自然之予黎曼

沙國祥

思想的力量，穿越時空。

2016年春節剛過，2月11日，LIGO科學合作組織正式宣布于2015年9月14日探測到了引力波！它是遠在13億光年以外的兩個大質量黑洞合并時發出的，這兩個超級“巨人”的質量分別是太陽質量的29倍和36倍！它們的猛烈撞擊產生的質量巨變，引發了時空震蕩，把引力波——時空的漣漪傳播到了地球。

通過直接測量證實引力波的存在，一直是天體物理學的難題，因此，這次引力波的證實成為長時間的新聞熱點，人們自然把“引力波”與科幻大片《星際穿越》以及“黑洞”、“蟲洞”等天文學詞匯聯系在一起，著實風風火火地熱了好一陣子。

更為震撼的是引力波引發的心靈震撼！因為引力波的存在，純粹是愛因斯坦從廣義相對論方程推導出來的理論預言，終于在整整100年以后得到了證實！

說了半天，這些與數學家黎曼何干？

100多年前，愛因斯坦研究廣義相對論時，遇到數學上的困難，止步不前，只好求助于老同學、數學家格羅斯曼，后者告訴他，50年前，數學家黎曼早就為他做好了準備，在老同學的幫助下，愛因斯坦運用黎曼幾何建立了廣義相對論的數學結構和方程。

因此，尋根溯源，引力波的預言，是與黎曼的偉大發現分不開的。

引力波蘊含了宇宙時空的很多信息，是探索大自然奧秘的又一強大工具。

黎曼，與愛因斯坦一樣，堪稱“自然之子”。

B·黎曼，1826年9月17日出生于德國，從小受到良好的家庭教育，上高中時，校長發現了黎曼的數學興趣和天賦，便把大數學家歐拉、勒讓德的著作借給他看，黎曼往往很快讀完并能掌握書中的內容，在哥廷根大學、柏林大學，他師從高斯、狄利克雷、雅可比等數學名家，他們開設的數學及其應用課程，“讓他們的發現大放光芒”。

黎曼在他的學習和研究生涯中，始終追求對自然的統一理解，把數學和物理緊密聯系在一起，F·克萊因指出：“黎曼的興趣包括了數學物理，而且說真的，包括了對于自然現象的整個的哲學解釋，同時還帶著動人的筆觸。”

用黎曼自己的話說：“我的主要工作涉及已知的自然界的規律——它們是用其他的基本概念來表述的——的新概念，由此我可以用熱、光、電、磁的互相作用的實驗數據來研究它們之間的聯系，我之所以被引導到這一點，主要是通過研究牛頓、歐拉的著作還有赫爾巴特的著作。”

數學大師牛頓和歐拉，都是數學和物理研究的“雙棲人”，他們與阿基米德、高斯一起并稱世界四大數學家，牛頓研究微積分，正是為了解決物理學中的變速運動等問題，如即時速度是位移的導數（即時變化率），牛頓把具有普遍意義的導數稱為“流數”，明顯地帶有運動變化的痕跡，歐拉是剛體力學、流體力學的奠基人，歐拉角、歐拉運動方程，學習力學的學生沒有不知道的，歐拉關于以太理論的觀點影響了黎曼。

有著數學王子美譽的高斯，在物理學、天文學、大地測量學等領域也留下了深深的足跡，如，他和物理學家w·E·韋伯一起制定了以高斯命名的單位制，即“厘米·克·秒制”，他們還發明了世界上首例電磁電報，另一方面，實際應用也刺激、啟發了高斯的數學創造，如，天文學、大地測量學中對大量數據處理的需要，推動了高斯完善最小二乘法的研究；高斯關于內蘊微分幾何的研究，是他積多年領導大地測量、思考測地問題所得的結晶。

高斯和韋伯共同奠定了哥廷根大學的數學物理研究傳統，“黎曼在以高斯和韋伯的聯合名義的大傳統下成長，另一方面又受到赫爾巴特哲學的影響，他總是一再努力試圖把作為所有自然現象基礎的定律用數學的形式進行統一的表述，”（F·克萊因）作為高斯的學生，黎曼不可能聽過年過七旬的高斯的許多課，但他是唯一的能夠深入高斯思想的學生，黎曼還興趣盎然地參加了由w·E·韋伯主持的實驗物理課程，韋伯喚醒了黎曼對于將自然規律作數學處理的興趣，他提出的問題對黎曼有不小的影響，后來黎曼一直與韋伯保持著密切聯系，直至去世前都是他的忠實朋友。

取得博士學位后，黎曼為就職資格準備了三個題目，并為前兩個做了準備，有意思的是，高斯選中了第三個，即《關于幾何基礎中的假設》，他想看看年輕的黎曼如何看待這個他也考慮過的困難問題，幾個星期后，黎曼沒有辜負老師的厚望，著名的黎曼就職演講，標志著黎曼幾何的誕生。

這篇演講中關于空間尺度的假設并非隨意的，黎曼顯然考慮到這些假設與物理學或測量學的關系：“測量要求尺度不依賴于位置，即物理的狀態，而它卻有多種表現形式，這個要求正是我要建立的假設，即每條曲線有一個不依賴于其狀態的長度從而曲線可以相互測量。”

演講發表50年之后，黎曼幾何助產了廣義相對論，這，并非偶然，因為黎曼幾何在其誕生之初，就與物理有著天然的聯系。

黎曼獲得教授席位以前，在哥廷根大學當過韋伯的數學物理討論班的助教，“開始努力從事有關物理基本定律之間關系的相互關聯的研究，而且深入到這樣的程度，以至可以作為試講的題目，”（戴德金）黎曼還在韋伯等人的邀請下，在哥廷根的自然研究者大會上做過有關電在非導體中的傳播的報告，不久黎曼發表了論Nobili色環的文章，對此他很看重，從他寫給姐姐Ida的信中可以看出：“這個題目之所以重要，是因為由此可以安排非常精密的測量，從而可以非常準確地驗證電流運動的規律。”

數學家丘成桐曾經說過：“我們用我們真摯純樸的感情去找尋大自然的美麗，大自然的真實。”

黎曼對于自然的美與真的追索，結出了豐碩的果實，他一生中從事研究工作不過十多年，發表的論文只有十幾篇（其中約三分之一是物理論文），但每一篇都可以說是“重磅炸彈”，為數學和物理貢獻了許多原創性的概念：黎曼幾何、黎曼zeta函數、黎曼積分、黎曼猜想、黎曼度量、黎曼面、柯西一黎曼方程、……

1866年7月20日，黎曼因病早逝，年僅40歲，F，克萊因總結了黎曼研究工作的重要特點，即數學和物理的交融：“黎曼從物理的直覺出發達到了服務純粹數學的目的，反過來又為數學物理取得了極大的意義。”

思想的力量，穿越時空，

150年以后，高等教育出版社出版了《黎曼全集》（第一卷）中文版，這是中國人紀念自然之子黎曼逝世150周年的最好方式。

此前一年，大自然則以時空的漣漪——引力波，輕撫自然之子黎曼和愛因斯坦（2015年是廣義相對論創立100周年）。