基于滑脫、應力敏感和非達西效應的頁巖氣壓裂水平井產能模型

田 冷， 申智強， 王 猛， 潘少杰， 肖 聰， 董力琿

( 1. 中國石油大學(北京) 石油工程教育部重點實驗室，北京 102249； 2. 中國石油大學(北京) 石油工程學院，北京 102249 )

基于滑脫、應力敏感和非達西效應的頁巖氣壓裂水平井產能模型

田 冷1,2， 申智強1,2， 王 猛1,2， 潘少杰1,2， 肖 聰1,2， 董力琿1,2

( 1. 中國石油大學(北京) 石油工程教育部重點實驗室，北京 102249； 2. 中國石油大學(北京) 石油工程學院，北京 102249 )

基于頁巖氣藏壓裂水平井三線性流模型，考慮頁巖氣滑脫效應，分析頁巖氣的吸附、天然裂縫的應力敏感和人工裂縫的非達西效應，建立頁巖氣產能模型，運用全隱式有限差分和牛頓—拉普森迭代法進行數值求解，繪制無因次產量遞減曲線。結果表明：頁巖氣的流動階段分為人工裂縫中不穩定線性流階段、人工裂縫和微裂縫的雙線性流階段、微裂縫中不穩定線性流階段、微裂縫和基質的雙線性流階段、基質中線性流動階段、邊界流階段；如果忽略滑脫效應，將導致頁巖氣產能預測產生誤差。當頁巖基質孔隙直徑小于20 nm時，滑脫效應造成的產量增加5%～25%。該結果對于認識頁巖氣藏水平井產能遞減規律具有指導意義。

頁巖氣； 水平井； 納米孔隙； 滑脫效應； 應力敏感效應； 非達西滲流

0 引言

氣體的滑脫效應是指氣體在介質孔道中出現在孔壁處的氣體分子，沿著孔壁方向作定向運動，在孔壁處的流速值不為零的現象。對于常規儲層，巖石孔隙較大，天然氣流動產生的滑脫效應很弱，可以忽略不計[1]。頁巖儲層[2-4]的孔隙是納米級別，其滑脫效應較常規儲層的明顯，如果忽略滑脫效應，將對頁巖氣的產能預測造成較大的誤差[5]。

頁巖儲層一般被簡化為雙重孔隙或三重孔隙模型。Barenblatt G I等提出頁巖氣雙孔擬穩態流動模型[6]；Warren J E[7]等對該模型加以完善，提出不穩定滲流模型，但未考慮頁巖氣解吸和擴散影響。Kucuk F等[8]基于Warren-Root雙孔模型，建立頁巖氣藏非穩態解析模型，但是未考慮頁巖氣吸附特性，使用數值模擬方法證明吸附態頁巖氣的存在。Carlson E S等將頁巖氣解吸和擴散流動特性耦合于常規雙孔介質模型，建立考慮吸附、解吸和擴散的頁巖氣藏滲流模型[9]，但是將頁巖氣的垂直裂縫井簡化為無限大半徑的非壓裂直井，求得的壓力響應并不能反映垂直裂縫井的流動特征。Ozkan E等研究頁巖基質中氣體向天然裂縫網絡的流動機理，考慮頁巖氣在基質中同時存在滲流和擴散作用的雙重機制，建立雙重機制雙孔模型[10]，分析頁巖氣在儲層中的流動，但是忽略吸附氣的存在。王海濤[11]等基于頁巖氣雙孔球形流模型，考慮頁巖氣解吸、擴散和微裂縫的應力敏感效應影響，但是將人工裂縫視為無限導流裂縫，與實際頁巖氣藏壓裂水平井流動方式不符。El-Banbi A H提出線性三孔模型[12]，給出拉普拉斯空間解，但是未考慮頁巖氣解吸和擴散影響。Alahmadi H A基于水平井的三孔線性流模型，建立考慮頁巖氣的吸附、解吸及擴散影響的新模型[13]，但是未考慮微裂縫的應力敏感效應。田冷等[14]在文獻[13]模型的基礎上，考慮微裂縫的應力敏感效應和近井筒的高速非達西效應，但是假設頁巖氣在基質中的流動為分子擴散，并未考慮頁巖氣的滑脫效應。郭小哲[15]等考慮頁巖氣滑脫效應和吸附、解吸的影響，建立頁巖氣的產能模型，但是未考慮微裂縫的應力敏感效應和人工裂縫的非達西效應。

基于頁巖納米孔隙的滑脫流動，筆者考慮頁巖氣的吸附、天然裂縫的應力敏感和人工裂縫的非達西效應，建立頁巖氣產能模型，應用全隱式有限差分和牛頓—拉普森迭代法進行數值求解，并繪制頁巖氣產能遞減曲線。

