分形離散裂縫數值試井解釋模型

吳明錄， 丁明才， 姚 軍， 徐思南

( 中國石油大學(華東) 石油工程學院，山東 青島 266580 )

分形離散裂縫數值試井解釋模型

吳明錄， 丁明才， 姚 軍， 徐思南

( 中國石油大學(華東) 石油工程學院，山東 青島 266580 )

基于分形理論，考慮裂縫中心、長度和密度的概率分布，以及主應力方向等條件，研究分形離散裂縫模型隨機建模方法，建立離散裂縫數值試井解釋模型，得到井底壓力響應的數值解。對比數值解與基于連續性介質假設的解析解，證明數值試井解釋模型的正確性和一致性。結果表明：在相同的分形維數條件下，試井曲線基本重合，說明分形維數對離散裂縫具有較好的控制程度，可以為離散裂縫隨機建模提供依據，對認識天然裂縫性油藏裂縫發育特征具有參考意義。

分形； 離散裂縫； 隨機建模； 嵌入式； 數值試井

0 引言

隨著人們對油氣田勘探開發的逐步深入，世界上探明的裂縫性油藏(NFRs)數量不斷增加，裂縫性油藏試井受到越來越多的關注。目前，裂縫性油藏試井理論主要基于連續性介質假設[1-5]，認為地層中任何一個微元同時存在裂縫和基質兩種介質，假設并不完全符合裂縫性油藏的實際特點。Laubach S E、Lorenz J C和Narr W等[6-8]提出裂縫表現為離散、不規則及經常成簇出現的特征。Priest S D、 Villaescusa E和 Tamagawa T等[9-11]用隨機建模的方法生成離散裂縫網絡(DFN)模型，可以更好地刻畫裂縫性油藏的真實特性，但是隨機建模方式也使參數具有不確定性。為了生成更加符合裂縫性油藏實際的離散裂縫網絡，Darcel C、Kim T H和de Dreuzy J R等[12-14]將分形理論應用于離散裂縫網絡的隨機生成，提出分形離散裂縫網絡(FDFN)模型，分形參數能夠很好地控制裂縫的整體分布，可以更精確地模擬裂縫性油藏的裂縫分布特征。

在分形離散裂縫模型基礎上，筆者首先結合嵌入式離散裂縫模型和數值試井，建立分形離散裂縫數值試井解釋模型；然后采用有限差分方法對模型求解，得到井底壓力響應結果；最后分析裂縫中心、長度和密度的概率分布，以及主應力方向等分形參數及Fisher常數等對井底壓力動態的影響特征。

1 建模

采用基于裂縫中心分布的分形離散裂縫隨機建模方法[12-13]，構建裂縫長度和方向的概率分布的離散裂縫網絡模型。

1.1 裂縫中心分布

采用一階模型模擬裂縫中心點的概率分布[12]，表示為

(1)

式中：l為裂縫長度；L為模擬區域的長度；n(l,L)dl表示裂縫長度在l～l+dl之間的裂縫數量，當l與l+dl非常接近時，n(l,L)即為裂縫長度為l的裂縫數量；Dc為裂縫中心分布的分形維數；Dl為裂縫長度分布的分形維數；α為密度，其值越大，區域中的裂縫數量越多。

對式(1)積分，得到所有長度范圍內的裂縫總數量：

(2)

式中：lmin為模擬區域中最小裂縫的長度。

得到裂縫總數量后，采用多重分級法[12-14]確定裂縫中心的概率分布。首先將區域分成多個子區域，每個子區域賦予一個裂縫中心分布的概率Mi；然后將每個子區域進一步劃分子區域，直到所有子區域數量達到上限。裂縫中心的概率分布[12-14]表示為

(3)

式中：Dq為多重分形維數；q為與Dq有關的常數，文中多重分形維數為D2，即q=2；s為區域的邊長與子區域邊長的比值。

1.2 裂縫長度分布

對式(1)左端n取不同值，可得對應裂縫長度的概率分布：

(4)

1.3 裂縫方向分布

用Fisher分布[9,15]描述裂縫方向與最大概率方向的偏離程度：

(5)

(6)

式中：θ為裂縫方向與x軸正方向夾角；θ0為最大概率方向(主應力方向)；θm為到最大概率方向的偏離角；F為Fisher常數；M為裂縫方向分布的概率，滿足高斯隨機分布；m為隨機產生的正整數。

