淺談如何提高初中生的數學思維與解題技巧

杜蓮芳

在平時課堂教學實踐中，我一直在大膽實踐和探索數學的教學方法、途徑，根據多年實踐和探索，我把課堂教學大致分為選用、組題、仿編、改編、新編這五種方法，力圖對學生進行有效訓練，切實提高他們的數學思維與解題技能。

初中學生數學思維解題技能

一、選用

在教學中，從以前就有的題目中選用一些優秀的題目，這類題目主要考查學生對所學基礎知識、基本方法的掌握情況。直接選用的陳題一般用于課堂訓練、平時檢測或達標性測試，其優點是方便快捷、便于操作，缺點是老作為測試用，缺乏公平性，尤其是分值較大的中難題，所以作為中考復習或平時教學，還可以選用一些代表性的習題。

例如，我剛在本學期“圖形的全等與相似”這一中考專題復習課上，就選用如下一道題。已知：在△ABC中，D為BC的中點，E為BD的中點，且AB=BC，求證：AE=AC。我選用的意圖是：本題的條件、結構均比較簡單，但問題的解決方法較多，既可用全等，也可用相似。解題方法的多樣性決定了這道題比較適合于中考前的復習教學。課堂上，在給予學生足夠多時間思考之后，我請位成績好的學生代表暢談了自己的解題思路。

學生甲說：結合條件與結論特征，適當聯想，由于點E為BD的中點，即AE為△ABD的中線，因此可以考慮延長AE到點F，使EF=AE，如圖2，所以接下來只要證明AF=AC即可。

學生乙說：從結論“AB=BC”出發，考慮取AC邊的中點G，再連結DG，如圖3，最后通過全等證AE=GC。

學生丙則由結論聯想到“三角形中位線定理”，由于圖中并不存在中位線，于是取AB的中點M，連結DM，構造中位線，如圖4。

事后，在這節復習課后的教學反思中，我認為由于所選用的題目使用時機比較恰當，因此課堂上實際使用的效果比較明顯，即通過一道題全面復習三角形的全等與相似，同時引出了三角形中位線定理的運用。由此可見，只要運用恰當，陳題也可以煥發新的活力，讓課堂精彩紛呈，這也是許多經典數學題的經典魅力所在。選擇好的題目進行教學，既有利于學生展示自己的技能，也有利于正確地進行數學教學，更有利于突破應試教學，推進素質教育，對我們今后的初中數學教學起到積極促進與導向作用。

二、組題

許多時候，題目不是單個出現，而是根據需要結合出現。我在平時課堂教學中，既要考慮題型的出現，又要考慮作業量控制的搭配，防止題海戰術，盡量讓學生學會做一道題就能做一類題。由于不同題型的特點與功能不一樣，因此在教學中也有不同的要求。

例如，若雙曲線y=與直線y=x沒有交點，試求出k的取值范圍。在課堂上，強調數學思維的訓練，同樣地，數學命題中也要考慮到足夠的思維容量。難并不是數學命題的追求，數學訓練題最關鍵的目標是訓練學生對核心數學知識與技能的掌握狀況，我在課堂上嘗試了如下兩種思路。

思路一：若兩個函數圖象沒有交點，則聯系兩個函數解析式所得方程組無解，即y=，y=x無解，所以=x無解，即x2=1-k無解，從而得k>1。

思路二：采用數形結合的方法，由于直線y=x經過第一、三象限，所以要是兩個函數圖象沒有交點，則他們的圖象必為圖5所示情形。所以雙曲線y=的圖象位于第二、四象限，由此可得1-k<0，解得k>1。

我在中考復習中使用這道命題，推理思路較為簡單，推理步驟并不煩瑣，但卻很好地訓練了學生的相關知識、技能與思想方法。課堂教學中訓練與考查的指向性應比較強，通常情況下知識與技能不宜二者并重，當側重知識時，技能應淡化些，當側重技能時，知識要求不能加深。

在課堂上，我以某個題目為原型，仿其命題思路編擬出類似的題目，這類題目的特點是解題思路方法與原型相同，目的重在考查學生的遷移能力。我通過對2011年各地中考試卷調查分析發現，對旱災、環保、世博、金融、房產等社會熱點仿編題目較多，因此在平時課堂上，可著重講解社會問題與數學知識相結合的試題。但一方面應盡量避免人為編造繁難的計算或證明；另一方面要加強對身邊數學的關注，形成學數學、用數學的意識的能力。故課堂教學中應加強對實踐性題型的研究，重課本、抓基礎、關注生活、強化應用指導學生學會轉化、化歸思想，將其轉化為我們熟悉的問題情境予以解決。

三、改編

改變某個題目中的條件或問題，使知識得到拓寬延伸，這在每年的中考中屢見不鮮，這類題目的解題思路、方法與原題不同，目的重在考查學生用知識、方法的能力。所以對陳題作些改變，常常能命出新意，給人以舊貌換新顏的感覺。

例如，某省2007年中考題中的一道有關用布料做童裝的應用題，在課堂上，我將它改編為：現有一正方形木板，經過對稱中心畫出兩條互相垂直的直線，把這個正方形分成四個區域，如圖，安裝并轉動靈活的指針后，把整個裝置放在水平的桌子上，轉動指針到自然停止，下列說法正確的是（）

A.指針落在區域①的機會最大；B.指針落在區域②的機會最大；C.指針落在每一區域的機會一樣大；D.無法預測指針落在各個區域的機會大小。

這道題的原型大家應該都很清楚，那就是這樣的一道證明題：“有兩個正方形，若其中一個繞另一個的中心旋轉任意角度，則重疊部分的面積是一個定值”，將圖形略作改變，與概率這一知識點結合起來，就改編成了上面的一道新題。仿編與改編都是由某一陳題演變而來，它們之間有聯系，但更有著明顯的區別。

四、新編

新編，即根據課程標準和學生的知識水平，結合生產、生活實際，編擬出全新的數學題目。這類題目獨具一格、新穎別致，使本就五彩繽紛的數學題型大放異彩，更加燦爛奪目。

例如，2011年貴州中考題：“校園手機”現象越來越受到社會關注，為了了解學生和家長對中學生帶手機的態度，某記者隨機調查了城區若干名學生和家長的看法，調查結果分為：贊成、無所謂、反對。并將調查結果繪制統計表和統計圖。根據圖表信息，解答下列問題。

（1）統計表中的A=________。

（2）統計圖中表示家長“贊成”的圓心角的度數為________度。

（3）從這次接受調查的學生中，隨機抽查一個，恰好是持“反對”態度的學生的概率是多少？

本題取材于實際生活，既涉及相關的幾何推理與計算，也考查了學生的方案設計能力，源于教材而高于教材，在某種程度上提高了學生運用理論解決實際問題的能力。

在平時的教學中，應針對學生的實際水平，根據學生的實際需要，注重學生的全面發展而進行教學。在教學技能和教學素質不斷提高的基礎上，通過自覺地訓練和經驗反思，課堂教學技能會在實踐中創造性地應用，得到充分地發揮。