1 產能模型

假設條件：(1)矩形封閉地層中心一口水平井定壓生產[16]，初始地層壓力為pi；(2)頁巖儲層為三重介質，分別為基質、微裂縫和人工裂縫；(3)氣體的流動為三線性流，即氣體先從基質向天然裂縫進行線性流動，然后由天然裂縫向人工裂縫進行線性流動，最后通過人工裂縫向井筒供氣；(4)基質的流動為滑脫流動，考慮氣體的滑脫效應；(5)人工裂縫具有有限導流能力[17]，考慮人工裂縫非達西流動和天然裂縫應力敏感效應；(6)所有的介質為均質且各向同性；(7)頁巖氣解吸滿足Langmuir等溫吸附方程；(8)不考慮重力和毛細管力的影響。

圖1 水平井多級壓裂三線性滲流的理論模型

1.1 滑脫效應

頁巖基質孔隙為納米孔隙，橫截面小，從而產生氣體滑脫效應。判斷氣體在不同尺度的流動通道內的流動是否存在滑脫效應，是由克努森數決定的?？伺瓟礙n為氣體的平均自由程λ與孔隙直徑d之比[5]：

(1)

(2)

式中：kB為玻爾茲曼常數，kB=1.380 5×10-23J/K；T為溫度；δ為碰撞分子直徑；p為壓力。

當Kn≤1×10-3時，氣體在微孔隙中的流動為黏性流，即達西流動；當1×10-310時，為自由分子流。

假定某一頁巖氣藏溫度為353 K，利用式(1-2)計算不同壓力條件下、CH4在不同孔隙中流動時的克努森數，判斷不同流態的界限，如孔隙直徑為10～100 nm的頁巖儲層，在20～50 MPa壓力內屬于滑脫流動[5]。

通常用Klinkenberg方程描述氣體的滑脫效應，Klinkenberg L J引入表觀滲透率修正滑脫效應的影響[18]：

(3)

式中：Kb為氣體表觀滲透率；K∞為等效液體滲透率；c≈1。

引入滑脫效應修正系數τ，令

(4)

一般將滑脫效應修正系數τ作為常數，但是τ為關于壓力的函數，得到氣體滲流速度與滑脫效應的關系：

(5)

式中：υ為氣體滲流速度；μ為氣體黏度。

1.2 應力敏感效應

應力敏感效應的擬壓力表達式[19-20]為

(6)

式中：K為考慮應力敏感的地層滲透率；Ki為原始地層滲透率；β為應力敏感系數；Ψi為原始地層擬壓力；Ψ為地層擬壓力。

1.3 非達西效應

非線性滲流二項式表征為

(7)

引入非達西流動效應修正系數ζ，則式(7)可以簡化為

(8)

(9)

1.4 吸附效應

采用Langmuir等溫吸附方程描述頁巖氣的吸附、解吸過程[21-22]：

(10)

對式(10)進行擬壓力處理，有

(11)

式中：VE為平衡吸附濃度；pL為蘭格繆爾壓力；VL為蘭格繆爾吸附體積；ΨL為蘭格繆爾擬壓力。

1.5 數學模型

從巖石表面解析出來時，頁巖氣由基質向天然裂縫及天然裂縫向人工裂縫的竄流為不穩定竄流，由連續性方程可以分別推導基質、天然裂縫和人工裂縫的滲流微分方程。

1.5.1 滲流方程

(1)基質

(12)

其中：

(13)

(2)天然裂縫

(14)

(3)人工裂縫

(15)

式(13-15)中：Ψm、Ψf、ΨF分別為基質、天然裂縫和人工裂縫的擬壓力；φm、φf、φF分別為基質、天然裂縫和人工裂縫的孔隙度；μm、μf、μF分別為基質、天然裂縫和人工裂縫的黏度；Ctm、Ctf、CtF分別為基質、天然裂縫和人工裂縫的綜合壓縮系；Kmi、Kfi、KF分別為基質、天然裂縫和人工裂縫的滲透率；t為時間；psc為地面標準狀況下的壓力；Tsc為地面標準狀況下的溫度；x、y、z為距離，其中z方向平行于y；Lf為天然裂縫之間的距離；LF為人工裂縫之間的距離。

1.5.2 無因次量

(1)壓力

(16)

(2)時間

(17)

(3)儲容比

(18)

(4)裂縫導流能力比

(19)

(5)竄流系數

(20)

(6)應力敏感系數

βD=β(Ψi-Ψwf);

(21)

(7)初始擬壓力

(22)

(8)蘭格繆爾擬壓力

(23)