2 數值試井解釋模型

2.1 基質系統

由基質單元體中的質量守恒定律得到基質系統的連續性方程[16]：

(7)

式中：ρ、v為流體的密度和滲流速度；Q為源匯項；δm為判斷基質網格是否有裂縫穿過，當有裂縫穿過時δm為1，否則為0；Qm-n為基質網格m與n之間通過裂縫的流體流量；nNNC為裂縫穿過的基質網格數量。

假設地層巖石和流體微可壓縮，地層中流體的流動方式為達西滲流，則流體在基質系統中的運動方程、巖石和流體的狀態方程[17]分別為

(8)

(9)

式中：km為基質滲透率；μ為流體黏度；p為壓力；ρ為流體密度；φ為基質孔隙度；Cf、C1為巖石和流體的壓縮系數；p0為初始壓力。

將運動方程(8)和狀態方程(9)代入連續性方程(7)，并忽略源匯項，可得二維直角坐標系下的表達式：

(10)

(11)

式中：Tm-n為基質網格m與n之間的流動系數。

考慮外邊界條件時，對于封閉外邊界，有

(12)

對于定壓外邊界，有

(13)

式(12—13)中：Lx、Ly分別為模擬區域x、y方向的長度；pe為邊界地層壓力。

對于內邊界條件，考慮表皮效應(采用工程單位制，下同)和井筒儲存效應[18-21]，有

(14)

(15)

式(14—15)中：C為井筒儲存系數；S為表皮系數，rw為井筒半徑；B為流體體積系數；r為到井底的距離；pwf為井底流壓。

2.2 裂縫向基質的嵌入

計算裂縫穿過的基質網格塊之間的流動系數，實現嵌入式離散裂縫模型[22-27]中裂縫向基質系統的嵌入。與基于非結構化網格的常規離散裂縫模型相比，可以節約大量計算時間。文中采用Shiakiba M[27]提出的方法實現模型中裂縫向基質系統的嵌入。

基質網格塊間的流動系數為

(16)

式中：Tm-f、Tn-f為基質網格塊與裂縫之間的流動系數，Tm-f=km-fAm-f/dm-f，Tn-f=kn-fAn-f/dn-f。其中，km-f、kn-f分別為基質網格m、n與裂縫之間的滲透率，由基質與裂縫的滲透率km和kf計算得到[25-27]；Am-f、An-f分別為基質網格m、n與裂縫面相交的截面積；dm-f、dn-f為基質網格m、n與裂縫相交面的平均距離[27]。

利用式(16)，將裂縫嵌入到基質系統，建立基于分形離散裂縫的雙重介質數值試井解釋模型。

2.3 模型求解

首先采用有限差分方法對模型進行求解[17]，得到井網格的壓力pw；然后考慮表皮效應和井筒儲存效應影響，求解井底流動壓力[19]：

(17)

式中：h為儲層厚度。

3 模型驗證

3.1 正確性

為驗證模型的正確性，取分形參數Dc=1.9、θ0=π/4、F=5、α=3.5、Dl=1.3，構建分形離散裂縫模型(見圖1)。為與雙重介質模型解析解進行對比，對圖1的裂縫參數進行計算：(1)計算所有裂縫的孔隙體積[13]，求和得到裂縫系統的總孔隙體積；(2)由裂縫的總孔隙體積與基質系統的總孔隙體積，計算得到折算的裂縫系統彈性儲容比[19]ω=3×10-3；(3)由裂縫的滲透率與基質的滲透率，計算得到竄流系數[19]λ=8×10-7。將分形離散裂縫模型近似等效為連續性雙重介質模型，考慮表皮效應、井筒儲存效應、體積流量、內邊界條件和封閉外邊界條件，取對應參數為S=5，C=0.1 MPa/m3，Qv=120 m3/d，pe=pi=15 MPa，計算分形離散裂縫模型(FDFN)的數值解和連續性雙重介質模型(DPDP)的解析解(見圖2，其中虛線是壓力響應曲線對應的導數曲線，下同)。由圖2可見，所建立的分形離散裂縫模型數值解與連續性雙重介質解析解基本吻合，從而驗證模型的正確性。

