基于共同趨勢模型的非平穩過程在線監控

林原靈，陳前

（南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016）

基于共同趨勢模型的非平穩過程在線監控

林原靈，陳前

（南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016）

對于非平穩過程監控，傳統的基于數據平穩假設的多元統計過程控制方法是不適用的。針對上述問題，提出了一種基于共同趨勢模型的非平穩過程監控方法。共同趨勢模型從存在協整關系的非平穩多元變量中辨識出共同因子，將各非平穩過程變量分解成非平穩的共同趨勢成分與平穩成分之和的形式。不同于現有的基于協整模型的非平穩過程監控方法，共同趨勢模型能夠獲取各非平穩變量中的平穩成分，消除非平穩共同因子的影響并體現變量間全部的動態均衡關系。將對非平穩過程的監控變為應用共同趨勢模型，分解得到各非平穩過程變量中的平穩成分，然后應用傳統的多元統計方法，估計平穩成分的統計量及相應的控制限進行監測。石油蒸餾過程監控的實例研究結果表明，所提出的方法比基于協整新息變量的方法具有更可靠的監控效果。

共同趨勢模型；過程監控；非平穩過程；協整檢驗；過程控制；過程系統；系統工程

引 言

隨著技術的發展，現代工業過程系統的規模日益擴大，復雜程度不斷增加，系統發生故障的風險隨之提高。系統發生故障，往往造成人員傷亡和巨大的經濟損失。因此，必須對工業過程實時監控以確保能夠及時發現并排除故障。隨著傳感器和計算機技術在過程監控中的廣泛應用，海量的過程數據被記錄和保存。過程監控數據通常呈現出高維度、結構化分布、維度間強相關性的特征。為了有效分析過程監控中產生的大量數據進而揭示出故障征兆，數據驅動方法被應用于工業過程監控。數據驅動方法無需太多關于過程系統的先驗知識，而是通過學習大數據樣本來獲取數據的結構、分布規律等信息。多元統計過程控制（multivariate statistical process control，MSPC）作為一種數據驅動方法，在工業生產中得到了最廣泛的應用[1-2]。MSPC從表征過程系統正常運行的數據中提取出數據的有效信息，應用統計學理論建立統計監控模型，實現工業過程的在線監控。

經典的 MSPC方法中，主元分析（principal component analysis，PCA）、偏最小二乘（partial least square，PLS）、獨立成分分析（independent component analysis，ICA）等[3-10]方法得到了廣泛應用。進一步，為了提取數據的非線性特征，核主元分析（kernel principal component analysis，KPCA）、核偏最小二乘（kernel partial least square，KPLS）、核獨立成分分析（kernel independent component analysis，KICA）等[11-15]方法被發展并被應用于過程監控。但是上述方法對數據的統計特性有假設限制，例如，PCA、PLS假設數據服從平穩高斯分布。ICA則利用了數據的高階統計量信息，不要求數據服從高斯分布假設，但是常用的 ICA算法，如 Infomax、FastICA等，仍然假設數據分布是平穩的[16]。實際上，受過程系統內部復雜結構的相互作用和外界環境因素的影響，工業大系統的隨機過程數據并非總是平穩分布的。對于存在非平穩變量的過程，傳統的基于平穩隨機過程假設的MSPC方法是不適用的。

對于非平穩過程監控，經典的方法是建立自回歸積分移動平均（autoregressive integrated moving average，ARIMA）模型[17]。然而，建立ARIMA模型需對時間序列數據做差分，導致了數據中動態信息的丟失，并使得用已建立的ARIMA模型對新樣本做預測成為難題。協整理論[18-20]是近年來計量經濟學學者發展的一種非平穩多元時間序列分析方法，已成功在催化裂化過程（FCCU）、石油蒸餾過程等[21-23]工程領域證明了其有效性。協整理論指出，對于存在動態均衡關系的多變量非平穩過程，非平穩變量的某個線性組合是平穩的。協整方法先用協整檢驗方程求出協整向量，再將非平穩變量在協整向量空間上做投影，得到平穩的協整新息變量。協整理論將非平穩時間序列的長期趨勢和短期動態特征相結合，克服了ARIMA模型的不足。但是，現有的基于協整模型的監控方法存在缺陷：新息變量只包含了一組協整關系，對于存在多組協整關系的變量，未能體現變量間的全部動態均衡關系，因而抗干擾性不強。為了增強非平穩過程監控效果，本研究提出了基于共同趨勢模型的非平穩過程監控方法。共同趨勢模型是在協整理論基礎上發展的一種非平穩時間序列模型。Stock等[24]提出了共同趨勢表達，證明了存在協整關系的多變量非平穩過程中的各變量可以分解成非平穩的共同趨勢成分與平穩成分之和的形式，其中共同趨勢成分由稱為共同因子的一階單整過程驅動生成。相較于協整模型，共同趨勢模型的最大優點是能夠消除非平穩共同因子的影響，提取出各非平穩變量的平穩成分，平穩成分包含了變量間全部的動態均衡關系。對于非平穩過程監控，先用共同趨勢模型提取出各非平穩變量的平穩成分，再計算出平穩成分的統計量及其相應的控制限，從而實現非平穩工業過程的在線監控。

