數學學習中的邏輯推理

劉紅霞

邏輯推理是從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程，我們在數學學習的過程中，也需要邏輯推理的參與，以下我分別從課堂聽課、課后作業、階段小結這三個時段具體說明如何進行邏輯推理。

首先，我們在聽課時需要利用邏輯推理，現在很多同學在邏輯推理中存在兩大誤區：一是想當然地用一些事實和命題，這些事實和命題毫無依據；二是依據是有的，但處理的時候不是等價轉化，比如說逆命題的使用，弱化或強化條件等，這兩大誤區直接導致在數學的學習評價中達不到預期的效果，那我們平時怎樣走出這些誤區呢？那就需要當老師在講授某個問題時，我們要養成邏輯推理地聽的習慣，要關注這個問題的產生情境，成立的條件，條件是否可以弱化，是否可以強化，逆命題是否成立等等，我們以學習導數為例，考慮結論：對于函數y=f（x），如果在某區間上f'（x）>0，那么函數在該區間上是增函數；如果在某區間上f（x）<0，那么函數在該區間上是減函數，對于這樣的內容，值得我們邏輯推理的就有：為什么可以這樣說？條件可以改為f（x）≥0嗎？逆命題：如果f（x）在某區間上單調遞增，那么在該區間上必有f（x）>0成立嗎？如果不成立，舉一些反例，今天這節課的結論對于我們求函數的單調區間有怎樣的幫助？利用導數如何求函數的單調區間呢？我們自己的邏輯推理中就應該弄清這些問題串，如果每節課都能自己進行類似的邏輯推理，那么將會使得我們的邏輯推理變得很強，而且每一步的推理很嚴密，每個知識點都推理得很嚴謹，那么我們就可以走出誤區——濫用沒有理論依據的公理、定理、公式等。

其次，我們在課后做作業時，也就是應用知識的環節，這一環節我們也要用邏輯推理，在做練習時，解決一道題可能有很多邏輯上的想法，在讀完題后，我們一般有一個最基本的認識，腦子里會浮現出一些初步的解題設想，這時可能會出現若干思路，我們以解析幾何中的兩道題為例：

例題的解答告訴我們，在解題過程中，我們每遇到一道題，會有我們初步的設想，可能有多種想法，此時就需要我們邏輯分析出較優的解題策略，此時運算上的邏輯思維可以幫助我們篩選出較優的解題策略，比如說，例1剛剛用第一種思路，計算時會有點繁瑣，耗時間，假如我們一開始就選了這種方法，那么就需要我們進行邏輯推理，是不是需要換種思路呢？思路2、思略3充分利用P，Q關于原點對稱，所以需要我們嘗試，從運算的邏輯推理中選擇較優的解法，另外，無論解法1還是解法2、解法3，求得點M后，點N只要改換下標就可以了，這種借助邏輯推理，下標對稱的思想，能夠有效地簡化我們的運算，這種簡化在解析幾何和導數等章節都很常用，當然在我們運算的時候還會遇到很多需要我們邏輯推理的地方，比如：ab=ac，此時a是否能約？若能約，需要說明非零；若不能約，就需要分類討論，如果不去細作討論，很可能會出現解不出正確答案的情況。

最后，我們在課后復習整理時也需要利用邏輯推理，數學知識往往分布在不同的階段，龐大的學習知識網絡容易被割裂，這就需要我們有邏輯地進行整理，我認為我們應該根據不同的內容，采用不同的邏輯推理的方式進行整理，一方面，在進行解題策略的選擇整理的時候，可以利用有邏輯的問題串式的整理方式，比如說在整理復習排列組合這章內容時，從邏輯上，我們可以問自己以下的問題串：排列還是組合？和還是積？和還是差？積還是商？重還是漏？元素是相同的還是不同的？元素是可重復的還是不可重復的？有序還是無序？插空法中被插元素相鄰還是不相鄰的？平均分配還是不平均分配？分組還是分配到不同對象？隔板法和插空法的使用注意點有哪些？將這些問題都搞清楚，那么我們在解排列組合問題時就輕松了，另一方面，我們在對相關知識點進行整合的時候，也可以采用一條主線、框架式的整理方式，把平時相對獨立的知識，通過某一條線將它們串起來，比如說橢圓的定義、標準方程和幾何性質，同學們可以用以下的框架圖來理解本部分內容：

這樣的框架圖在腦海里就形成了一個邏輯體系，對于本部分的內容一目了然，而且在每個框架內的解題策略又可以采用問題串的形式進行整理，這樣形成的知識就比較清晰，掌握牢固一些，而且對后續的雙曲線的學習有幫助。

總而言之，在數學學習的每個環節養成借助邏輯推理的習慣，會使得我們的數學學習更加高效、簡便、符合邏輯，更加嚴謹，更加完美。