分類討論思想在等腰三角形中的運用

黃學財

（江西省贛州中學）

分類討論思想在等腰三角形中的運用

黃學財

（江西省贛州中學）

數學思想方法對數學教學有著重要的促進和指導作用，它不僅是學生形成良好認知結構的紐帶，還是由知識轉化為能力的橋梁，是培養學生數學意識，形成優良思維素質的關鍵。很多學生不太重視數學思想方法，只是一味做題，不會總結，很難達到“懂一題、曉一類、通一片”，因此要有加強數學思想方法教學的意識，并在數學教學過程中不斷挖掘和滲透。

等腰三角形；分類討論；坐標系；周長

考查等腰三角形的題目時，學生很容易漏解，主要是學生沒有認真分析題意，或者是沒有考慮周全，解題經驗還不夠豐富。我們在平時的教學中要多提醒學生，即考查等腰三角形的題目，一般都會指明哪兩條邊相等，如果不指明就要分類討論，分類討論在等腰三角形中的運用非常廣泛，如等腰三角形沒有指明腰，或者指明了腰，但沒有給圖，就要分頂角為銳角或鈍角，下面我們通過例題來展現分類討論思想在等腰三角形中的運用。

一、等腰三角形涉及邊的問題時，可以按照“腰”和“底邊”來分類討論，但要利用三角形三邊關系來判斷三角形是否存在

例1.（1）等腰三角形有兩邊長為4cm和7cm，則周長為_______厘米。（15cm或18cm）

（2）等腰三角形的周長為24cm，一邊長為6cm，則其余兩邊長為_______厘米。（9cm和9cm）

練習1：等腰三角形有兩邊長為3cm和7cm，則周長為____厘米。（答案：17cm）

二、等腰三角形中涉及“高”的內角求解問題，可以按照三角形類型分類討論

此時學生最容易犯的錯誤是畫一個頂角是銳角的等腰三角形，導致漏解，這一點也提醒我們老師在教學中應多畫頂角是鈍角的三角形，才不會形成思維定式。

例2.ΔABC中，AB=AC，CD為AB上的高，且ΔADC為等腰三角形，則∠BCD等于_______.（22.5°或67.5°）

練習2：等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則頂角的度數是_______.（30°或150°）

三、在等腰三角形內角求解的問題中，可以按“頂角”“底角”來分類討論

例3.已知一個等腰三角形的兩內角度數之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數為______（20°或120°）

練習3：等腰三角形的一個外角等于100°，則這個等腰三角形的頂角為_______.（80°或20°）

四、在等腰三角形中涉及中線的問題，也需要分類討論

例4.已知一個等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成15和6兩部分，求這個等腰三角形底邊的長。（1）

練習4： 已知一個等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成9和12兩部分，求這個等腰三角形底邊和腰的長。（當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm）

五、在方格紙或平面直角坐標系中，給出等腰三角形其中一線段或兩個頂點的坐標，未指明是腰還是底邊，求等腰三角形第三個頂點的個數或坐標

例5.用3×3的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，并且A、B在最中間小正方形的相對格點上，如果點C也是圖中的格點，且使得ΔABC為等腰三角形，則點C的個數為_______.（答案：8）

練習5：在平面直角坐標系中，點A在第一象限，A（2， 1），點P在x軸上，若以P，O，A為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P共有_______個。（答案：4）

本題還可發散為點P在坐標軸上，則符合條件的點P有幾個？

六、等腰三角形與四邊形的結合問題，求相關線段的長度

例7.在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連結DP交AC于點Q.若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，ΔADQ恰為等腰三角形.

（分析：若ΔADQ是等腰三角形，則有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD

①當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ，ΔADQ是等腰三角形；

②當點P運動到與點B重合時，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA，此時ΔADQ是等腰三角形；

③設點P在BC邊上運動時，有AD=AQ，可算出當CP=4 2

■ -4時，ΔADQ是等腰三角形.）

總之，學習等腰三角形，必須熟練運用等腰三角形的性質，看到等腰三角形題目要能聯想到它的性質，如，等邊對等角、三線合一，還有等腰三角形容易出現分類討論，要讓學生養成分類討論等數學思想在等腰三角形中的應用。

［1］常汝吉.數學課程標準［M］.北京師范大學出版社，2011.

［2］林群.教師教學用書［M］.華東師范大學出版社，2013.

·編輯 孫玲娟