基于歐拉梁模型的充流單壁碳納米彎管波動性能研究

郭哲 尹春松

摘要：本文研究了充滿流體的彎曲單壁碳納米管與流體相互耦合作用下的振動力學行為，利用Hamilton變分原理推導出彎曲的單壁碳納米管與流體耦合作用下的控制方程，考察了在考慮流體邊界條件下的納觀尺度效應、管長、管的曲率半徑、流體流速和振幅對碳納米管的流固耦合振動的影響，最后得到結論：納觀尺度、管長、振幅和曲率半徑的增加都會導致碳納米管耦合振動的頻率大幅增加；納觀尺度與管長同時增加時，頻率增加的幅度會減小；振幅與曲率同時增加時，碳管振動幅度會有很大提高。

Abstract： The vibration physic behavior of full filled with fluid curved carbon nanotube fixed on the Winkler foundation is studied in this paper. Hamilton variational principle was used to get the control equations of the curved carbon nanotube coupled with fluid and this paper takes nanosacle， length， curvature ratio， fluid velocity and wave amplitude into consideration as significant factors to study the wave propagation of curved carbon nanotube. It gets that with the increasing of the nanoscale， length， curvature ratio， fluid velocity and wave amplitude， the couple vibration frequency ratio will increase heavily. But when nanoscale and the length of carbon nanotube increase at the same time， the increasement of the frequency ratio will be smaller. With wave amplitude and curvature ratio increasing at the same time， the frequency ratio will increase heavily too.

關鍵詞：彎曲單壁碳納米管；曲率；Hamilton變分原理；流體邊界條件；振動頻率比

Key words： curved carbon nanotube；curvature ratio；Hamilton variational principle；fluid and solid interaction；frequency ratio

中圖分類號：TN751.1 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）01-0123-06

0 引言

最早開始對碳納米管進行研究的是日本學者Iijima，其在nature上發表的文章拉開了對碳納米管研究的熱潮[1]。碳納米管是一門新興的材料，其在生物運輸、導熱、導電方面的性能優異[2，3]。目前對于碳納米管的研究手段形式多樣，其中對于其力學性能的研究較為集中。碳納米管的力學性能研究手段有試驗法和理論推導法。由于試驗條件的影響，試驗的手段收到很大限制[4]，故而理論推導法更加可行。早期的理論推導法主要集中在分子動態模擬（MD）上，由于MD方法在算法上的復雜性以及在大規模計算中耗時較長等方面的限制[5，6]，力學建模法得到極大發展[7，8]。

Dequenes[9]等使用分子動態模擬法和連續模型考慮了中性軸的伸縮，計算了兩端固定的碳納米管的第一階自然振動頻率，總結出非線性連續模型獲得的結果跟分子動態模擬法的結果十分吻合并且更加方便。Witkamp[10]等使用非線性梁模型考察了兩端固定的碳納米管的彎曲自然頻率的變化。Elishakoff和Pentaras[11]使用兩種離散方法——Bubnov-Galerkin等研究了各種邊界條件下雙壁碳納米管的自振頻率，同時嚴格地推導了解析表達式。Elishakoff等[12]采用了Bresse-Timoshenko梁模型計算了簡支的碳納米管的自振頻率并考慮了剪切變形和轉動慣量，與歐拉-伯努利梁模型比較該模型可以得到特別好的結果。

Rabieirad[13]等試驗測得在施加諧振荷載和隨機荷載的情況下兩端固定的碳納米管的振動頻率到達70MHz。San[14]等使用原子力顯微鏡測得兩端固定的碳納米管的自然頻率為3GHz。Amlani[15]等測得在電能驅動下碳納米管振動界限頻率為50GHz。

Postma[16]等使用非線性梁模型研究了兩端固定的碳納米管的振動行為，并在計算過程中使用了Galerkin方法，最后總結出對于小電荷載碳納米管在線性區域由于缺少熱隨機噪聲幾乎是無用的。隨后，Georgantzions[17]等提出可以將碳納米管分散為一系列有質量的點來描述單壁碳納米管的振動特點。他們在研究中發現，碳納米管的長寬比對于其振動行為有特別重要的影響。Conley[18]等提出了一個模型同時考慮了平面內和平面外的振動情況，他們認為直管的振動很有可能不是在同一個平面內進行的。于是他們研究了對稱的碳納米管和變形時中性層伸縮的情況。Rhoads[19]等建立了一個連續的模型研究了線性和非線性參數激勵對系統的直接作用，通過對碳納米管的振幅的研究得到了初步的數據，而這些數據在實際的應用中是有很大應用價值。Ouakad[20]等研究了電能驅動下碳納米管的非線性振動特性，在研究中發現碳納米管的非線性振動的復雜現象，如磁滯現象、動態臨界現象、硬化和軟化的行為等等。

