改進的多目標混合整數優化算法及其在蒸汽動力系統優化中的應用

魏 暢, 杜文莉

(華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室, 上海 200237)

改進的多目標混合整數優化算法及其在蒸汽動力系統優化中的應用

魏 暢, 杜文莉

(華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室, 上海 200237)

為了提高多目標粒子群算法(MOPSO)的收斂性和多樣性,以及增加多目標粒子群算法的適用范圍,提出了一種ε約束處理混合三點隨機Gbest選擇多目標粒子群(ε-TMOPSO)算法。采用一種全新的三點隨機Gbest選擇機制,用粒子與檔案集中非支配解的歐氏距離最近、最遠以及處于中間位置的3個粒子構建一個備選池,然后隨機選擇一個粒子作為Gbest,提高算法的收斂性和多樣性;采用改進的帶松弛階段ε約束處理機制處理約束條件,在前期允許加入部分優秀的不可行解,提高算法跳出局部最優的能力;融入Sigmoid函數離散變量編碼處理機制,使算法能夠處理混合整數問題,增加算法的適用范圍。通過測試函數仿真,與EM-MOPSO、NSGA2以及SNSGA算法進行對比,結果表明本文算法在收斂性和分布性上有一定的優勢。將該算法應用于乙烯裝置蒸汽動力系統優化中取得了較好的效果,進一步證明了該算法的有效性。

多目標粒子群; 三點隨機Gbest選擇;ε約束處理; 離散變量編碼; 蒸汽動力系統

大多數的工業優化問題,實際上都是多目標優化問題,如蒸汽動力系統的優化,在文獻[1]中就考慮了經濟型指標和環境指標。這些優化模型一般存在表示設備開停的離散變量,并且工業過程必然存在各種約束條件,這類問題實際上就是帶約束的多目標混整問題(CMOMI)。

近年來,國內外學者對多目標問題進行了大量的研究,提出了種類繁多的多目標優化算法。一般分為如下兩類:

(1)基于單目標的多目標優化方法。一般將多目標優化問題按照一定的方式轉換為單目標優化問題,然后對單目標優化問題進行求解。但是這種方法有幾個明顯缺點:要求用戶提供精確的決策信息、只能得到一個局部最優解、僅能運用于較小的問題集、推廣性較差等。

(2)基于啟發式的多目標優化方法,即通過模擬自然界中的各種現象發展起來的優化方法。它是全局優化算法,不會受到具體問題的束縛,推廣性很強,魯棒性很高,這些性質使其更適合解決一些實際問題[2-7]。

多目標粒子群算法(MOPSO)[8-11]是一種基于啟發式的多目標優化方法,已得到廣泛關注,成為優化算法領域的研究熱點。Coello[10]采用基于柵格的方法對外部檔案集進行維護,把目標空間劃分為多個超立方體,每個個體的飛行經驗保存在一個超立方體,通過判斷每個超立方體包含的非支配解的個數來維護外部檔案集。Sun等[12]提出了一種多群體多目標粒子群算法,一部分群體朝著更優的Pareto前沿搜索,一部分群體朝著較遠的Pareto前沿搜索,提高了算法的全局搜索能力。雖然前人做了很多研究和改進,但總的來說,現有的多目標粒子群算法在全局最優解的選取以及約束條件的處理上、在全局搜索以及局部搜索之間的平衡性能改進上尚缺乏研究,致使Pareto前沿解的收斂性和分布性較差,也不能適用于帶約束的多目標混整問題(CMOMI)。

針對以上問題,本文提出了一種ε約束處理混合三點隨機Gbest選擇多目標粒子群(ε-TMOPSO)算法。考慮到算法對于收斂性和Pareto前沿多樣性的要求,提出了三點隨機Gbest選擇機制。為了使本文算法適用于CMOMI問題,融合了文獻[13]中改進的帶松弛階段ε約束處理機制以及文獻[14]中的Sigmoid函數離散變量編碼處理機制。通過求解測試函數ZDT1、ZDT2、ZDT3,以及對性能指標進行比較,可以發現,本文提出的ε-TMOPSO算法在收斂性和分布性上比EM-MOPSO[11]算法和經典NSGA2[3]算法優秀。通過求解一個帶約束的多目標混整非線性規劃測試函數,表明了該算法適用于求解帶約束的多目標混整問題(CMOMI)。最后將該算法應用于某石化廠乙烯裝置蒸汽動力系統多目標優化中,結果顯示優化效果明顯,達到了節能的目的。