圖1 分形離散裂縫模型

圖2 兩種模型試井壓力響應曲線Fig.2 Well test pressure response curves of two models

3.2 一致性

為驗證分形參數相同時計算得出試井曲線基本一致，令分形參數取值與3.1相同，通過多次隨機模擬得到不同的分形離散裂縫模型(見圖3)，分別計算并繪制各模型對應的試井壓力及壓力導數曲線(見圖4)。由圖3和圖4可見，雖然隨機產生的裂縫分布不同，但在相同的分形參數控制下，各個離散裂縫模型的解基本一致，表明分形參數對試井曲線具有較好的控制程度，在分形參數確定時，解也確定。

圖3 分形離散裂縫模型解的一致性驗證Fig.3 Consistency verification examples of fractal discrete fracture model

4 離散裂縫分形參數敏感性

為研究分形參數對試井曲線的影響特征，分別取不同的Dc、Dl、α、θ0、F，計算并繪制相應的試井曲線。

4.1 中心分布維數

在分形離散裂縫模型中，區域中裂縫位置中心的分形維數Dc越大，裂縫數目越多。設θ0=π/4，F=35，α=3.5，Dl=1.3，Dc為1.7、1.8、1.9，建立分形離散裂縫模型，計算并繪制Dc取不同值時對應的試井壓力及壓力導數響應曲線(見圖5)。由圖5可見，Dc越大，裂縫條數越多，壓力導數曲線在中期段“下凹”越深。原因是文中模型將基質視為連續性滲透介質，除了具有儲集能力外，還具有一定滲流能力：當裂縫

圖4 相同分形參數不同裂縫模型的壓力響應曲線Fig.4 Pressure response curves of different fracture models with the same fractal parameter

較少時，基質是主要滲透介質；當裂縫較多時(裂縫近似成為一種連續介質)，裂縫成為主要滲透介質。因此，裂縫數目越多，裂縫所占的總系統的彈性孔隙體積越大，文中模型的雙重介質特征越明顯，壓力導數曲線中期段“下凹”越深。

4.2 長度分布維數

在分形離散裂縫模型中，表示裂縫長度維數的Dl除了影響裂縫的長度外，還影響裂縫的總數量。設θ0=π/4，F=5，α=3.5，Dc=1.9，Dl為1.2、1.3、1.4，建立分形離散裂縫模型，計算并繪制Dl取不同值時對應的試井壓力及壓力導數響應曲線(見圖6)。由圖6可見，Dl的作用與裂縫中心分布維數Dc相反，其值越大，裂縫總數越少。因此，Dl對試井曲線的影響特征也相反，即Dl越大，壓力及其導數曲線中期段的“下凹”越淺。

圖5 裂縫中心分布維數Dc對壓力響應曲線的影響

Fig.5 Effect of fracture center distribution dimensionDcon the pressure response curves

圖6 裂縫長度分布維數D1對壓力響應曲線的影響

Fig.6 Effect of fracture length distribution dimensionD1on the pressure response curves

4.3 裂縫分布密度

在分形離散裂縫模型中，表示模擬區域中裂縫密度的α反映區域中裂縫的總條數。設θ0=π/4，F=35，Dl=1.3，Dc=1.9，α為2.5、3.5、4.5，建立分形離散裂縫模型，計算并繪制α取不同值時對應的試井壓力及壓力導數響應曲線(見圖7)。由圖7可見，α與裂縫中心分布維數Dc對試井曲線的影響規律一致，即α越大，裂縫數目越多，壓力導數曲線中期段的“下凹”越深。

4.4 Fisher常數

在分形離散裂縫模型中，Fisher常數F決定裂縫方向與地層主應力方向的符合程度。設θ0=π/4，α=3.5，Dl=1.3，Dc=1.9，令F為5、25、65，建立分形離散裂縫模型，計算并繪制F取不同值時對應的試井壓力響應曲線(見圖8)。由圖8可見，F越大，裂縫方向的一致性越好，裂縫總體發育方向越有序，裂縫對滲流作用的總體控制程度越高，壓力波及面積越小，波及范圍內裂縫的孔隙總體積越小，壓力導數曲線中期段的“下凹”越淺。

4.5 地層主應力方向

設F=25，α=3.5，Dl=1.3，Dc=1.9，θ0為π/2、π/3、π/4，建立分形離散裂縫模型，計算θ0取不同值時對應的試井壓力及壓力導數響應曲線(見圖9)。由圖9可見，當F為常數時，裂縫方向與主應力方向基本一致，裂縫對滲流作用的總體控制程度相近，垂直井的流動形態以平面徑向流為主，地層主應力方向θ0對試井曲線影響較小。

