數量表征和韋伯—費希納定律：應用及發展

孫 霽 Alain Content 孫 沛

（1清華大學心理學系，北京 100084；2安順學院教育科學學院，安順 561000；3比利時布魯塞爾自由大學，布魯塞爾 B-1050）

數量表征和韋伯—費希納定律：應用及發展

孫 霽1，2Alain Content3孫 沛1

（1清華大學心理學系，北京 100084；2安順學院教育科學學院，安順 561000；3比利時布魯塞爾自由大學，布魯塞爾 B-1050）

數量表征是人類與動物最重要的認知能力之一。長期以來對于數量表征的模式存在爭論，部分研究者認為人類表征數量的方式具有符號的、離散的性質；而另一些研究者則認為，數量表征同其他物理刺激的表征一樣，具有類比的、連續的性質。該研究從心理物理學角度考察該問題，提出數量表征在行為表現上遵循韋伯—費希納定律；不同發展階段中個體的數量表征行為均遵循韋伯定律；在神經表達上表現為具有韋伯—費希納定律特征的對數或線性模型。通過總結已有研究結果，該研究有力地支持數量表征具有連續的性質。這也為研究其它類似性質的高階認知表征提供了一種新的研究思路。

數量表征；韋伯—費希納定律；感知覺表征

數量表征（numerical representation）是與特定數量相聯系的心理表征，它是人類與動物所共有的能力［1］。 作為核心知識系統之一［2］，數量表征對于個體生存具有至關重要的作用，是進化過程保留下來的重要認知能力。數量表征已成為當前心理學研究領域的熱點，其中研究者最為關注的問題之一是，數量是如何被個體表征的，也即數量表征的性質問題。不少研究者相繼對這一基本問題進行了探討。

1 數量表征性質問題研究概況

研究者將表征的類型分為兩種：連續型表征（continuous representations） 和離散型表征（discrete representations）［3］。 對于數量表征而言，一些研究者認為數量表征是離散型表征，具有語言的抽象性，在大腦中的表征應該保留著語言的離散性質［4］。例如，對嬰兒數量表征的研究發現，不論刺激集合（set）的具體內容是什么，他們往往使用一個標記來表示擁有一個刺激元素的集合，如“■”；而用“■■”表示擁有兩個刺激元素的集合，其他數量集合依此類推。Leslie，Gallistel和Gelman認為這是由于個體生來就具有一個對應于整數1的內部符號，并能通過先天的后繼函數（successor function）將其擴展至其他正整數［4］。也有研究者據此提出了數量表征的累積器模型，認為嬰兒會對集合中的每一個元素進行標記，并以脈沖的形式在累積器中進行疊加，雖然存在誤差，但最終累積器中的數量與集合中的元素總量近似相等［5］。另一些研究者支持數量表征具有連續性質，是獨立于語言的心理量級系統［6，7］。 Wynn 對嬰兒的數量表征研究發現，嬰兒是在對數量的連續性表征基礎上進行數學運算，其表現在對包含兩個元素的集合和三個元素的集合進行反應時會出現延遲現象，而在對一個元素的集合和兩個元素集合進行反應時則沒有延遲的現象［6］。

總體來說，不管是數量表征具有離散性質還是連續性質的觀點都有相應的證據支持，雖然已有不同領域的研究對此問題進行了探討［8-10］，但尚無定論。而且已有研究多從實證研究的角度出發，從理論出發對已有研究證據進行提煉和總結的還較少。

2 心理物理法和數量表征性質問題

心理物理學的核心概念之一就是 “比例加工”（proportional processing）機制［11］。不管人類還是動物最為基本的能力是對物理刺激進行感知覺加工和比較，其遵循的基本原則正是比例加工機制，也即依賴于刺激間的相對差異，而非刺激間的絕對差異。例如，如果小孩想偷偷拿走盤中的一塊餅干，他會選擇在餅干數量多的盤子里拿，這樣做不易被發現。在動物界也能找到相應的例子，如杜鵑鳥具有孵卵寄生性，在挑選寄生鳥巢時往往傾向于選擇鳥蛋多的巢穴，這樣做杜鵑鳥蛋就不易被發現［11］。

在心理物理學中，反映比例加工機制的是著名的韋伯—費希納定律（以下簡稱：韋伯定律）。其表達式為S＝KlgR，其中S是感覺強度，R是刺激強度，K是常數，其表明心理量是刺激量的對數函數，即當刺激強度以幾何級數增加時，感覺的強度應該以算術級數增加。對于大部分感知覺刺激來說，其行為表現均遵循韋伯定律［12，13］。韋伯定律的性質決定其描述的是物理量與心理量之間對應關系的連續變化［14］。因此，一般情況下，如果個體某種感覺系統符合韋伯定律，則對該感覺刺激的表征一定是連續的。

盡管數量表征過程屬于高階認知加工［15］，但在某種程度上仍具有感知覺的性質［7］，其相關腦區也涉及初級感知覺皮層［16］，因此可以通過將數量表征與感知覺表征的性質進行類推來解決上述問題。對數量表征連續性的探討，可以轉化為是否遵循韋伯定律的探討。