Eringen[21]提出非局部理論之后引入了新的研究碳納米管在小尺度效應下的振動行為。Yang Yang團隊[22-25]使用非局部理論研究了單壁和多壁碳納米管的波動行為，同時與傳統的研究方法進行了比較，結果發現使用非局部理論研究碳納米管可以得到更加精確的結果。

本文研究了單壁充流彎曲碳納米管在諧激勵作用下的非線性振動問題。碳管彎曲時的波看作為一個包含曲率的正弦函數。單壁碳納米管可以用歐拉-伯努利梁模型來簡化振動模型。通過能量法列出彎曲的碳納米管的動能和勢能、流體的動能，對各個能量進行變分，使用哈密頓變分法則得到充流的彎曲碳納米管的振動控制方程。

1 觀流體模型

金努森數（Kn）是描述流體與管壁接觸狀況的參數，根據金努森數（Kn）的大小可以將流體區域分為四種：①連續流動區域（010）。貝斯克[9]在研究中得到滑移區域管道中心流速與管壁流速的關系：

4 數值模擬與討論

充滿流體的彎曲單壁碳納米管的材料性質和幾何尺寸可以取為[27]：

ρc=2.27×103kg/m3，E=1TPa，

ρf=1×103kg/m3，A=3×10-19m2，

I=1.78×10-38m4。

圖2所示的為彎曲的碳納米管管長L=10nm時，不同曲率半徑下頻率比與納觀尺度效應的關系。從圖中可以看到隨著納觀尺度的增加，三條曲線都隨之增加，這說明了納觀尺度效應對充流的彎曲碳納米管的流固耦合振動有很大的影響，納觀尺度的增加會導致碳納米管剛度的增強。三條曲線代表三個不同曲率下碳納米管振動的頻率比曲線，可以看到隨著曲率的增加，曲線上移，也即頻率比是隨著曲率的增加而增加的。三條曲線的變化情這說明了曲率對碳納米管的充流振動也有很大的影響，隨之曲率的增加，碳納米管的振動剛度有所加強。

圖3所示的為彎曲的單壁碳納米管管長L=20nm時，不同曲率半徑下頻率比與納觀尺度效應的關系。從圖中可以看到頻率比即耦合振動頻率與碳納米管的自由振動頻率的比值是隨著碳納米管的小尺度效應的增加而增加的，同時碳管的曲率的增加也會導致碳納米管的頻率比的增加，這說明了納觀尺度和碳納米管的曲率在一定的范圍內是會導致碳納米管的剛度增強的因素。對比圖3和圖2可以看到，隨著管長的增加，碳管的耦合振動頻率與自由振動頻率的比值是增加的，這說明管長對碳納米管流固耦合振動也有較大的影響。

圖4所示的為單壁充流碳納米管管長L=60nm時，不同曲率半徑下頻率比與納觀尺度效應的關系。從圖中可以看到，碳管的耦合振動頻率與自由振動頻率的比隨著納觀尺度的增加而增大，這說明納觀尺度對于充流振動的彎曲碳管的增強有很大的作用。同時三條曲線幾乎重合，這說明隨著碳管的管長值越大，彎曲曲率對兩者頻率的比值影響就越小。對比圖2、圖3和圖4可以看出隨著管長長度的增加，碳納米管與流體耦合振動頻率與自由振動頻率的比值是增加的，同時管長的增加也會導致碳管彎曲的曲率對兩個頻率比值的影響減小，這說明管長和納觀尺度的增加會使碳管的剛度的增加。

圖5所示的為流體流速對碳管流固耦合振動頻率與自由振動頻率比的影響曲線。從圖中可以看到隨著流體流速的增加，碳管流固耦合振動頻率與自由振動頻率比是增加的，這說明了流體流速對碳管的剛度的增加有很大的作用。對比三條曲線可以看出，碳管的曲率越大，頻率比值越大，這也說明了曲率對于碳管的剛度增強也有很大的幫助。