1 多目標粒子群算法

MOPSO算法[9-10]采用多點并行搜索機制,通過個體最優位置Pbest以及群體最優位置Gbest,領導粒子向Pareto前沿飛行,對粒子進行迭代,實現動態搜索最優解。該算法原理簡單、使用方便、需要設置參數較少、收斂速度快,但是容易陷入局部最優,后期收斂速度較慢,并且不能適用于帶約束的多目標混整問題(CMOMI)。基本MOPSO算法步驟如下:

(1) 初始化粒子位置X和粒子飛行速度V,計算各個粒子的適應度函數,將其非支配解加入到外部檔案集Np中;

(2) 選擇粒子的初始Gbest和Pbest;

(3) 保證粒子在不越界的情況下,根據速度和位置對粒子的速度和位置進行更新,然后計算各個粒子的適應度函數,更新各個粒子的Pbest;

(4) 根據新產生的非支配解維護外部檔案集Np,同時為群體更新新的Gbest;

(5) 判斷終止條件,不滿足則跳至步驟(3);

(6) 輸出外部檔案集。

2 帶有混合整數的多目標粒子群改進算法

2.1 概述

針對基本多目標粒子群算法的缺陷,本文提出了ε-TMOPSO算法。在選擇Gbest時,為了平衡算法的收斂性以及Pareto前沿的分布性,采用三點隨機Gbest選擇策略為每一個粒子選擇一個合適的Gbest;為了在算法早期利用一些優秀的不可行的非支配解,加快算法收斂速度,避免陷入局部最優,在約束的處理上,采用改進的帶松弛階段ε約束處理機制;在離散變量的處理上,直接采用了比較經典的Sigmoid函數離散變量編碼處理機制,增加算法的適用范圍。另外,在更新粒子速度時,慣性權重ω以及加速因子c1、c2根據進化代數自適應變化。

2.2 三點隨機Gbest選擇策略

現有的多目標粒子群算法中Gbest的選擇方法很多,如在外部檔案集中隨機選擇[15-16],這種方法效率不高,每一個非劣解被選上的概率相等,這樣會導致粒子集中的區域被選概率較大,不利于粒子的Pareto前沿分布,群體多樣性下降;采用小生境策略選擇Gbest[17]的方法參數選取困難;采用Sigma策略選擇Gbest效果好,但是要求適應度函數是正函數,并且解的收斂性過分依賴于初始種群的多樣性。針對這些策略存在的問題,本文提出了一種三點隨機Gbest更新策略,為每一個粒子在外部檔案集中選擇一個Gbest。首先計算每個粒子與外部檔案集中所有非劣解的歐氏距離,選擇距離最近、最遠以及處于中間的3個非劣解作為候選Gbest,然后在這3個候選非劣解中隨機選擇一個作為該粒子的Gbest。

當為所有粒子選擇一個相同的Gbest時,粒子都會朝著一個相同的非劣解方向飛行,容易陷入局部最優,也不利于最終求得Pareto前沿的解集分布。而本文提出的三點隨機Gbest更新策略為了在收斂性與多樣性之間達到一種平衡,以每個粒子與外部檔案集中非劣解的距離為初步評價指標,選擇距離最遠、最近以及處于中間的3個粒子作為備選池,然后從中隨機選擇一個粒子作為該粒子的最新Gbest。當選擇較近的非劣解作為Gbest時,必然會提高算法的收斂性;當選擇較遠的非劣解作為Gbest時,又會提高種群的多樣性。因此,該策略綜合考慮了算法的收斂性和多樣性,在提高收斂性的同時,也提高了最后Pareto前沿分布性。

2.3 改進的帶松弛階段ε約束處理機制

為了解決模型普遍帶約束的問題,本文采用改進的帶松弛階段ε約束處理機制。對于帶約束的問題,不能簡單地以解的可行性為判斷粒子質量高低的標準,否則容易使解陷入局部收斂。應該綜合權衡解的可行性與否以及違反約束程度,要充分利用優秀的不可行解,引導粒子更快地向Pareto邊界收斂,加快收斂速度;而對于一些違反約束程度相對較小的優秀不可行解,可以充分利用其攜帶的信息,并加以轉化為可行解。

