一類有理函數的中性周期點鄰近的動力學性質

鐵勇

有理函數的有理中性周期點的內容是復分析動力系統中一個重要的研究內容。該文通過分析有理函數的有理中性周期點鄰近結構的三個不同的性質，給出了詳細的證明方法，這對研究和推廣有理函數的周期點鄰近結構的性質提供了一定的理論和證明依據。

有理函數中性周期點動力學性質

1引言

有理函數的有理中性周期點作為復分析動力學中的重要內容，對研究其鄰近的結構性質有一定的理論意義。而有關有理函數的有理中性周期點的的不同性質一直是復分析研究的重點問題。但是關于性質的研究及推廣是一個值得研究的焦點。本文通過分析有理函數的有理中性周期點鄰近結構的三個不同的性質，給出了詳細的證明方法，這對研究和推廣有理函數的周期點鄰近結構的性質提供了一定的理論和證明依據，也為復分析動力學的周期性問題的深入探討起到了很好的促進作用。

2有理函數的中性周期點鄰近的性質

性質1：對于degR≥2的有理函數R的有理中性周期軌道包含于J（R）。

證明：設ξ1，…，ξp為R的有理中性周期軌道，則對于ξ∈ξ1，…，ξp，有Rpξ=ξ且Rp'ξ是1的某次（設為K次）根，不妨設ξ=0，則Rpz=az+bzr+…，（b≠0，r為≥2的某一自然數），令Sz=Rpkz，則S（z）=akz+o（z2），S（0）=z+czq+…（c≠0，q為≥2的某一自然數），再次由歸納法得（Sn（z））q（0）=nc·q！→∞，ξ=0∈J（R）.

性質2 ：ⅰgππ； ⅱRegnz→∞n→∞，z∈w；ⅲg：π→∏共形共軛于一個平移變換。

分析論證：設w=x+iygw=u+iv， Aw+θw=a+bi，對于w∈π，有w>κ， u=x+p+a， v=y+b，進而有 v2-4κκ-μ≥4κp-4κp+4κa，又由于2by+4κa≤6w·a+bi=6x2+y2·a2+b2≤6A+B<2κ<4κp，即gππ成立。

證明ⅱ：令 π0=σ-1π，由此可見fπ0π，以下只須說明對充分小的t，σ-1t就是花瓣，設z=Yeiθz∈S，1zθ=σz=w=ρeiφw∈W，從而有ρ=1rp，φ=-ρθ，由極坐標有π=ρeiφ：2κ<ρ1+cosφ，進而有π0=σ-1πρeiθ：2κ<1rp1+cosρθ=reiθ：rp<12κ1+cosρθ，其中，t=12κ。

由上述證明的（i）和（iii）可得到g：π→∏共形共軛于一個平移變換。

性質3：若R是degR≥2的有理函數，F0是F關于R的完全不變分支，則F0既是單連通，又是無限連通的。

證明：設F0的余集D∞-F0有C個分支E1，…Ec，其中，1≤C≤+∞，且D∞-F0=∪Cj=1Ej，由F0是F關于R的完全不變分支，可推知∪Cj=1Ej為R的完全不變集，因此，存在充分大的自然數m，使得每一個Ej是Rm下的完全不變集，又因為J（R）=∪Cj=1Ej，且J（R）有無限個點；因此，存在j*∈{1，2，…，C}，使得Ej*有無限個點，再由J（Rm）的極小性可得到J（Rm）Ej*，而J（Rm）=J（R），另一方面，顯然有Ej*J（Rm），因此可得到Ej*=J（Rm），又可知每個Ej與J（R）都是相交的；故D∞-F0只有一個分支E1，因此，F0是單連通的。參考文獻：

[1]阿姆斯特朗.基礎拓撲學[M].北京：人民郵電出版社，2010.132-133.

[2]呂以輦.復解析動力系統[M].北京：科學出版社，1997.71-72.