周期性。無論正弦余弦、正切余切，還是正割余割，都是周期函數，這一特性是將三角函數拓展延伸的基礎。將函數圖像沿著坐標橫軸平移，會產生相位的變化，這在物理學上對波的研究有重要意義。第二，三角函數表達式的三個基本特征量是：幅值、頻率、相位。抓住了這三個特征量，就抓住了分析三角函數的入口。第三，特定的定義域和值域。六個三角函數都有自己特定的定義域和值域，在求解三角函數問題時，需要特別關注其定義域和值域的限制。

二、三角函數問題的常見類型

（一）周期性及特征值問題

比較四個數的大小：

（二）表達式化簡問題

化簡表達式y=4+8sinxcosx+8cos2x-8cos4x。

這道化簡題并不難，但其原本的表達式很難直觀地看出該函數的性質，為了便于分析，需要先進行函數化簡。

y=4+4sin2x+8cos2x（1-cos2x）

=4+4sin2x+8cos2xsin2x

=4+4sin2x+2sin22x

=2（1+sin2x）2+2

經過化簡，函數表達式變得異常簡單，十分容易在腦海中聯想出函數特性。

（三）極值問題

以上一題為例，求其極值。

sin2x的的值域是[-1，1]，帶入化簡后的表達式中，很容易得到函數y的極大值為2*（1+1）2+2=10，，極小值為2*（1-1）2+2=2.

（四）三角函數表達式構建問題

如圖，要把一個圓形截面的木材切成矩形的，問怎樣切才能充分利用材料，使矩形截面積最大？

三、應用延伸

前文說到對純數學問題的掌握是實際應用的基礎，事實上，實際問題不僅僅在難度上更有挑戰性，在問題的條件取舍上也更有講究，沒有所謂的理想情況，但適當的簡化條件是有必要的，這不僅僅是針對于三角函數問題，所有的理論運用于實踐時都需要經過這樣的調整。

（一）建筑面積規劃

如圖是一塊正方形空地，邊長100米，扇形部分是一塊綠化地，半徑為90米，要在剩余空間中取一矩形部分作為停車區域，并使停車區域的一個邊界點落在扇形圓弧上，相鄰兩邊落在DC、BC邊上，問如何規劃可使停車區域面積最大？

得S=10000-9000t+8100*（t2-1）/2=4050（t-10/9）2+950，當t=時，S取最大值，即當？茲=？仔/4時，停車區域面積最大。

（二）力學問題

如圖，地面有一根30厘米長的木棒，其頂端受到一個水平向右的恒力T，可繞其下端C點旋轉，木棒左邊有個長20厘米的彈簧與木棒連接于A點，彈簧的另一端固定于地面，如果要使彈簧所受拉力最小，應如何選取A點？

這兩個實際問題的應用，都是將實際問題簡化后提取一個數學模型，并利用三角函數構建表達式，然后在分析函數特性，求解其極值。

結論

關于三角函數的知識從初中起便已進入課堂，在高中數學中得到進一步加深和鞏固，其圖像和代數之間的神奇聯系經常讓我沉醉。在實際生活中，三角函數問題無處不在，小到一條線段長度的計算，大到跨江大橋、摩天大樓的設計，都有它的身影。經過大量的練習，在我眼里sin和cos仿佛太極圖里的陰陽兩極，憑借周期性的函數映射關系、特定的定義域與值域，經過有效的變換，使復雜的問題迎刃而解。

參考文獻：

[1]王紅曉.三角函數在物理力學中的運用[J].中學生數理化（學習研究），2016，05：39+3.