本文方法與文獻[3]提出的約束處理方法相似,只是在進化前期加入一個由Tc控制的松弛階段。在松弛階段,通過調整控制參數ε的大小,將種群中的部分不可行解當成可行解來處理。隨著進化代數的增加,ε逐漸減小,被當成可行解的不可行解越來越少,直至數量為0,最后全部都是可行解。

第j個約束條件表達式為

(1)

個體Xi違反第j個約束條件的程度如式(2)所示,該個體的總約束違反度如式(3)所示。

(2)

(3)

在計算個體總約束違反度之后,基于帶松弛階段ε約束處理機制的方法將部分不可行解當成可行解處理,由參數ε動態調節整個過程。改進的ε動態調節過程由式(4)～ 式(5)表示。

(4)

(5)

其中:ε初始值取初始種群不可行解違反度總和的平均值;m為初始種群中不可行解個數;Tc為控制該松弛階段的時間長度,Tc=0.2×Maxgen,Maxgen是最大迭代次數。此時,以ε判斷粒子是否可行,違反度不大于ε的不可行粒子稱為偽可行解,此時的偽可行解當成可行解一樣處理。隨著ε逐漸減小為0,偽可行解逐漸被淘汰,在最終的檔案集中也不會存在不可行解,都是可行解。

2.4 離散變量編碼

目前很多實際問題都帶有離散變量,但是傳統的多目標粒子群算法不能解決這一問題,因此本文提出的算法融合了文獻[13]提出的Sigmoid函數離散變量編碼處理機制,擴大了算法的適用范圍。

采用式(6)所示的Sigmoid函數,把飛行速度Vij映射到[0,1]區間。

(6)

比較s(Vij)和隨機數r,通過式(7)對位置Xij進行取值。此時Vij表示的不是飛行速度,而是位置Xij取1的概率。

(7)

2.5 粒子速度、位置更新

粒子速度更新公式如式(8)所示。

(8)

其中:gen表示進化代數;Pbest表示粒子歷史最優位置;Gbest表示種群最優位置。慣性權重ω以及加速因子c1、c2根據進化代數自適應變化,這樣可以保證算法在早期增大搜索空間,避免陷入局部搜索,在后期加快收斂速度。粒子位置更新如式(9)所示。

(9)

2.6 變異

為了維持粒子的多樣性,避免粒子早熟收斂,提高算法跳出局部最優的能力,對粒子進行變異處理,如式(10)。

ife(-α·gen/Maxgen)>rand

(10)

其中:α=2;Xijmax表示粒子第j維的最大值;Xijmin表示粒子第j維的最小值。

2.7ε-TMOPSO算法步驟

(1) 確定算法基本參數:種群大小nPop,檔案集Np大小nRep,最大迭代次數Maxgen。

(2) 初始化粒子位置X和粒子飛行速度V,對離散變量進行離散化;初始化ε,根據ε選擇粒子,計算各個粒子的適應度函數,將其非劣解加入到外部檔案集Np中。

(3) 確定粒子的初始Pbest以及根據三點隨機Gbest選擇策略為每一個粒子選擇對應的Gbest。

(4) 保證在粒子不越界的情況下,按照2.4節更新粒子的速度和位置,按照2.5節對粒子位置進行變異,按照2.3節對離散變量進行離散化。

(5) 采用式(5)更新ε,計算各個粒子的適應度函數,根據非支配關系以及ε調整各個粒子的Pbest。

(6) 根據ε以及每個粒子的約束違反度,把偽可行解以及可行解加入到檔案集,然后刪除掉檔案集中的支配解,最后采用基于擁擠距離的策略對外部檔案集進行維護,當檔案集中解的數量超過其大小時,刪除擁擠距離小的解;同時,在外部檔案集中根據三點隨機Gbest選擇策略為每一個粒子選擇對應的Gbest。