1 共同趨勢模型

1.1 平穩性檢驗與協整檢驗

多元隨機過程變量建立共同趨勢模型的前提條件是：①過程變量的各分量是同階單整非平穩的；②變量間存在協整關系。因此，首先要對各變量進行平穩性檢驗以確保各變量是同階單整的。對于一個非平穩的時序變量xt，定義xt的一階差分形式為Δxt≡xt?xt?1，若 Δxt是平穩的，則稱 xt是一階單整的，記為 I(1)。為簡單起見，下文討論的非平穩變量均是一階單整的。目前較為通用的平穩性檢驗方法是 Augmented Dickey-Fuller（ADF）單位根檢驗[25]，其核心思想是非平穩變量可以表示為包含單位根的自回歸模型的形式。ADF檢驗的檢驗方程為：

式中，p為滯后階數，通常根據最小化Akaike信息準則（Akaike information criterion，AIC）[26]的原則確定；Δxt為xt的差分；β1為均值；β2t為線性趨勢；π、γ1、…、γp為常系數；εt為殘差。使用最小二乘法對式(1)進行參數估計，通過比較式(1)中的系數π的t統計量與給定顯著性水平下的t分布臨界值，從而判斷序列xt是否平穩。具體的檢驗流程可以參閱文獻[25]。

在確定變量的平穩性后，接下來需要使用協整檢驗來判定非平穩的變量間是否存在協整關系并估計出協整向量。記Xt為n×1的多元非平穩變量，如果存在一個非零向量β∈Rn，使得ξt=βTXt是平穩的，則稱Xt是協整的，β是協整向量，ξt是新息變量。對于一階單整多變量的協整檢驗，通常使用對參數進行極大似然估計的Johansen檢驗[27-28]方法。建立關于 n維一階單整向量 Xt的向量自回歸（vector autoregression，VAR）模型：

式中，Π1、…、Πp均為n×n的自回歸系數矩陣；殘差εt為獨立同分布的零均值協方差平穩過程；滯后階數p通常根據最小化AIC的原則確定：

式(2)可以改寫成關于 Xt的向量誤差修正模型（vector error correction model，VECM）的形式：

Johansen檢驗使用最小二乘法對以下兩式進行參數估計：

得到式(5)和式(6)中殘差 ut的估計，分別記為和，滿足關系：

最后，求解式(9)的特征方程

對求解得到的特征值按照 λ1≥λ2≥…≥λn的順序排列。Johansen檢驗根據特征值的跡統計量和最大特征值統計量檢驗協整關系的個數，檢驗假設為：

對應的跡統計量和最大特征值統計量的定義分別如式(10)和式(11)所示：

其中，m是樣本數，λi是解式(9)得到的第i個最大特征值。Johansen檢驗從不存在協整關系的零假設H0(r=0)開始，如果拒絕零假設，則逐次增加零假設中的協整關系個數，檢驗至多存在一個協整關系的零假設H0(r=1)。重復上述步驟，直到接受零假設停止檢驗，此時零假設中r的值即變量間的協整關系個數。式(9)的前r個最大特征值λ1,…,λr所對應的特征向量構成了協整系數矩陣β的列向量。進一步，調整系數矩陣α的最大似然估計表達式為：