當然，回答這一問題的關鍵在于如何提供全面的證據［11］。借鑒 Portugal和 Svaiter的研究思路［17］，可以假設：首先，從行為層面上看，數量表征的外部行為表現應該遵循韋伯定律；其次，在個體發展的不同階段，其行為遵循韋伯定律，反過來，韋伯系數也能反映個體的發展水平；第三，數量表征在大腦中的神經表達應該遵循韋伯定律。如果上述三方面證據得到滿足，在某種程度上就可以支持數量表征遵循韋伯定律，具有連續性質的觀點。因此，為了探討數量表征的性質，可以從上述三個角度對數量表征的已有研究進行梳理和總結，嘗試說明數量表征與韋伯—費希納定律之間的關系。

2．1 數量表征行為表現遵循韋伯定律

早期研究者發現，個體的數量表征表現出與感覺系統一樣的典型心理物理特征：距離效應（distance effect，數量間距離越大，數量比較的反應時越短、正確率越高）和大小效應（size effect，數量間距離相等的情況下，數量越小，數量比較的反應時越短、正確率越高）［18］。這表明個體進行數量比較的正確率受數量間的比例所調節，遵循韋伯定律。后續研究者在不同的語言環境和數字形式條件下均重復得到了這兩種效應［19，20］。其中最為有力的證據來自對語言系統中數量詞較少的原始部落人群的數量表征能力的研究［21，22］。 如，巴西本土的毗拉哈人（the Piraha）的語言中只有表示“一”“二”和“許多”（many）的詞語，并且不懂數學計算，但在進行數量匹配任務時，其行為正確率很高，而且表現出了距離效應和大小效應。研究者據此提出人類的數量表征不依賴于語言，并遵循韋伯定律。研究者在動物研究中得到了相似的結果。Flombaum等人對未經過訓練的猴子進行研究，發現猴子只能對大集合進行加法運算，并且在刺激與其增量達到一定比率的條件下才能意識到數量的差異［23］。而Cantlon和Brannon將動物和人類的數量表征能力進行了比較［24］。他們讓猴子和成人被試做相同的數量比較任務，在實驗的每一個試次中，要求被試在同時呈現的兩個點陣列中選出數量最少的那一個，同時控制材料的非數量物理特征，如點的大小和陣列的密度。結果發現，成人被試與動物被試的行為表現驚人的相似，其正確率與反應時間都受到兩個點陣列數量值之間比率的影響。在動物與人類的數量表征任務研究中取得的相似結果意味著人類與動物可能有著共同的數量表征模式，其特征是依賴于刺激間的比例并遵循韋伯定律。

上述研究從不同的角度表明數量表征在行為表現上符合韋伯定律，但是這些行為層面的發現并不構成判斷數量為連續表征的充分條件，還需要有其它方面的證據，尤其是發生和發展層面上的實驗證據。

2．2 數量表征能力的發展遵循韋伯定律

大量的研究表明，嬰兒在人生的第一年里就能表征數量，而且其行為表現遵循韋伯定律。如，Xu和Spelke使用視覺抑制范式研究嬰兒的數量表征能力［25］。他們給6個月大的嬰兒重復呈現一系列圖片，其中包含數量相同的物體，直至嬰兒注視圖片的時間顯著減少。然后向嬰兒呈現一系列新的圖片，可能包含相同數量的物體或不同數量的物體。當新圖片的數量與舊圖片的數量呈一定比例時，嬰兒會花更長的時間看新圖片。后續研究發現，隨著個體的成長，其數量辨別的能力得以提高，以韋伯系數為標準能夠有效地觀測出這一變化。6個月大嬰兒能分辨1∶2比例下的數量差別。9個月大嬰兒能分辨2∶3比例下的數量差別［26，27］。 3 歲、4 歲、5 歲、6 歲兒童及成人的數量表征的韋伯系數也不同［28］。總體看來，數量表征敏銳度在嬰兒和幼兒期發展迅速，之后會緩慢增長直至30歲［29］。用韋伯系數作為數量表征能力標準還得到了相關研究的支持。很多研究者發現使用韋伯系數作為指標，可以有效檢驗數量表征能力與個體數學表現的關系［30，31］。后續元分析研究也得到了積極結果，認為韋伯系數與個體數學成績有關，并且在控制非數量表征因素（如IQ、空間能力和工作記憶等）之后相關仍然存在［32］。

除正常人群外，研究者發現有計算障礙等異常心理現象的個體行為表現也遵循韋伯定律，只是其韋伯系數與正常人有顯著差異［33］。Piazza等發現正常兒童的數量表征敏銳度會隨年齡增加而提高，但有計算障礙的兒童的數量表征敏銳度則遠低于正常兒童的水平，而且在數量表征敏銳度上的損傷程度還能夠預測個體在符號數學運算中的成績［34］。通過對韋伯系數的測量，可以幫助家長、老師等盡早識別出數量能力發展異常的個體，及時給予相應的訓練和指導，幫助他們提升自身的能力。