(7) 判斷終止條件,不滿足則跳至步驟(4)。

(8) 輸出外部檔案集。

3 改進算法在多目標優化問題的性能比較

3.1 參數設置

將ε-TMOPSO算法通過幾個測試函數與EM-MOPSO[11]以及NSGA2[3]算法進行求解比較。ε-TMOPSO算法種群大小設為100,檔案集大小為100,迭代次數為100;EM-MOPSO算法種群大小設為100,檔案集大小為100,迭代次數為100,其他參數與文獻保持一致;NSGA2算法種群大小設為100,迭代次數為100,其他參數與文獻保持一致。為了避免一次實驗的偶然性,對每個測試函數實驗20次。

3.2 測試函數

選取多目標經典測試函數集ZDT系列中的ZDT1、ZDT2、ZDT3作為測試函數,其中ZDT1的Pareto前沿是凸的,ZDT2的Pareto前沿是凹的,ZDT3的Pareto前沿是非連續的,具有廣泛代表性。

3.3 性能評價標準

針對多目標優化算法,需要綜合考慮解集的收斂性和分布性,因此本文選取收斂性指標世代距離(Generational Distance,GD)以及分布性指標SP(Spacing)作為評判標準[18]。GD是算法收斂性指標,值越小表明所求的解集越靠近真實Pareto前沿,若GD=0,則表明所求的解集全在Pareto最優解集里面。SP是算法的分布性指標,值越小說明算法擁有更好的分布性。

3.4 實驗結果

表1示出了收斂性指標GD的對比實驗數據,表2示出了分布性指標SP的對比實驗數據。從表1可以看出,ε-TMOPSO的GD均值、標準差均比NSGA2和EM-MOPSO小,說明ε-TMOPSO收斂性更好。從表2可以看出,ε-TMOPSO的SP僅在ZDT1上比NSGA2稍差,其他參數均比NSGA2和EM-MOPSO小,即ε-TMOPSO解集分布性最好。綜上可見,ε-TMOPSO算法優化性能最好。

表1 收斂性GD測試結果對比Table 1 Test results of GD

表2 分布性SP測試結果對比Table 2 Test results of SP

4 改進算法在多目標混整非線性規劃問題的性能比較

s.t.g1(x)=3x1-x2+x3+2y1≤0

y1+7y2≤0

g3(x)=-x1-2x2+3x3+7y3≤0

g4(x)=-x1-10+12y1≤0

g5(x)=x1-5-2y1≤0

g6(x)=-x2-20+y2≤0

g7(x)=x2-40-y2≤0

g8(x)=-x3-17+y3≤0

g5(x)=x3-25-y3≤0

算法種群大小設為100,檔案集規模設為100,迭代次數設為200,仿真結果如圖1所示。與文獻[19]中SNSGA算法得到的350代Pareto前沿(圖2)相比,本文算法得到的Pareto前沿明顯更平滑,分布性更好,并且只進化了200代,收斂速度更快。

這是因為,首先三點隨機Gbest選擇策略綜合考慮了算法的收斂性和Pareto前沿的分布性;其次,帶松弛階段ε約束處理機制在算法早期允許加入一些不可行解,可以加快收斂速度,避免陷入局部最優;最后,Sigmoid函數離散變量編碼處理機制,在處理離散變量時,非常高效、簡單。另外,在更新粒子速度時,慣性權重ω以及加速因子c1、c2根據進化代數自適應變化,這樣的處理可以在算法后期加快收斂速度。因此,ε-TMOPSO算法對求解帶約束的多目標混整非線性問題是有效的。

圖1 ε-TMOPSO算法得到的Pareto前沿Fig.1 Pareto front got by ε-TMOPSO

圖2 SNSGA得到的350代Pareto前沿Fig.2 Pareto front of generation 350 got by SNSGA

5 實例研究

5.1 蒸汽動力系統多目標優化模型

蒸汽動力系統優化問題已經被大量研究,目標模型的建立主要是對多種能源介質進行折標求和[20-21],但是對于一些內部核算難以定價的企業,單目標模型結果存在人為經驗設定情況。以某石化廠乙烯裝置蒸汽動力系統進行實例研究,蒸汽能耗和電能耗為優化的兩個目標,建立蒸汽動力系統多目標優化模型如下:

5.2 優化求解與分析

該石化廠蒸汽管網蒸汽、電能耗多目標優化決策變量見表3。

表3 優化決策變量列表Table 3 Optimization decision variables

3個等級管網蒸汽需求為RSS=190.71 t/h,RMS=34.63 t/h,RLS=52.05 t/h,采用本文提出的ε-TMOPSO算法以及文獻[19]的SNSGA算法對模型求解,設置種群規模為100,檔案集大小為100,迭代次數為500,得出Pareto前沿如圖3所示。從圖3可以看出,ε-TMOPSO算法求出的解與SNSGA算法求出的解相比,在電能耗相等的情況下,前者擁有較小的蒸汽能耗,即ε-TMOPSO算法求出的解更好。ε-TMOPSO算法求出的解集具體數據見表4。

從表4可以看出,得到的12組解優化趨勢都是相同的,即通過增加壓縮機透平的抽氣量、減少減溫減壓器流量、并通過調節透平泵電泵開關量保證系統正常運行。其主要原因是增加透平MS抽汽量,提高了透平做功效率,減少SS消耗;減溫減壓器直接對蒸汽進行減溫減壓操作,而沒有讓蒸汽做功,造成了能量的浪費。

圖3 蒸汽管網多目標優化結果Fig.3 Multi-objective optimization result of the steam power system

按照表4給出的解集,在滿足現場情況的條件下,選取使兩個目標總和最小的一組解作為優化方案進行優化操作。從表4可以看出,蒸汽能耗降低了1.65千克標油/噸,電能耗降低了6.01千克標油/噸,總體下降了7.66千克標油/噸。此時蒸汽動力系統除蒸汽、電外的基礎能耗為484.41千克標油/噸,因此優化效率為1.32%。2015年7月13日14點30分,該石化廠按照這組結果進行調優,調優前后48 h運行效果如圖4所示,其中虛線左邊是優化前蒸汽系統能耗,右邊是優化后蒸汽系統能耗。可以看出現場運行結果與仿真結果保持一致,即優化后能耗明顯下降。

表4 優化結果Table 4 Optimization result

圖4 工業運行效果圖Fig.4 Industrial operation effect

6 結束語

本文提出了一種改進的MOPSO優化算法,經過對多目標經典測試函數集ZDT系列中的ZDT1、ZDT2、ZDT3 測試函數進行仿真,與EM-MOPSO算法以及NSGA2算法比較,驗證了該算法具有良好的收斂性和分布性,總體性能得到改善;通過對一個帶約束的多目標混整非線性測試函數的仿真,與SNSGA算法比較,驗證了該算法在求解此類問題時同樣具有良好的收斂性和分布性。最后將改進的算法應用于蒸汽動力系統優化中,效果較好。

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Improved Multi-objective Mixed Integer Optimization Algorithm and Its Application in the Optimization of Steam Power System

WEI Chang, DU Wen-li

(Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Process, Ministry of Education,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237, China)

By adoptingεconstraint to handle mixed average Gbest selection,this paper proposes a new multi-objective particle swarm algorithm for improving convergence and diversity,and increasing the applicable scope.The proposed algorithm adopts a new average Gbest selection mechanism,considers Euclidean distance of the particle and non-dominated solutions of archives and corresponding to the target function value such that the convergence and diversity of algorithm can be improved.Besides,an improved constraint handling mechanism with relaxation phase is utilized,in which some excellent infeasible solutions are allowed to join in early stage so as to improve the ability to jump out of local optimum.Moreover,the proposed algorithm blends the discrete variables coding mechanism of Sigmoid function such that this algorithm can handle mixed integer problem to increase the applicable scope of algorithm.Compared with the classical MOPSO,NSGA2 and SNSGA,the proposed algorithm has advantages in convergence and distribution of steam power system in ethylene plant,which further proves the effectiveness of the algorithm.

multi-objective particle swarm; three-points random Gbest selection;εconstraint handling; discrete variables coding; steam power system

1006-3080(2016)06-0827-08

10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.06.013

2016-03-02

國家自然科學基金(61403141, 61573141); 上海市教育委員會和上海市教育發展基金會“曙光計劃”

魏 暢(1989-)，男，湖北武漢人，碩士生，主要研究方向為建模優化。E-mail: 465299035@qq.com

杜文莉，E-mail: wldu@ecust.edu.cn

TP301

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