具體的檢驗流程及相關公式的推導可以參閱文獻[27-28]。

1.2 共同趨勢表達

Stock等[24]提出了共同趨勢表達（common trends representation）方程。共同趨勢表達是共同趨勢模型的理論基礎，它表明：存在協整關系的一階單整非平穩多元變量的各個分量可以分解為一階單整的共同趨勢成分和平穩成分之和的形式，其中共同趨勢成分由若干個被稱作共同因子的一階單整過程驅動生成。對于多元變量Xt∈Rn，Xt的每個分量是一階單整的，則相應的 VAR模型的特征多項式Π(z)可以變形為：

即多項式分解成單位根部分和不含單位根的平穩部分。因此形如式(4)的誤差修正模型可以改寫為：

式(14)中，L是滯后算子，C(L)=[Π*(L)]?1，，C(0)是n×n的單位矩陣。式(14)即形為式(4)的誤差修正模型對應的向量移動平均（vector moving average, VMA）的表達形式。令C(L)= C(1)+(1?L)C*(L)，代入式(14)做積分，不考慮Xt中的確定性成分，得到如下的關于Xt的向量移動平均表達式：

如果變量Xt間存在r個協整關系，記β為n×r的協整矩陣，β的每一列為Xt的一個協整向量，則βTXt是平穩的，因此βTC(1)=0，且C(1)的秩為n?r，即存在n×(n?r)的列滿秩矩陣H1、H2，使得C(1)可以分解為C(1)=H1H2T的形式。因此，式(15)可以改寫成如下的形式：

式(16)中，H1τt稱為Xt的共同隨機趨勢成分，簡稱共同趨勢成分，τt是一個(n?r)×1的向量，其各個分量可被視作隨機游走過程，因而Xt各變量的共同趨勢成分是一階單整的非平穩過程，St=C*(L)εt稱為Xt的平穩成分，其各變量是協方差平穩的。式(16)被稱為Stock-Watson共同趨勢表達。共同趨勢表達方程表明：對于存在r個協整關系的n維一階單整變量，其各變量可以分解成非平穩的共同趨勢成分和平穩成分之和的形式，其中共同趨勢成分由n?r個一階單整過程驅動生成。

由式(16)可以得到共同趨勢模型的一般形式：

式(17)中，ft被稱為共同因子，其各個分量是一階單整的，是Xt非平穩并且存在協整關系的原因；是平穩成分，其各個分量是二階平穩的。

1.3 Gonzalo-Granger分解

共同趨勢表達證明了存在協整關系的多元一階單整變量存在共同因子，但并沒有直接提供辨識出變量的共同趨勢成分和平穩成分的方法。為了有效地識別出共同趨勢成分和平穩成分，必須對共同趨勢成分或平穩成分的性質施加一定的限制條件?；诓煌南拗茥l件，不同的共同趨勢模型[29-30]被提出。目前，Gonzalo-Granger分解[30]是應用最廣泛的共同趨勢模型之一。

Gonzalo等[30]提出，對于式(17)，使用以下兩個限制條件可以辨識出共同因子ft：①ft是Xt的線性組合；②式(17)可以被看成永久-瞬態（permanent-transitory, P-T）分解的形式，Aft和分別構成了Xt的永久成分和瞬態成分。

對于各變量均是一階單整的 n維非平穩變量Xt，Xt的各變量間存在r個協整關系，定義α, β∈Rn×r分別為調整系數矩陣和協整系數矩陣，則形如式(4)的誤差修正模型可以改寫成：

由條件①可知，共同因子ft可以表示為：

其中B是一個(n?r)×n的變換矩陣。將式(19)代入式(17)，則=(I?AB)Xt。由于是平穩的，可以表示成=A1βTXt的形式。

根據條件②，Gonzalo等[30]定義了一階單整序列Xt的P-T分解形式：①Xt=Pt+Tt，其中Pt是永久成分，Tt是瞬態成分；②Pt的各個分量是一階單整的，Tt的各分量是平穩的；③令

為(ΔPt,Tt)的自回歸表達，并且uPt和uTt是不相關的，則

其中Et表示對過去歷史的條件期望。該限制條件表明只有永久成分Pt的新息項uPt對Xt有長期影響。結合式(18)，由于ft為Xt的線性組合，要使得對Xt沒有長期影響，即ΔXt的線性組合不包含 βTXt?1的成分，則唯一的線性組合為，其中α⊥是α的正交補矩陣。對矩陣(α⊥, β)T求逆，得到關于 Xt的P-T分解表達式：