上述有關數量表征的發展心理學研究從另外一個層面支持了數量表征遵循韋伯定律的判斷，但作為行為結果同樣不夠充分，因此應該從神經表達層面尋找更為直接的證據。

2．3 數量表征的神經表達遵循韋伯定律

低階感知覺連續表征的一個重要的生理基礎是在外周水平上廣泛存在的各類感受器，對于數量表征，尋找類似于初級感受器的神經表達就成為判斷其是否為連續表征的關鍵證據。數量表征神經生理基礎的突破性成果來自于2002年。Nieder以受過訓練的猴子為對象，通過單細胞記錄方式研究動物的數量認知，發現大腦聯合皮層（association cortices）存在一組特異神經元［35］，后來研究者將這類神經元稱為“數字神經元（number neuron）”［36］。 Piazza 等在后續研究中發現人腦的頂內溝水平區域 （the horizontal segment of the intraparietal sulcus， hIPS）和額區（frontal regions）中也存在數字神經元［37］。

數字神經元的發現促使研究者進一步探討數字神經元神經表達的特點。Nieder和Miller發現動物單個數字神經元的激活與呈現的視覺刺激數量有一致性，即神經元會對某個“偏好數量（preferred numerosity）”表現出最大的激活［15］。 當刺激數量離偏好數量越來越遠時，神經元的激活會逐漸降低。這一神經反應過程可用對數定律或冪定律擬合，而且最重要的是，改變刺激的外在物理屬性并不會影響數字神經元的活動。研究者由此推論猴子的數量表征可能與感知覺表征一樣遵循心理物理學定律。在動物研究的基礎上，研究者對人類與動物的數量表征進行對比研究，發現成人與動物的數量表征反應十分接近，也遵循韋伯定律［38，39］。除了來自單個神經元的實驗結果外，同樣的結果也可以表現在群體神經元水平上［40，41］。

關于數量為連續表征最直接的證據來自于近期的人類大腦成像研究。Harvey等通過fMRI技術研究人類頂葉皮層上數量表征的結構，采用連續刺激實驗范式，發現數量表征在大腦頂葉皮層上表現出按大小順序排列的拓撲結構，這一結果在很大程度上支持數字線理論，也即數量表征為連續性表達的觀點［16］。

盡管數量表征的神經表達還有很多尚未清楚的機制等待研究者探索，但就目前所得到的研究結果來看，大多數研究者認為數量表征作為一種高階認知表征，在大腦中的表征具有連續性的特征，與外部物理世界之間存在連續的映射關系，很大程度上遵循韋伯定律。

3 總結與展望

有關數量表征模式的研究對理解人類數學能力的發展和教育干預有重要的作用。以往研究多以實驗研究為主，其支持證據散見于多種論著中。從心理物理學的角度出發，可以提出支持數量表征與韋伯定律關系的有效證據：數量表征在行為層面上遵循韋伯定律；在發展層面上，不同發展階段中個體的數量表征行為均遵循韋伯定律；在神經表達上，數量信息在大腦中表征是連續性的，其神經表達遵循韋伯定律。基于上述證據，可以支持數量表征遵循韋伯定律，具有連續性質的觀點。這與以往研究的觀點是一致的。如，Akre和Johnsen認為，從生物進化觀點看，韋伯定律所反映的生理機制具有適應性意義，能夠促進個體相應行為的進化［11］。作為人類與動物所共有的基本認知能力，數量表征遵循韋伯定律有利于個體的進化和繁衍。

當前，研究者的興趣正從低階感知覺領域轉向高階認知領域，但對高階認知性質的研究仍缺乏有效的手段，許多研究者試圖通過韋伯定律解決高階認知表征性質的問題，如，時間認知［42］、價值認知［43］等，上述總結正是這種思路的體現。盡管從心理物理學定律的角度研究高階認知表征，并不能完全了解高階認知表征的特性，但它提供一種嶄新的視角去探索高階認知表征性質，及其與低階感知覺表征的關系問題，這為以后的研究提供了一種新的思路。

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Abstract：Numerical representation is one of the most important cognitive abilities for human and animals．How the numerical representation is represented is unknown，with some researchers believe that numerical representation， mainly based on symbolic system， is discrete； In contrast， others argue that numerical representation， originated from continuous physical quantity， is continuous．This article summarizes earlier and recent findings that numerical representation follows Weber-Fechner Law from three aspects，namely in terms of behavioral， developmental and neural representation．These findings suggest that numerical representation obeys Weber-Fechner Law and is continuous，and broaden horizons of researching on other similar high-level cognitive representations．

Key words：numerical representation； Weber-Fechner Law； sense-perceptive representation

Studying Numerical Representation by Weber-Fechner Law

Sun Ji1，2， Alain Content3， Sun Pei1
（1 Department of Psychology， Tsinghua University， Beijing 100084； 2 School of Education Science，Anshun University， Anshun 561000； 3 Université Libre de Bruxelles， Bruxelles B-1050）

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孫沛，男，副教授，博士。 Email：peisun@tsinghua．edu．cn