從代數恒等式到代數不等式

胡 堅

(江蘇省淮安市金湖縣第二中學,江蘇 淮安 211600)

1 從代數恒等式到常用不等式

點評這就是從拉格朗日(Lagrange)恒等式到柯西(Cauchy)不等式.

例2 設a,b>0,由a3+b3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)2,得到a3+b3≥a2b+ab2.

點評這就是不等式2(a2+b2)≥(a+b)2,用此不等式可以速解2014年浙江考題:

設實數a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則c的最大值是____.

我們還可以將此不等式推廣到三次方或者三元、n元的情況.

即4(a3+b3)≥(a+b)3.

即3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2.

2 從恒等式的角度證明不等式

例7A,B,C為△ABC的內角,求證:對任意的x,y,z,有x2+y2+z2-2xycosC-2yzcosA-2xzcosB≥0.

證明x2+y2+z2-2xycosC-2yzcosA-2xzcosB=(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2,

所以欲證不等式成立.

點評還可以將條件“A,B,C為△ABC的內角”弱化為“A+B+C=(2n+1)π”. 若條件改為“A+B+C=2nπ”,則有x2+y2+z2+2xycosC+2yzcosA+2xzcosB≥0[1].

例9 證明:對任意的正實數x,y,有

證明因為(x2+2yz)[x(y+z)+y2+z2]2-[x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)]2=2x(y+z)(y2+z2)+2y4-y3z+2y2z2-yz3+2z4=2x(y+z)(y2+z2)+(y-z)2(y2+yz+z2)+(y2+z2)2>0,

例10 (2017年清華大學自主招生試題)已知實數x,y滿足5x2-y2-4xy=5,則2x2+y2的最小值是____.

例13已知正數x,y,z,證明:x2+xy2+xyz2≥4xyz-4.

所以x2+xy2+xyz2≥4xyz-4.

=(a3b2+a2b3+b3c2+b2c3+a3c2+a2c3-a2b2c-a2bc2-ab2c2)/(a2b2c2),

例15 已知a,b,c,d∈R+,abcd=1,求證:

兩式相加可知原不等式得證[2].

3 SOS定理的介紹

在前文,筆者提到,可以把欲證不等式化為

這就是平方和(SOS)方法的基本思想.

SOS定理考慮表達式S=f(a,b,c)=Sc(a-b)2+Sb(c-a)2+Sa(b-a)2,其中Sa,Sb,Sc是關于變量a,b,c的表達式,則如果下列條件中至少有一個成立,那么不等式S≥0成立.

(1)Sa≥0,Sb≥0,Sc≥0;

(2)a≥b≥c且Sb≥0,Sb+Sa≥0,Sb+Sc≥0;

(3)a≥b≥c且Sa≥0,Sc≥0,Sa+2Sb≥0,Sc+2Sb≥0;

(4)a≥b≥c且Sb≥0,Sc≥0,a2Sb+b2Sa≥0;

(5)a≥b≥c是某三角形的三條邊,且Sa≥0,Sb≥0,b2Sb+c2Sc≥0;

(6)Sa+Sb+Sc≥0且SaSb+SbSc+ScSa≥0

4 結束語