式(20)中，等號右邊第1項表示Xt的永久成分，即共同趨勢模型中的共同趨勢成分，等式右邊第2項表示 Xt的瞬態成分，即共同趨勢模型中的平穩成分。式(20)即Gonzalo-Granger分解共同趨勢模型。

在上述共同趨勢模型研究工作的基礎上，Escribano等[31]進一步系統地論證了協整模型、Stock-Watson共同趨勢表達和Gonzalo-Granger分解之間的等價關系，表明①共同因子是非平穩變量間存在協整關系的原因，②平穩成分體現了變量間的全部動態均衡關系。相關結論和具體證明可以參閱文獻[31]。

1.4 數值仿真

為了驗證共同趨勢模型的有效性，應用Gonzalo-Granger分解來辨識仿真生成的多元一階單整過程數據的平穩成分。根據共同趨勢模型理論，共同趨勢成分是一階單整的，其2階矩是隨時間變化的，而平穩成分是協方差平穩的，其2階矩是時不變的，因此可以通過比較平穩成分各分量的實際標準差和由共同趨勢模型辨識出的平穩成分各分量的標準差來衡量共同趨勢模型的分解效果。

仿真數據為包含 3個變量的多變量非平穩過程，每個變量均受到同一個隨機游走過程影響。該過程如下：

其中εt,,均服從均值為0，標準差為0.5的正態分布， ft是隨機游走過程，和均為平穩的AR(1)過程。

由于仿真數據的隨機性，為了保證結果的可靠性，仿真數據的樣本長度為5000，仿真10000次取平均值。每次仿真時，先對Xt進行Johansen檢驗，估計出協整系數矩陣β和調整系數矩陣α，再將β和α代入Gonzalo-Granger分解的表達式(20)，得到各變量的共同趨勢成分和平穩成分。

表1 仿真數據各變量的平穩成分的標準差Table 1 Standard derivations of simulated stationary components

由表1可知，仿真實驗中，Gonzalo-Granger分解辨識出的各變量平穩成分的標準差非常接近實際值，說明該模型能夠有效地識別出平穩成分。因此，選擇使用 Gonzalo-Granger分解模型用于非平穩過程監控。

2 基于共同趨勢模型的非平穩過程在線監控方法

根據共同趨勢模型的相關理論，存在協整關系的多元非平穩過程變量可以分解成非平穩的共同趨勢成分和平穩成分，其中平穩成分體現了變量間全部的動態均衡關系。由于平穩成分是協方差平穩的，因此可以將平穩成分提取出來，消除非平穩共同趨勢成分的影響，應用經典的多元統計方法對其進行監控。對于存在協整關系的非平穩工業過程，先使用共同趨勢模型提取出正常工況下各非平穩過程變量的平穩成分。當工業過程系統發生故障，變量間的動態均衡關系被破壞，此時，依照正常模型從故障數據提取出的“平穩成分”不再服從正常工況時平穩成分的統計規律。基于上述思想，提出了基于共同趨勢模型的非平穩過程監控方法。與文獻[22]中基于協整新息變量的監控方法的區別在于，本方法是對非平穩變量的平穩成分進行監控，而后者是對非平穩變量協整模型的新息變量進行監控，但是新息變量不能全面地反映變量間的動態均衡關系。相似之處在于新息變量與平穩成分都是二階平穩的，兩者可以使用相同的統計指標。本文使用的監控指標是Hotelling的T2統計量[32]，與文獻[22]相同。

2.1 監控統計量

對于多元變量監控，Hotelling的T2統計量是最常用的監控指標之一。對于數據集 X∈Rn×m，其中n表示變量維度，m表示樣本個數，為了消除變量尺度不同帶來的影響，先對X做歸一化處理，即每個樣本分別減去變量的樣本均值再除以相應的樣本標準差。記Z∈Rn×m為標準化的數據集，計算Z的樣本協方差矩陣：C=ZZT/(m?1)，接著對協方差矩陣進行特征值分解，并按照特征值的大小進行降序排列：C=PΛPT，其中Λ表示k個最大特征值構成的對角矩陣，即Λ=diag(λ1, λ2,…,λk)，P為由k個特征值對應的特征向量構成的載荷矩陣。在確定k的大小時，通常采用累積方差貢獻率方法。累積貢獻率定義為，通常取累積方差貢獻率不小于 85%即認為包含了原始數據足夠多的信息。對于每個樣本z，按下式計算Hotelling的T2統計量：