(9)蘭格繆爾體積

(24)

(10)產量

(25)

(11)距離

(26)

式(16-26)中：Acw為井筒泄流面積，Acw=2Lh，L為井筒長度，h為地層厚度；qsc為地面標準狀況下的氣體流量；Ψwf為井底擬壓力。

1.5.3 綜合方程

(1)基質

(27)

初始條件：ΨDm(zD,0)=0。

內邊界條件：zD=1,ΨDm=ΨDf。

(2)天然裂縫

(28)

初始條件：ΨDf(xD,0)=0。

內邊界條件：xD=1,ΨDm=ΨDf。

(3)人工裂縫

(29)

初始條件：ΨDF(yD,0)=0。

內邊界條件：ΨDF(0,tD)=1。

2 產能模型求解

式(27-29)是關于擬壓力的強非線性偏微分方程，采用數值方法求解。首先利用全隱式有限差分法將方程離散，然后采用牛頓—拉普森迭代法進行數值求解。

2.1 基質

(30)

2.2 天然裂縫

(31)

2.3 人工裂縫

(32)

式(30-32)中：i、j、k分別為x、y、z方向上的網格標號。

3 產能遞減曲線

某頁巖氣藏基本參數見表1，應用牛頓—拉普森迭代法數值求解產量模型，繪制產量遞減曲線(見圖2)。

圖2 某頁巖氣藏無因次產量、時間的雙對數典型曲線及流動階段劃分

根據某頁巖氣藏無因次產量和時間的雙對數典型曲線的斜率，可以將頁巖氣的流動過程劃分為6個階段：

Ⅰ.人工裂縫中不穩定線性流階段，持續時間較短，雙對數曲線斜率為-1/2;

Ⅱ.人工裂縫和微裂縫中雙線性流階段，雙對數曲線斜率為-1/4;

Ⅲ.微裂縫中不穩定線性流階段，持續時間較短，雙對數曲線斜率為-1/2;

Ⅳ.微裂縫和基質中雙線性流階段，雙對數曲線斜率為-1/4;

Ⅴ.基質中線性流動階段，持續時間最長，是最主要的流動階段;

Ⅵ.邊界流階段，壓力傳導至邊界，產量急劇下降。

某頁巖氣藏考慮滑脫效應和不考慮滑脫效應時無因次產量遞減曲線見圖3。由圖3可知，考慮滑脫效應時，整體曲線上移。在納米孔道中流動時，頁巖氣分子孔壁處的氣體分子沿著孔壁方向作定向運動，孔壁處的流速值并不為零，在宏觀上體現為氣流量更大。

某頁巖氣藏不同孔隙直徑時滑脫效應對無因次產量的影響見圖4。由圖4可知，頁巖基質的孔隙直徑越小，曲線越往上移。因為孔隙直徑越小，滑脫效應越顯著，基質的表觀滲透率也越大。

圖3 考慮滑脫效應時無因次產量遞減曲線Fig.3 Typical curves of considering the influence of slippage effect

圖4 不同孔隙直徑時滑脫效應對無因次產量的影響

Fig.4 Typical curves of different pore diameters the influence of slippage effect

某頁巖氣藏不同孔隙直徑時滑脫效應對氣井產量的影響見圖5。由圖5可知，當頁巖基質孔隙直徑小于20 nm時，滑脫效應導致的產量增加5%～25%。當孔隙直徑小到一定程度時，頁巖氣在孔隙中的流態發生改變，滑脫流動的規律將不再適用。

圖5 不同孔隙直徑時滑脫效應對氣井產量的影響

4 結論

(1)基于頁巖納米孔隙的滑脫流動，考慮頁巖氣的吸附、天然裂縫的應力敏感和人工裂縫的非達西效應，建立頁巖氣產能模型，用數值方法繪制無因次產量遞減的典型曲線。

(2)頁巖氣的流動階段分為6個階段：人工裂縫中不穩定線性流階段；人工裂縫和微裂縫中雙線性流階段；微裂縫中不穩定線性流階段；微裂縫和基質中雙線性流階段；基質中線性流動階段；邊界流階段。

(3)頁巖基質孔隙為納米級別，存在滑脫效應，如果忽略滑脫效應，將導致頁巖氣產能預測產生誤差。當頁巖基質孔隙直徑小于20 nm時，滑脫效應造成的產量增加幅度為5%～25%。

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2016-08-10；編輯：任志平

國家自然科學基金項目(U1562102)；中國石油大學(北京)基金項目(2462015YQ0218)

田 冷(1977-)，男，博士，副教授，主要從事油氣井測試技術和氣藏工程方面的研究。

TE328

A

2095-4107(2016)06-0106-08

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2016.06.012