一類常微分方程的數值解法

薛雷

(山東財經大學 東方學院， 山東 泰安 271000)

一類常微分方程的數值解法

薛雷

(山東財經大學 東方學院， 山東 泰安 271000)

微分算子屬于無界限性算子，在實際中得到了廣泛的應用[1-6],特別是在工程、數學、物理等領域中應用更為廣泛.微分算子理論中包括多種理論知識，如譜理論、自共軛擴張理論、數值計算、虧指數理論等.其中,譜理論在所有知識中又是最重要的，可以視其為核心.在數學界，微觀粒子之間的作用一直是研究的熱點問題，而Sturm-Liouville這一問題更是成為所有學者的研究焦點.Sturm-Liouville問題是二階常微分方程分離變量求解方法的重要理論.徐有基[7]應用Leray-Schauder延拓定理，得到了二階廣義Sturm-Liouville邊界條件多點邊值問題的可解行.陳東曉等[8]研究了一類滿足Sturm-Liouville積分邊值條件的二階非線性微分方程的正解性.基于以上研究，本文研究一類正則Sturm-Liouville微分方程的數值解.

1 預備知識

Sturm-Liouville方程為

上式中：p(x)，q(x)，ρ(x)在定義域內都是x的是函數，且p(x)>0,ρ(x)>0,q(x)>0.

在定義域范圍內p(x)，q(x)及p′(x)連續的.Sturm-Liouville方程齊邊界條件可以歸納為

T(a)=T(b)=0，T′(a)=T′(b)=0，T(a)=T′(b)=0.

(1)

由式(1)，可以求解Sturm-Liouville方程非零解.Sturm-Liouville的和復的邊界條件為

用Φ9和Φ22表示p(x) Φ11及p(x) Φ12.令Φ(x,λ)為Sturm-Liouville方程的解，有

Sturm-Liouville方程的解可以化簡為

因此，邊界條件可以形成AY(a)+BY(b)=0.分離邊界條件可以表示為

Y(x)可以用復數寫為

Sturm-Liouville方程分離邊界條件[9]為

上式中：a≤b，都為實數；α,β取值范圍為[0,π].

2 一些引理及證明

關于Sturm-Liouville方程的完整性有如下3個引理.

證明 當|λ|→∞時，漸近公式為

因此，估計值為

3 主要結果

當α=π，β=π時，有

an,bn的計算分別為

4 實際的應用

[1]BONHEURED,GOMESJM,HABETSP.Multiplepositivesolutionsofsuperlinearellipticproblemswithsign-changingweight[J].JournalofDifferentialEquations,2005,214(1):36-64.

[2]KHOLKINAM,ROFE-BEKETOVFS.Onspectrumofdifferentialoperatorwithblock-triangularmatrixcoefficients[J].JournalofMathematicalPhysicsAnalysisGeometry,2014,10(1):44-63.

[3]BASKAKOVAG,DIDENKOVB.Spectralanalysisofdifferentialoperatorswithunboundedperiodiccoefficients[J].DifferentialEquations,2015,51(3):325-341.

[4]GRUBBG.FractionalLaplaciansondomains,adevelopmentofH?rmander′stheoryofμ-transmissionpseudodifferentialoperators[J].AdvancesinMathematics,2014,268(18):478-528.

[5]GRUBBG.Localandnonlocalboundaryconditionsforμ-transmissionandfractionalellipticpseudodifferentialoperators[J].Mathematics,2014,7(7):1649-1682.

[6]MIRONOVAE.Self-adjointcommutingordinarydifferentialoperators[J].InventionesMathematicae,2014,197(2):1-15.

[7] 徐有基.一類二階廣義Sturm-Liouville邊界條件多點邊值問題的可解性[J].西北師范大學學報(自然科學版),2008,44(4):1-5.

[8] 陳東曉,陳應生.二階微分方程積分邊值問題正解的存在性[J].華僑大學學報(自然科學版),2013,34(5):587-590.

[9]FELTRING,ZANOLINF.Existenceofpositivesolutionsinthesuperlinearcaseviacoincidencedegree:Theneumannandtheperiodicboundaryvalueproblems[J].AdvancesinDifferentialEquations,2015,20(9/10):937-982.

[10] HARUTYUNYAN T N.The dependence of the eigenvalues of the Sturm-Liouville problem on boundary conditions[J].Matematicki Vesnik，2008,60(4):285-294.

(責任編輯： 陳志賢 英文審校： 黃心中)

Numerical Solution for Class of Ordinary Differential Equations

XUE Lei

(Dongfang College, Shandong University of Finance and Economics， Taian 271000, China)

：Sturm-Liouvilledifferentialequation；boundaryvalue；positivesolution;differentialoperator

10.11830/ISSN.1000-5013.201701026

2016-12-05

薛雷(1982-)，男，講師，博士，主要從事微積分及經濟數學的研究.E-mail:xue-xiao@163.com.

國家自然科學基金管理科學面上資助項目(70971014)

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