在數據服從協方差平穩分布的假設下，Hotelling的T2統計量的控制限由F分布估計：

式(22)中，Fα(k, m?k)表示在置信水平α上自由度為k和(m?k)的F分布。

2.2 監控流程

基于共同趨勢模型的非平穩過程監控流程如圖1所示。

圖1 基于共同趨勢模型的非平穩過程監測方法Fig.1 Non-stationary process monitoring using common trends models

2.2.1 建立正常工況下的模型

（1）對正常數據集樣本的各個變量及其一階差分變量進行 ADF單位根檢驗，選取出一階單整變量Xt=(x1t, x2t, …, xnt)T，將它們作為建模變量。

（2）由式(3)的AIC準則確定Xt的VAR模型的滯后階數，再依據式(5)～式(12)及相應流程，對Xt進行Johansen檢驗，確定Xt各變量間的協整關系個數，并計算出協整系數矩陣β和調整系數矩陣α。

（3）根據 Gonzalo-Granger分解表達式(20)，得到 Xt中的平穩成分 St=WXt，其中投影矩陣W=α(βTα)?1βT。

（4）對平穩成分St進行歸一化處理，使得歸一化后的平穩成分的各分量為零均值和單位方差。

（5）選擇合適的方差累積貢獻率，計算歸一化的平穩成分的載荷矩陣P和對角線矩陣Λ，并由式(22)計算出監控指標Hotelling的T2統計量的控制限。

2.2.2 在線監控

（1）獲取新的實時監控數據，根據建模階段步驟(1)的結果選取出數據中的非平穩過程變量xt。

（2）根據建模階段步驟(3)獲得的投影矩陣求得xt中的平穩成分st=Wxt。

（3）用建模階段步驟(4)得到的均值和方差對平穩成分st進行歸一化處理。

（4）將建模階段步驟(5)得到的載荷矩陣P和對角線矩陣Λ代入式(21)，計算出歸一化平穩成分的Hotelling的T2統計量。

（5）監控Hotelling的T2統計量是否超限。

3 案例研究

3.1 石油蒸餾過程

為了驗證本文提出的監控方法的有效性，將該方法應用于某個非平穩的石油蒸餾過程的在線監控。該蒸餾過程用于精餾烴的混合物，出于產品質量和安全因素考慮，共有16個過程變量被監測。關于該過程的詳細信息可以參閱文獻[22]。該蒸餾過程的工藝流程圖如圖2所示。

圖2 石油蒸餾過程的工藝流程Fig.2 Process flow sheet of distillation process

本文監控的故障是新鮮原料的異常流動，與文獻[22]相同。在該過程中，蒸餾塔頂部和底部的產品濃度不受反饋控制，而新鮮原料的流速一直在變化。因此，原料或原料成分的任何異常減少或增加都會導致產品濃度發生變化，降低產品質量。因此必須及時監測到新鮮原料流動異常變化的發生。

樣本數據的采樣間隔是 30 s，每個樣本由 16個過程變量組成。正常數據集包含8000個樣本，作為訓練集用來建立監控模型。故障數據集包含大約4700個樣本，用來驗證本文提出方法的有效性。

3.2 監控模型的建立

首先對正常數據集的16個過程變量按式(1)的檢驗方程進行 ADF檢驗以確定變量的平穩性，滯后階數p由AIC準則確定，相應的檢驗結果見表2。

表2 正常數據集過程變量的ADF檢驗結果Table 2 ADF test results of normal process variables

由ADF檢驗結果可知，在10%的置信水平上，存在4個一階單整的非平穩變量，這與文獻[22]給出的變量平穩性檢驗結果一致。接著，對這4個非平穩變量進行Johansen檢驗，以確定變量間存在的協整關系個數，并估計出協整系數矩陣和調整系數矩陣。對上述非平穩變量建立形如式(2)的VAR模型，由式(3)的AIC準則確定其滯后階數為13，不同滯后階數對應的AIC見圖3。Johansen跡檢驗和最大特征值檢驗的結果分別見表3和表4。