5 實例分析

應用文中模型，選取中國西部某裂縫性油藏的一口垂直測試井進行試井解釋，自動擬合參數：C=0.13 m3/MPa，S=5,Dc=1.92，Dl=1.34，F=20.54，α=3.54。由于θ0對試井曲線不敏感，在擬合解釋時，參照油藏取為常數。擬合后的試井壓力及壓力導數曲線見圖10。由圖10可見，試井的實際壓力及壓力導數曲線與文中模型計算的曲線基本符合，表明文中模型解釋結果可靠，具有現場實用性。

圖7 裂縫密度α對壓力響應曲線的影響Fig.7 Effect of fracture density α on the pressure response curves

圖8 Fisher常數F對壓力響應曲線的影響Fig.8 Effect of Fisher's constant F on the pressure response curves

圖9 地層主應力方向θ0對壓力響應曲線的影響Fig.9 Effect of formation principal stress direction θ0 on the pressure response curves

圖10 某裂縫性油藏壓力及其壓力導數擬合曲線Fig.10 Pressure and its derivative fitting curve

6 結論

(1)建立具有分形特征的離散裂縫數值試井解釋模型及其求解方法，與連續性雙重介質模型解析解對比，驗證模型的正確性。隨機生成的不同分形離散裂縫模型的試井曲線表明，在相同的分形參數控制下，各模型的解基本一致，文中模型中分形參數對試井曲線具有較好的控制程度。

(2)裂縫的中心分布維數、長度分布維數、分布密度、應力主方向，以及Fisher常數等影響壓力導數曲線下凹程度，裂縫中心分布維數和分布密度越大，或Fisher常數和裂縫長度分布維數越小，壓力導數曲線在中期段“下凹”越深；應力主方向對壓力導數影響較小。

(3)某裂縫性油藏測試井試井解釋表明，采用擬合參數的試井解釋曲線與實際現場測試壓力曲線相符，文中模型具有一定的現場實用性。

[1] Kazemi H, Merrill Jr L S, Porterfield K L, et al. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs [J]. Society of Petroleum Engineers Journal, 1976,16(6):317-326.

[2] van Golf-Racht T D. Fundamentals of fractured reservoir engineering [M]. Amsterdam: Elsevier, 1982.

[3] Warren J E, Root P J. The behavior of naturally fractured reservoirs [J]. Society of Petroleum Engineers Journal, 1963,3(3):245-255.

[4] 李清泉,王新海,尹虎,等.頁巖氣藏數值模擬及井底壓力動態分析[J].東北石油大學學報,2013,37(1):91-96. Li Qingquan, Wang Xinhai, Yin Hu, et al. Simulation of shale gas reservoirs and dynamic analysis of bottom hole pressure [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2013,37(1):91-96.

[5] 任俊杰,郭平,汪周華,等.三孔雙滲油藏非牛頓冪律流體試井分析[J].特種油氣藏,2012,19(6):76-80. Ren Junjie, Guo Ping, Wang Zhouhua, et al. Well test analysis of non-Newtonian power law fluid in triple pore and double permeability reservoirs [J]. Special Oil & Gas Reservoirs, 2012,19(6):76-80.

[6] Laubach S E. Fracture patterns in low-permeability-sandstone gas reservoir rocks in the Rocky Mountain region [C]//Low Permeability Reservoirs Symposium. Society of Petroleum Engineers, 1991.

[7] Lorenz J C, Hill R E. Subsurface fracture spacing: Comparison of inferences from slant/horizontal core and vertical core in Mesaverde reservoirs [J]. SPE Formation Evaluation, 1994,9(1):66-72.

[8] Narr W, Schechter D W, Thompson L B. Naturally fractured reservoir characterization [M]. Richardson, TX: Society of Petroleum Engineers, 2006.

[9] Priest S D. Discontinuity analysis for rock engineering [M]. New York: Springer Science & Business Media, 2012.

[10] Villaescusa E. Statistical modelling of rock jointing [J]. Probabilistic Methods in Geotechnical Engineering, 1993,11(2):221-231.

[11] Tamagawa T, Matsuura T, Anraku T, et al. Construction of fracture network model using static and dynamic data [C]//SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Society of Petroleum Engineers, 2002.