圖6所示的為碳管振動振幅、曲率對固耦合振動頻率與自由振動頻率比的影響曲線。圖中可以看出隨著碳管振幅的增加，頻率比值是增加的；隨著曲率的增加頻率比值也是增加的。說明了在碳管振幅和曲率同時作用下，碳管的振動頻率是增加的，也說明了碳管振幅和曲率的增加會導致碳管的剛度在一定范圍內有所增加。

圖7所示的為振幅與納米尺度對碳管流固耦合振動頻率與自由振動頻率比的影響曲線。從圖中可以看出隨著碳管振幅的增加，流固耦合振動頻率與自由振動頻率比值是逐漸增加的。當振幅a？燮1.25時，納觀尺度e0a=0所對應的頻率比值曲線隨著振幅的增加是上升的，其位于e0a=1所對應的頻率比曲線的上方，位于e0a=2對應的頻率曲線的下方。當a>1.25，隨著碳管振幅的增加，e0a=1所對應的頻率比曲線和e0a=2對應的頻率曲線同時急劇增加，e0a=1所對應的頻率比曲線位于e0a=0所對應的頻率比值曲線的上方。說明了在一定范圍內，隨著碳管的納觀尺度的增加，碳管的流固耦合振動頻率與自由振動頻率比的影響曲線是先減小后增加的，這也說明在一定范圍內納觀尺度與碳管振幅同時作用時，碳管的剛度會出現先減小后增加的情況。

圖8所示的為考慮流體邊界條件下流體流速對碳納米管振動頻率比的影響，從圖中可以清楚地看到隨著流速的增加，頻率比是增加的；隨著金努森數的增加，頻率比卻是在減小。這個現象說明了流速的增加對于彎曲的碳納米管的振動頻率有很大影響。同時流體邊界條件對碳納米管振動頻率比有相當大的影響，隨著碳納米管流體邊界粗糙度的增加，流體的流速對碳納米管的振動有削弱作用。

5 結論

本文對充流的單壁碳納米管彎管的流固耦合振動進行了研究，在研究中主要考察了納觀尺度效應、管長、管的曲率半徑、流體流速和振幅對碳納米管的流固耦合振動的影響。對振動頻率散點圖進行分析后得到以下結論：①在一定變化范圍內，碳納米管的振動頻率會隨著納觀尺度效應的增加而增加，這說明了納觀尺度效應會導致充流的單壁碳納米管的剛度的增強；②碳納米管長的增加會導致充流的碳納米管耦合振動頻率的增加，這說明管長在一定范圍內的增加也會使碳管的剛度有所增強，管長的增加也會削弱管道的曲率半徑帶來的影響；③碳管的曲率半徑和振幅同時增加時，碳管的流固耦合振動的頻率增加是顯著的；④在小振幅的情況下，納觀尺度對碳管的流固耦合的影響是復雜的，在一定范圍內，隨著碳管的納觀尺度的增加，碳管的流固耦合振動頻率與自由振動頻率比的影響曲線是先減小后增加的，這也說明在一定范圍內納觀尺度與碳管振幅同時作用時，碳管的剛度會出現先減小后增加的情況。

參考文獻：

[1]S. Iijima. Helical microtubules of graphitic carbon[J]. Nature， 1991， 354：56-58.

[2]D. Tomanek， R. Enbody. Science and Application of Nanotubes[M]. Kuwlar/Plenum， New York， 2000.

[3]G. Pastorin， W. Wu， S. Wieckowski， et al. Double functionalisation of carbon nanotubes for multimodal drug delivery[J]. Chemical Communications， 2006， 11： 1182-1184.

[4]S. Babu， P. Ndungu， J.C. Bradley， et al. Guiding water into carbon nanopipes with the aid of bipolar electrochemistry[J]. Microfluidics and Nanofluidics， 2005， 1 ：284-288.

[5]K.M. Liew， C.H. Wong， M.J. Tan. Buckling properties of carbon nanotube bundles[J]. Applied Physics Letters， 2005， 87：041901.

[6]S. Kitipornchai， X.Q. He， K.M. Liew. Buckling analysis of triple-walled carbon nanotubes embedded in an elastic matrix[J]. Journal of Applied Physics ， 2005， 97：114318.

[7]J. Yoon， C.Q. Ru. A. Mioduchowski， Vibration and instability of CNTs conveying fluid[J]. Composites Science and Technology， 2005， 65： 1326-1336.

