數學元認知能力學生因素探析

孔 生

（東營市技師學院 山東東營 257091）

數學元認知能力學生因素探析

孔 生

（東營市技師學院 山東東營 257091）

本文對影響數學元認知能力學生個體方面的因素進行了分析和思考。認為學生所掌握的數學知識和數學學習經驗等方面的認知因素以及學生在解決問題中進行自我監控的動機等方面的非認知因素對數學元認知能力的發揮產生重要的作用。

學生 個體因素 元認知 數學元認知能力

元認知理論是由美國心理學家弗拉維爾（J·H·Flavell）在20世紀70年代首先提出。近30多年來，元認知成了心理學研究的熱點之一，并對教育實踐產生了一定影響。作為“關于認知的認知”，元認知在認知活動中起著重要作用。元認知主要包括元認知知識、元認知體驗和元認知監控三個成分，它們是相互聯系密不可分的。研究表明，元認知在人的思維活動中具有統攝作用，是思維活動的核心成分。在數學活動中，無論是知識的學習，技能的學習，還是問題解決的學習，元認知都有很重要的作用。它不僅對思維行動進行了解、評價、監視、調節、反映人的主觀世界，同時也是主觀世界與客觀世界溝通的橋梁。數學元認知能力，就是學生在數學學習中，對數學認知過程的自我意識、自我監控的能力，它以元認知知識和元認知體驗為基礎，并在對數學認知過程的評價、控制和調節中顯示出來，就其功能而言，它對數學認知過程起指導、支配、決策、監控的作用。[1]

數學元認知能力還包括：善于調節和培養自己的非智力因素，激勵自己勤奮學習，刻苦學習；善于為自己確立適當的奮斗目標；善于選擇適合自己的方法和措施，去努力實現目標；善于監視、調控、檢測達標情況；善于總結成敗的經驗教訓，從而采取補救措施，改進方法，達到對思維和數學學習活動的再認識。

總之，元認知理論認為人是積極主動的機體，其主體意識能監視現在，計劃未來，有效控制自己的思維和數學學習過程。學生數學元認知能力的根本特征是主體性。所以，學生所掌握的數學知識和數學學習經驗等方面的認知因素以及學生在解決問題中進行自我監控的動機等方面的非認知因素都將對數學元認知能力的發揮產生重要的作用。[2]

一、學生的認知因素是影響學生數學元認知能力的最主要因素

學生的元認知能力是離不開學生的數學認知因素的。著名數學教育家波利亞曾說過：“如果我們對該論題知識貧乏。是不容易產生好念頭的。如果我們完全沒有知識，則根本不可能產生好念頭。一個好念頭的基礎是過去的經驗和已有的知識。”建構主義學習理論認為，學習不是被動地形成刺激與反應的簡單連接，而是主動形成認知結構的過程。建構主義重視學習者已有的知識經驗和學習動機這兩方面，認為無論知識的獲得的形式如何，學習都是一種積極的心理活動過程，學習者總是把新的信息與原有的認知結構相聯系，使新知識獲得心理意義，從而形成更為完善的認知結構。學生數學認知結構的基本要素有：（1）數學理論化知識；（2）數學前提性知識；（3）數學經驗性知識。這些知識和經驗構成了學生在解題過程中的進行自我監控的客觀基礎。美國著名心理學家奧蘇貝爾在他的《教育心理學》的扉頁上寫道：“如果我不得不把全部心理學還原為一條原理的話，那么我將說影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，根據學生原有的知識狀況進行教學。”

1．數學理論性知識主要是指數學中的概念、公式、法則、定義以及他們之間的內在聯系。它們是數學認知結構的“硬件”，是學生進行一切數學活動的客觀基礎，對發展學生元認知能力起著支撐和制約作用。

例題1

思路分析：如果不經過化簡，直接利用函數求導的運算法則，運算十分煩瑣。

例題2

這種解法看似簡潔，但卻是錯誤的。正確解法為：將分子、分母同乘以因子（1-x），則

從以上的解題過程可以看出，恰當地運用三角公式把已知函數進行化簡，是解決例題1的關鍵所在。觀察到數列中每一項對x而言，除第一個因子是一次冪外，均為偶次冪，給第一個因子配上它的共軛因子，即能引起平方差的“連鎖歸納”。不難看出，沒有數學基本理論知識，就無法實現解題思路的調節，更無法成功地解決問題。

2．數學前提性知識主要包括數學核心思想、數學思想模式和數學策略性知識。

（1）數學核心思想是指在對數學本質的認識中起核心作用的基本數學思想和數學觀念。在數學思想指導下，數學方法往往可以超越特定的數學情鏡，或者變化模式以適應情境，因此，它對于學生解題的自我監控起到統攝作用。