圖3 由AIC確定的VAR模型的最佳滯后階數Fig.3 Optimal VAR lag order determined by AIC

Johansen檢驗的結果說明，非平穩變量間存在2個協整關系。在按照式(5)～式(12)計算出相應的協整系數矩陣β和調整系數矩陣α之后，根據式(20)的Gonzalo-Granger分解，提取出各個非平穩變量的平穩成分St和共同趨勢成分Nt。為了驗證提取出的共同趨勢成分和平穩成分的平穩性，對St和Nt的各分量進行ADF檢驗。St各分量的檢驗結果見表5，Nt各分量的檢驗結果見表6。檢驗結果顯示，St的各個分量均是平穩的，Nt的各個分量均是一階單整的，表明共同趨勢模型用于非平穩工業過程數據建模是有效的。

表3 Johansen跡檢驗結果Table 3 Johansen trace test results

表4 Johansen最大特征值檢驗結果Table 4 Johansen max-eigenvalue test results

表5 平穩成分的ADF檢驗結果Table 5 ADF test results of stationary components

接著對從非平穩過程中提取出的平穩成分做歸一化處理。計算歸一化后的平穩成分的載荷矩陣P和對角線矩陣Λ，由于累積方差貢獻率的選取應當不小于85%，因此相應的k值選取為2。再根據式(22)計算出監控指標的控制限，控制限的置信水平為 99%，與文獻[22]一致。至此，正常工況下基于共同趨勢模型的非平穩過程監控模型被建立。

表6 共同趨勢成分的ADF檢驗結果Table 6 ADF test results of common trends components

3.3 故障監控分析與討論

故障數據表示的是在第1800和第2900個樣本點處發生了兩次新鮮原料減少。在第1次原料減少發生后，設備操作人員注意到了此次異常的發生，通過降低回流流速抵消了此次異常的影響。但是，當第2次原料減少發生后，設備操作人員未能及時注意到此次異常的發生，直到在大約第4500個樣本點處，此時丁烷產品中的雜質含量有了顯著增加，設備操作人員才再一次降低了回流流速，抵消了第2次原料減少造成的影響[22]。

將正常模型的協整系數矩陣β和調整系數矩陣α代入式(20)，提取出故障狀態下非平穩過程變量的“平穩成分”。接著將正常模型的載荷矩陣 P和對角線矩陣Λ代入式(21)，計算出從歸一化后的“平穩成分”的Hotelling的T2統計量，如圖4所示。圖4中，實橫線表示控制限。分析監控結果，在第1800個樣本點處第1次原料減少發生后，監控指標超出了控制限，及時做出了預警，由于設備操作人員降低了回流流量，抵消了這次減少造成的影響，監控指標回落到正常水平。在第2900個樣本點處新鮮原料再次減少，這次減少未引起操作人員的注意，但監控指標再次超過了控制限，及時做出了預警，證明了本文提出的監控方法的有效性。

圖4 基于共同趨勢模型的監測結果Fig.4 Monitoring results for fresh feed drops using common trends model

圖5 基于文獻[22]方法的監測結果Fig.5 Monitoring results for fresh feed drops using methods in Ref.[22]

最后，將本文提出方法的監控結果與文獻[22]方法的監控結果進行比較。文獻[22]提出了一種基于協整新息變量的非平穩過程監控方法，對非平穩過程變量建立協整模型，估計出一組協整向量，得到新息變量，對新息變量進行逆自回歸濾波，得到新息變量的自回歸殘差。圖5展示了文獻[22]的監控結果，自上至下依次是原始新息變量自回歸殘差、新息變量的自回歸殘差及補償、新息變量去除補償后的殘差的Hotelling的T2統計量控制圖。對于第1800個樣本點處的第1次原料減少，文獻[22]和本文提出的方法均監測到了此次異常的發生，及時地做出了預警。對于第2900個樣本點處的第2次原料減少，雖然文獻[22]的3組監測指標均監測到了此次異常的發生，但是只有圖5(b)的監測指標及時做出了預警，其他兩組監測指標均有明顯的滯后性，直到第3400個樣本點附近才做出預警，而本文提出的方法則及時地做出了預警。此外，文獻[22]的 3組監控指標在抗干擾方面存在不足，3組監控指標在第1000個樣本處均做出了明顯的誤報，在第2200個樣本點附近，圖5(b)的監控指標也做出了明顯的誤報[22]，相比之下，本文提出的方法沒有出現明顯的誤報，具有更好的抗干擾性。