[12] Darcel C, Bour O, Davy P, et al. Connectivity properties of two-dimensional fracture networks with stochastic fractal correlation [J]. Water Resources Research, 2003,39(10):1272.

[13] Kim T H, Schechter D S. Estimation of fracture porosity of naturally fractured reservoirs with no matrix porosity using fractal discrete fracture networks [J]. SPE Reservoir Evaluation & Engineering, 2009,12(2):232-242.

[14] De Dreuzy J R, Davy P, Erhel J, et al. Anomalous diffusion exponents in continuous two-dimensional multifractal media [J]. Physical Review E, 2004,70(1):811.

[15] 楊立中,黃濤,賀玉龍.裂隙巖體滲流—應力—溫度耦合作用的理論與應用[M].成都:西南交通大學出版社,2008. Yang Lizhong, Huang Tao, He Yulong. Theory and application of seepage-stress-temperature coupling in fractured rock mass [M]. Chengdu: Southwest Jiaotong University Press, 2008.

[16] 嚴俠,黃朝琴,姚軍,等.基于模擬有限差分的嵌入式離散裂縫數學模型[J].中國科學:技術科學,2014,44(12):1333-1342. Yan Xia, Huang Zhaoqin, Yao Jun, et al. The embeded discrete fracture model based on mimetic finite difference method [J]. Science China Press: Science and Technology, 2014,44(12):1333-1342.

[17] 韓大匡.油藏數值模擬基礎[M].東營:石油工業出版社,1993. Han Dakuang. Foundation of reservoir numerical simulation [M]. Dongyin: Petroleum Industry Press, 1993.

[18] 吳明錄,姚軍.多層油藏流線數值試井解釋模型[J].石油勘探與開發,2007,34(5):609-615. Wu Minglu, Yao Jun. Streamline numerical well testing interpretation model for multi-layer reservoir [J]. Petroleum Exploration and Development, 2007,34(5):609-615.

[19] 張艷玉,姚軍.現代試井解釋原理與方法[M].東營:中國石油大學出版社,2006. Zhang Yanyu, Yao Jun. Principles and methods of modern well testing interpretation [M]. Dongying: China University of Petroleum Press, 2006.

[20] 樊冬艷,姚軍,金強,等.考慮儲層改造體積頁巖氣藏復合模型[J].東北石油大學學報,2015,39(2):77-84. Fan Dongyan, Yao Jun, Jin Qiang, et al. Composite model considering reservoir reformation volume shale gas reservoir [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2015,39(2):77-84.

[21] 姜瑞忠,郜益華,孫召勃,等.基于點源解的偏心井試井典型曲線分析[J].東北石油大學學報,2016,40(4):80-87. Jiang Ruizhong, Gao Yihua, Sun Zhaobo, et al. Analysis of eccentric well test typical curve based on point source solution [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2016, 40(4):80-87.

[22] Lee S H, Jensen C L, Lough M F. An efficient finite difference model for flow in a reservoir with multiple length-scale fractures [C]//SPE Annual Technical Conference and Exhibition. Society of Petroleum Engineers, 1999.

[23] Lee S H, Lough M F, Jensen C L. Hierarchical modeling of flow in naturally fractured formations with multiple length scales [J]. Water Resources Research, 2001,37(3):443-455.

[24] Li L, Lee S H. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media [J]. SPE Reservoir Evaluation & Engineering, 2008,11(4):750-758.

[25] Moinfar A, Varavei A, Sepehrnoori K, et al. Development of an efficient embedded discrete fracture model for 3D compositional reservoir simulation in fractured reservoirs [J]. SPE Journal, 2014,19(2):289-303.

[26] Moinfar A. Development of an efficient embedded discrete fracture model for 3D compositional reservoir simulation in fractured reservoirs [D]. Austin: University of Texas, 2013.

[27] Shakiba M. Modeling and simulation of fluid flow in naturally and hydraulically fractured reservoirs using embedded discrete fracture model [D]. Austin: University of Texas, 2014.

2016-08-06；編輯：張兆虹

長江學者和創新團隊發展計劃項目(IRT1294)；中央高校基本科研業務費專項資金項目(14CX02045A)

吳明錄(1978-)，男，博士，副教授，主要從事油氣田開發工程方面的研究。

TE357

A

2095-4107(2016)06-0114-07

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2016.06.013