[8]J. Yoon， C.Q. Ru， A. Mioduchowski. Flow-induced flutter instability of cantilever CNTs[J]. International Journal of Solids and Structures， 2006， 43： 3337-3349.

[9]M. Dequesnes， S. Tang， N.R. Aluru， Static and dynamic analysis of carbon nanotube-based switches[J]， Journal of Engineering Materials and Technology，2004，126：230-237.

[10]B. Witkamp， M. Poot， H.S.J. van der Zant， Bending-mode vibration of a suspended nanotube resonator[J].Nano Letters ，2006，6 ：2904-2908.

[11]I. Elishakoff， D. Pentaras， Fundamental natural frequencies of double-walled carbon nanotubes[J]， Journal of Sound and Vibration，2009， 322 ：652-664.

[12]I. Elishakoff， D. Pentaras， Natural frequencies of carbon nanotubes based on simplified Bresse–Timoshenko theory[J]， Journal of Computational and Theoritical Nanoscience ，2009，6 ： 1527-1531.

[13]L. Rabieirad， S. Kim， M. Shim， and S. Mohammadi， Doubly clamped single-walled carbon nanotube resonators operating in MHz frequencies[c]， Proceedings of the Fifth IEEE Conference on Nanotechnology， Nagoya， Japan， July 2005.

[14]A. San Paulo， J. Black， D. Garc′a-Sanchez， M.J. Esplandiu， A. Aguasca， J. Bokor， F. Perez-Murano， A. Bachtold， Mechanical detection and mode shape imaging of vibrational modes of micro and nanomechanical resonators by dynamic force microscopy[c]， Journal of Physics： Conference Series ，2008，100：1-5.

[15]I. Amlani， K.F. Lee， J. Deng， H.S. Philip Wong， Measuring frequency response of a single-walled carbon nanotube common-sourcea[c]， IEEE Transactions on Nanotechnology ，2009，8：226-233.

[16]H. Postma， I. Kozinsky， A. Husain， M. Roukes， Dynamic range of nanotube- and nanowire-based electromechanical systems[J]， Applied Physics Letters 2005， 86：223105-1-3.

[17]S.K. Georgantzinos， G.I. Giannopoulos， N.K. Anifantis， An efficient numerical model for vibration analysis of single-walled carbon nanotubes[J]， Journal of Computational Mechanics ，2009，43：731-741.

[18]W.G. Conley， A. Raman， C.M. Krousgrill， S. Mohammadi， Nonlinear and nonplanar dynamics of suspended nanotube and nanowire resonators[J]， Nano Letters，2008， 8 ：1590-1595.

[19]J.F. Rhoads， W.G. Conley， A. Raman， C.M. Krousgrill， L. Yu， and S. Mohammadi， Exploiting parametric effects in resonant nanosystems[c]，The 2009 NSF Engineering Research and Innovation Conference， Honolulu， Hawai， June 2009.

[20]H.M. Ouakad， M.I. Younis， Nonlinear dynamics of electrically actuated carbonnanotube resonators[J]， Journal of Computational and Nonlinear Dynamics，2010，5 ：1-13.

[21]A.C. Eringen. Nonlocal Continuum Field Theories[M]. US： Springer， 2002：231-235.

[22]C.W. Lim， Y. Yang. Nonlocal elasticity for wave propagation in carbon nanotubes： the physics and new prediction of nanoscale in nonlocal stress field[J]. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience， 2010， 7： 988-995.

[23]C.W. Lim， Y. Yang. Wave propagation in carbon nanotubes： nonlocal elasticity induced stiffness and velocity enhancement effects[J]. Journal of Mechanics of Materials and Structures， 2010， 5：459-476.

[24]Yang Yang， Lixiang Zhang. Wave propagation in double-walled carbon nanotubes on a novel analytically nonlocal Timoshenko-beam model[J]. Journal of Sound and Vibration， 2011， 330：1704-1717.

[25]Yang Yang， LiXiang Zhang， C.W. Lim， Wave propagation in fluid- filled single -walled carbon nanotub e on analytically nonlocal Euler–Bernoulli beam model[J]， Journal of Sound and Vibration，2012，331：1567-1579.

[26]Mayoof Fathi N， Hawwa Muhammad A. Chaotic behavior of a curved carbon nanotube under harmonic excitation. Chaos[J]， Solitons Fractals，2009；42：1860-7.