4 結 論

針對傳統的基于平穩假設的多元統計方法不適用于非平穩過程監控的困境，提出了基于共同趨勢模型的非平穩過程監控方法。該方法首先應用共同趨勢模型提取出各非平穩變量中的平穩成分，然后再對平穩成分應用Hotelling的T2統計量進行狀態監測。與現有的基于協整新息變量的非平穩過程監控方法相比，共同趨勢模型可以有效地提取出非平穩變量中的平穩成分，消除非平穩的共同趨勢成分的影響，平穩成分包含了反映系統非平穩變量間全部的動態均衡關系的信息。對石油蒸餾過程監控的結果表明，基于共同趨勢模型的監控方法好于基于協整新息變量的監控方法。

然而，協整及共同趨勢模型的相關理論近年來仍在不斷發展。進一步的研究包括：①改進協整系數矩陣的計算方法；②非平穩過程變量與平穩過程變量的聯合監控。

[1]陳前. 關于工程大系統的狀態監測與故障診斷[J]. 振動、測試與診斷, 2002, 22(3): 163-230. CHEN Q. Condition monitoring and fault diagnosis of large-scale engineering system[J]. Journal of Vibration Measurement and Diagnosis, 2002, 22(3): 163-230.

[2]GE Z, SONG Z, GAO F. Review of recent research on data-based process monitoring [J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2013, 52(10): 3543-3562.

[3]CHEN Q, WYNNE R J, GOULDING P, et al. The application of principal component analysis and kernel density estimation to enhance process monitoring [J]. Control Engineering Practice, 2000, 8(5): 531-543.

[4]童楚東, 史旭華. 基于互信息的PCA方法及其在過程監測中的應用[J]. 化工學報, 2015, 66(10): 4101-4106. TONG C D, SHI X H. Mutual information based PCA algorithm with application in process monitoring [J]. CIESC Journal, 2015, 66(10): 4101-4106.

[5]KANO M, TANAKA S, HASEBE S, et al. Monitoring independent components for fault detection [J]. AIChE Journal, 2003, 49(4): 969-976.

[6]GE Z, SONG Z. Performance-driven ensemble learning ICA model for improved non-Gaussian process monitoring [J]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 2013, 123: 1-8.

[7]HUANG J, YAN X. Gaussian and non-Gaussian double subspace statistical process monitoring based on principal component analysis and independent component analysis [J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2015, 54(3): 1015-1027.

[8]衷路生, 何東, 龔錦紅, 等. 基于分布式 ICA-PCA模型的工業過程故障監測[J]. 化工學報, 2015, 66(11): 4546-4554. ZHONG L S, HE D, GONG J H, et al. Fault monitoring of industrial process based on distributed ICA-PCA model [J]. CIESC Journal, 2015, 66(11): 4546-4554.

[9]GUNTHER J C, CONNER J S, SEBORG D E. Process monitoring and quality variable prediction utilizing PLS in industrial fed-batch cell culture [J]. Journal of Process Control, 2009, 19(5): 914-921.

[10]韓敏, 張占奎. 基于改進核主成分分析的故障檢測與診斷方法[J].化工學報, 2015, 66(6): 2139-2149. HAN M, ZHANG Z K. Fault detection and diagnosis method based on modified kernel principal component analysis [J]. CIESC Journal, 2015, 66(6): 2139-2149.

[11]LEE J M, YOO C K, CHOI S W, et al. Nonlinear process monitoring using kernel principal component analysis [J]. Chemical Engineering Science, 2004, 59(1): 223-234.

[12]LEE J M, QIN S J, LEE I B. Fault detection of non-linear processes using kernel independent component analysis [J]. The Canadian Journal of Chemical Engineering, 2007, 85(4): 526-536.

[13]ZHANG Y. Enhanced statistical analysis of nonlinear processes using KPCA, KICA and SVM [J]. Chemical Engineering Science, 2009, 64(5): 801-811.

[14]胡益, 王麗, 馬賀賀, 等. 基于核PLS方法的非線性過程在線監控[J]. 化工學報, 2011, 62(9): 2555-2561. HU Y, WANG L, MA H H, et al. Online nonlinear process monitoring using kernel partial least squares [J]. CIESC Journal, 2011, 62(9): 2555-2561.

[15]GODOY J L, ZUMOFFEN D A, VEGA J R, et al. New contributions to non-linear process monitoring through kernel partial least squares [J]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 2014, 135: 76-89.