（2）數學思維模式具有規范作用。數學思維模式是對解題思維過程的一般思路的程序化的概括。由于它是一般性的通用思想方法，因此，他能規范學生的數學行為，提高自我監控能力。

（3）策略性知識具有啟發作用。策略性知識是如何使數學學習或問題解決效果更好的監控知識。策略解題可以減少嘗試與錯誤的任意性，縮短解決問題的時間，提高解決問題成功的效率。

3．數學經驗性知識主要包括數學程序性知識、數學情景性知識和數學評價性知識。[3]

（1）數學程序性知識是指如何運用數學技能的知識，這是一種在特定條件下可以使用的一系列操作步驟或算法。它為學生的解題活動提供了相應的規則，對解題中自我監控起到了控制作用。

（2）數學情景性知識是指在什么條件和背景下運用該數學方法或數學知識的知識。數學問題解決始于對問題情境的全面分析和透徹理解。因此，一方面，問題情境知識對學生的思維起著定向作用；另一方面，情境性知識可以活化學生的思維活動，具有情境性知識的解題者所想到的知識與運用該知識的“觸發”條件是結合在一起的，因而能自覺地進行組合或構造以發現題目中的隱蔽關系，從而突破思維障礙。所以，數學情境性知識對學生的元認知能力具有引導支持作用。

（3）評價性知識即判斷正確與否的知識。具有豐富的評價性知識能對問題理解的正確與否、擬訂計劃的可行性、解法的簡捷性等問題作出及時的評估，因此，評價性知識對元認知能力起檢查與調節作用。

思路分析：因為被積函數的原函數不易求得，所以本題不能直接應用“牛頓-萊布尼茨”公式，可以考慮應用定積分的性質求其積分值。（屬數學策略性知識，起啟發作用）

（屬于數學經驗性知識，將較為復雜的被積函數分解化簡）

注意到兩個積分的特點，對第二個積分進行分部積分運算，從而有可能解決問題，這屬于數學經驗性知識。可以看出，確立此題的求解目標是最重要的問題。而數學前提性知識對解題者進行成功的調節起到了關鍵作用。

二、學生的非認知因素也是影響學生元認知能力的重要因素

學生的非認知因素包括氣質、性格、認知風格以及動機、歸因、自我效能感等。學生在數學學習中是否具有主觀能動性是培養其元認知能力的根本因素之一，這就要求學生要具有較強的進行自我監控的動機和自我效能感。

動機通常定義為發動并維持活動的傾向或意向。自我效能感是指個體對自己能否勝任某項活動的自信程度。自我效能感越強，則越傾向于作出更大的努力。動機和自我效能感是培養學生元認知能力的重要的內部制約因素，他們直接影響著學生進行自我監控的主動性和積極性，制約著學生元認知能力的發展水平。

1．動機和自我效能感對學生進行自我監控具有啟動的維持功能，兩者直接影響了解題者對自身解題活動的價值評定與行為反應傾向。對自己在解題中進行自我監控具有自信并且具有較強興趣的學生能夠積極主動地調控自己的思維過程，同時，還會將這一過程在時間和方向上保持下去。[4]

2．動機和自我效能感通過決定解題者對問題的選擇而影響其自我監控水平的高低。動機強自我效能感高的學生對自己的數學思維活動充滿熱情和信心，在決定解題目標時也往往會選擇適合自己的現有水平且又具有一定障礙的問題，這就意味著他們對自己的自我監控能力提出了更高的要求。而動機弱、自我效能低的學生在解題中明顯地表現出信心不足，往往傾向于選擇簡單易做、困難較少或者基本沒有困難的問題，這就使其喪失了對自我監控能力加強訓練的機會，從而減少了提高元認知能力的可能性。

3．動機和自我效能感直接影響解題者的策略選擇，從而影響學生的自我監控水平。動機強、自我效能高的學生在解題中會積極嘗試新的方法與策略，從而使他們的自我監控策略不斷豐富，自我監控能力不斷提高，最終其元認知能力得到了發展。而那些解決問題的動機弱、自信心不足的學生由于他們對解題活動缺乏興趣，對自己的能力估計過低，他們不愿嘗試新的解題策略，這就阻礙了他們元認知能力的充實與發展。

[1]波利亞.怎樣解題.科學出版社.1982

[2]丁寶蕃.數學認知結構的特征.數學通報.1998（9）

[3]羅建新.論數學元認知的結構.四川師范學院學報（自然科學版）.1997（3）

[4]董 奇.論元認知.北京師范大學學報.1989（1）