[16]COMON P, JUTTEN C. Handbook of Blind Source Separation: Independent Component Analysis and Applications [M]. Academic Press, 2010.

[17]BERTHOUEX P M, BOX G E. Time series models for forecasting wastewater treatment plant performance [J]. Water Research, 1996, 30(8): 1865-1875.

[18]ENGLE R F, GRANGER C W J. Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing [J]. Econometrica, 1987, 55(2): 251-276.

[19]PFAFF B. Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R [M]. Springer Science & Business Media, 2008.

[20]ENDERS W. Applied Econometric Time Series [M]. John Wiley & Sons, 2008.

[21]陳前, 潘昱昱. 協整理論應用于非平穩 FCCU系統的狀態監測與故障診斷[J]. 石油學報（石油加工）, 2007, 23(1): 69-76. CHEN Q, PAN Y Y. Application of cointegration testing method to condition monitoring and fault diagnosis of nonstationary FCCU system [J]. Acta Petrolet Sinica (Petroleum Processing Section), 2007, 23(1): 69-76.

[22]CHEN Q, KRUGER U, LEUNG A Y T. Cointegration testing method for monitoring nonstationary processes [J]. Industrial & Engineering Chemistry Research, 2009, 48(7): 3533-3543.

[23]石海忱, 陳前, 林原靈. 協整系數矩陣的非平穩工程系統故障診斷應用研究[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(1): 146-150. SHI H C, CHEN Q, LIN Y L. Fault diagnosis of non-stationary engineering system using cointegration cofficients matrix [J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(1): 146-150.

[24]STOCK J H, WATSON M W. Testing for common trends [J]. Journal of the American statistical Association, 1988, 83(404): 1097-1107.

[25]DICKEY D A, FULLER W A. Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root [J]. Journal of the American statistical association, 1979, 74(366a): 427-431.

[26]AKAIKE H. A new look at the statistical model identification [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1974, 19(6): 716-723.

[27]JOHANSEN S, JUSELIUS K. Maximum likelihood estimation and inference on cointegration - with applications to the demand for money [J]. Oxford Bulletin of Economics and statistics, 1990, 52(2): 169-210.

[28]JOHANSEN S. Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models [J]. Econometrica, 1991, 59(59): 1551-1580.

[29]KASA K. Common stochastic trends in international stock markets [J]. Journal of monetary Economics, 1992, 29(1): 95-124.

[30]GONZALO J, GRANGER C. Estimation of common long-memory components in cointegrated systems [J]. Journal of Business and Economic Statistics, 1995, 13(1): 27-35.

[31]ESCRIBANO A, PE?A D. Cointegration and common factors [J]. Journal of Time Series Analysis, 1994, 15(6): 577-586.

[32]HOTELLING H. The Generalization of Student's Ratio [M]. New York: Springer, 1992.

Online non-stationary process monitoring by common trends model

LIN Yuanling, CHEN Qian
(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, Jiangsu, China)

Non-stationary process monitoring based on common trends model was proposed, because conventional multivariate statistical process control methods with stationary data assumption were inapplicable to non-stationary process monitoring. The new common trends model was capable of identifying common factors from co-integrated non-stationary multiple variables and decomposing each non-stationary process variable into summation of a non-stationary common trends component and a stationary counterpart. Contrary to existing non-stationary process monitoring technique from cointegration model, the common trends model captured the stationary component of each non-stationary process variable, eliminated effects of non-stationary common factors and unveiled overall dynamic equilibrium relationships among variables. Hence, non-stationary process monitoring was transformed to an application of common trends model, which involved obtaining stationary component of each process variable, creating estimation for the stationary components by conventional multivariate statistical methods and setting up monitoring on corresponding control limits. A case study of monitoring petroleum distillation process showed that the proposed approach possessed more reliable process monitoring performance than the method of cointegration model.

common trends model; process monitoring; non-stationary process; cointegration testing; process control; process systems; system engineering

Prof. CHEN Qian, q.chen@nuaa.edu.cn

TP 277

：A

：0438—1157（2017）01—0178—10

10.11949/j.issn.0438-1157.20160670

2016-05-16收到初稿，2016-09-25收到修改稿。

聯系人：陳前。

：林原靈（1989—），男，博士研究生。

江蘇高校優勢學科建設工程資助項目。

Received date: 2016-05-16.

Foundation item: supported by the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions (PAPD).